定积分的计算问题

计算定积分最基本的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式:设函数f(x)在[a,b ]上连续,且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则     

小议变上限的定积分

设函数f(x)在[a，b]上可积，则对任何x∈[a，b]，定积分∫a^x f(t)dt定义了区间[a，b]上的一个关于x的函数F(x)，称为“变上限的定积分”，即F(x)=∫a^x f(t)dt，且若函数f(x)在[a，b]上连续，则d/dx∫a^xf(t)dt=f(x)，x∈[a，b]，它表明变上限的定积分，在被积函数连续时，是被积函数的原函数。     

牛顿-莱布尼茨公式的推广形式

牛顿—莱布尼茨公式的一个推广形式,可用于计算区间[a,b]上连续函数f(x)的定积分abf∫(x)dx,也适用于f(x)在[a,b]上有有限个间断点(含无穷间断点,此时abf(∫x)dx是广义积分)的情形.     

关于牛顿—莱布尼兹公式

微积分学中一个重要的命题指出:设函数f在闭区间[a,b]上黎曼可积,F在[a,b]上连续且除有限多个点外F′(x)=f(x),则牛顿—莱布尼兹公式成立.文献[1]提出如下问题:若F′(x)=f(x)不成立的点是无限集E,上述结论如何?本文证明当E的聚点集有限时,牛顿—莱布尼兹公式成立;当E的聚点集无限时,反例说明结果是否定的.     

初等微积分教学拾零(续)

(六) 关于定积分(接上期) (五) 关于微积分的第二基本定理——牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式。 在[a,b]:f(x)∈c,F′(x)=f(x) (1) 此定理把微分与积分从概念与计算上同时     

定积分计算中一个值得注意的问题

<正> 这个结果显然是错误的,因为被积函数f(x)=1/(2+cosx)在闭区间[0,2π]上大于零,所以∫_0~(2π) ax/(2+cosx)>0而不会等于零。发生上述错误的原因是没有注意到使用牛顿一莱布尼兹公式的条件。牛顿—莱布尼兹公式指出:如果函数F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的任一原函数,则     

定积分換元法則的一点改进

通常所见Riemann积分换元公式的形式是:若φ(α)=a,φ(β)=b,则在适当条件下有 integral from a to b(f(x)dx)=integral from α to β(f[φ(t)]φ′(t)dt)。在常义R(Riemann)积分时须假定:f(x)在[a,b]上连续,φ(t),φ′(t)在[α,β]上连续。这时上述等式成立。或者假定:f(x)在[a,b]上R可积,φ(t),φ′(t)在[α,β]上连续,且φ′(t)≥0(或φ′(t)≤0,即φ(t)单调)。本文证明了:若f(x)在[a,b]上有界,φ(t)可表成R可积函数φ(t)的不定积分,则f(x)在[a,b]上R可积的充要条件为f[φ(t)]φ(t)在[α,β]上R可积,并且有上述等式成立(详见下文定理1)。     

关于广义积分定义的一个注记

广义积分作为定积分的推广 ,在高等数学中有着较为广泛的应用 .但许多高等数学方面的教材(甚至有些数学分析教材 )对于广义积分定义的处理还有失严谨 .如文献 [1 ],[2 ],[3 ]在给出函数f( x)在无穷区间 [a,+∞ )上的广义积分的定义时 ,都是采用如下的叙述方式 :定义 1　设函数 f( x)在区间 [a,+∞ )上连续 ,取 b>a,如果极限 limb→ +∞∫baf ( x) dx存在 ,则称此极限为函数 f ( x)在无穷区间 [a,+∞ )上的广义积分 ,记作∫+∞a f ( x) dx ,即∫+∞a f ( x) dx =limb→ +∞∫baf ( x) dx.这时也称广义积分∫+∞a f ( x) dx收敛 ;如果上述极限…     

关于分数阶积分与导数的性质

现将本文所用的预备知识叙述如下:1°假设f(x)在[a,b]上可积,当β>0,如果下列积分存在,则称fβ(x)为f(x)的β阶积分.如果f(x)是周期为2π的函数,同时f (x)在[0,2π]上的积分为零,这时f(x)的β阶积分由下列公式给出     

对一道微分问题的修正

文[1]习题3-1(P81)第3题(是非题)如下:设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且在[a,b]上f′(x)≤g′(x),则有f(b)-f(a)≤g(b)-g(a).与文[1]配套的[2](P105)给出的解答是:答不对.虽然由拉格朗日定理得f(b)-f(a)b-a=f′(ξ),ξ∈(a,b)(1)g(b)-g(a)b-a=g′(ξ),ξ∈(a,b)(2)且有f′(x)≤g(x).但f′(ξ)不一定小于等于g′(ξ),因为(1)(2)式中的ξ不一定是相同的.我们认为上述解答是错的,也就是说,原命题是成立的.下面给出证明.证明令F(x)=f(x)-g(x),由题意,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,再由拉格朗日定理得F(b)-F(a)b-a=F′(ξ),…     

一类定积分的算法

<正> 在定积分的计算中,常遇到这类定积分:integral from n=a to b (f(x)sinxdx或integral n=a to b (f(x)cosxdx),其中积分区间[a,b]为[0,π/2]、[0,π]或[0,2π]。对此我们习惯上直接用数次分部积分法进行计算,求出其值。但其过程有时非常复杂,给计算带来麻烦。如:     

定积分的二种换元法及其应用

1．引言在定积分的计算中,运用变量替换可以大大简化计算过程,因此在计算定积分时常常需要考虑换元法．本文介绍了定积分的二种换元法：交换变换和减半变换,并列举了典型范例．2定积分的两种换无法定理亚若f（x）在闭区间[a,b]上,可积,则证明用换元法设u—a＋b—x,则dx—一du,当x一a时,u—b,当x一b时,u—a,Hx一a＋b—u6「a,hi,即f（＋b—u）在［a,hi上也是可积的,故我们把这种上、下限交换的换元法称为“交换变换”,特别地当a一O时有下列推论：推论1若f（x）在［a,hi上可积,则由定理1和推论1我们还可以得到两个十分重要…     

积分变上限函数的求导方法及其应用

我们知道,若f(x)在[a,b]上可积,则积分integral from n=a to b(f(x)dx)也是[a,b]上的一个函数,称为积分变上限函数。记为Φ(x)=integral from n=a to x(f(x)dx)。这里,积分上限和积分变量都用了字母x,但两者意     

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

简化形式的积分中值定理另一种表述

阐述了简化形式的积分中值定理中f(x)不要求连续的情况下成立的条件.即"设函数f(x)在闭区间[a,b]上可积,同时f(x)在[a,b]上有原函数,则存在ξ∈(a,b),使∫ from x=a to b f(x)dx=f(ξ)(b-a)成立",并且给出了简洁的证明.     

关于“中间点”的渐近性的一个注记

定理1 (推广的积分中值定理,[2],P107)设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则存在ξ∈[a,b]使得     

利用定积分求数列和的极限值

由定积分定义知,要求函数f(x)在区问[a,b]上的定积分,只需求函数f(x)绵积分     

关于一类插值样条

在S_(n△)。中有唯一解.令P_△f=s(x),s(x)是对f(x)关于上述插值问题(1)的解,J.Tzi-mbalario证明投影算子P_△:C~(-1)[a,b]→S_(n△)是有界的,这里C~(-1)[a,b]是[a,b]上有界函数全体所成的空间. J.Tzimbalario的证明是错误的,因为从[1]中(3.6)式通过计算得到的不是(3.7)式,     

关于积分中值定理的逆定理

<正> 著名的积分中值定理可叙述为: 积分第一中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积且不改变符号,则存在ξ∈[a,b],使     

二重积分计算的一点注记

<正> 众所周知,在有界闭区域D 上连续的函数f(x,y)的二重积分integral integral from D f(x,y)dxdy 存在,而且它可以化为二次积分来计算,例如:如果积分区域D 为X—型区域,即D 可用不等式Φ_1(x)≤y≤Φ_2(x),a≤x≤b 表示,其中函数Φ_1(x)、Φ_2(x)在[a,b]上连续.则有公式: