P-进制数中的一个整除关系

整除是初等数论中的一个基本概念。“整数甲能被整数乙整除”这样的问题,在小学算术课中大家就已经知道,并且学会了一些作出判断的方法。比如,判断一个十进制整数是否可以被3或9整除的简捷方法是:将该数每一位上的数码相加,其和若被3或9整除,则该数被3或9整除,例如:十进制数19803,1 9 8 0 3=21,而3|21,9(?)21,可以断定3|19803而9 19803,(记号“|”表示整除,“(?)”表示不     

自然数被貭数整除的一个判别法

一切偶数都能被2整除,凡末位是“5”或“零”的数都能被5整除,这就无須再討論了。下面討論自然数对于其它貭数的可除性。对于其它的质数p其个位数必为:1,3,7,9这四种类型。这时可以找到自然数1,使lp+1为10的倍数。事实上,对于以上四种类型,分别取l为9,3,7,1即可。定理1.自然数N能被貭数p(p≠2,5)整除的充要条件是截去N的末位数后,在十位数上加上末位数的a倍,所得的数能被p整除。其中a滿足条件lp+1=10a。更一般地說,有自然数N=10x+y能被貭数p整除的充要条件是 N′=x+ay能被p整除。 証.Ⅰ.必要性。設N能被质数p整除,則N=pq。再将N写成 N=10x+y的形状。现在証明     

证完“6~(2n-1)+1能被7整除”之后……

高中代数第二册上有一道习题:求证6卫“一‘+1(,￡〔N)能被7整除。 这里,证明略去不谈,只作如下猜想: 1“”一‘+1能被2整除, 2卫。一‘+1能被8整除, 3,“一‘+1能被4整除,醉 :二:一,+1能被(从十1)整除,(其中川是自然数).(灭) 结论是肯定的,以下对(狱)式进行证明。 (i),=if于寸,脚2”一‘+i二,,:+1,命题显然真, (2)假设n=k时,命题真。即,,之“K一‘+1能被。,+1整除。则当”=k十1时, 仇么、K+‘〕一1+1二z,,艺K一1 .2了2+1 =勿几术一1。mZ+,,,二K一1一,,,至K一1+1 =m“K一‘(,,,艺一1)+,,z二K一‘+1 显然,:空K一’(m“一1)能被(胡+1)整除…     

勾股数组一个性质的证明

在《圆和二次方程》一书中,给出了任何一组勾股数组a、b、c都可由公式a=m~2-n~2,b=2m~n,c=m~2+n~2表示(这里m、n-奇-偶,m>n,m、n均为自然数),同时指出“abc一定能被60整除”,因为它的证明“已经超出你们的知识范围,这里就不谈了”。为此,笔者给出一种浅显的证明。下面先证两个引理。引理1。任何自然数p若不能被3整除,则p~2-1能被3整除。证明:因为任何不能被3整除的自然数p均可表示勾:p=3k±1(这里k为自然数)而p~2=(3k±1)~2=9k~2±6k+1=3(3k~2±2k)+1,所以p~2-1能被3整除。引理2.任何自然数q若不能被5整除,则q~4-1能被5整除。证明:因为任何不能被5整除的自然数q可表示为q=5l±1,或q=5l±2 (这里l为自然数) 而当q=5l±1时,q-1或q+1能被5整除;当q=5l±2时,q~2=(5l±2)~2     

两项式ab~n+cd~n 的整除问题

高中数学课本第三册复习题四第14题(P158)要求用数学归纳法证明:3~(n+2)十4~(2n+1)能被13整除。本文对这类问题再提供一种极为简便的证法。定理:若d-b能被a+c整除,则ab~n十cd~n也能被a+c整除(a,b,c∈R,且a+c≠0,n∈N) 证明:ab~n+cd~n=(a+c)b~n+c(d~n-b~n)=(a+c)b~n+c(d-b)(d~(n-1)+d~n-2b+d~n-3 b~2 +…+db~(n-2)+L~(n-1))。因为(a+c)b~n和c(d-b)(d~(n-1)+d~(n-2)b++d~(n-3)b~2+…+d~(n-2)+b~(n-1))都能被a十c整除,故ab~n+cd~n能被a+c整除。例1 求证:3~(n+2)+~(2n+1)能被13整除证明:3~(n+2)+4~(2n+1)=9·3~(n+4)·16~n     

利用余数定理证一类整除性问题

关于整除性问题的证明,中等数学习题中屡有所见,在学过数学归纳法后尤多,亦有应用因式分解法证明的。目前重点高中代数第一册已讲过余数定理和因式定理,但此处未曾见到,似觉不够。这里就利用余数定理证一类整除性问题试举几例,供同志们参考。例1,求证4~(2n+1)+3~(n+2)能被13整除(高中数学第三册P。158复习题)。证∵4~(2n+1)+3~(n+2)=4·16～n+9·3~n,故不妨设f(χ)=4·χ~n+9·3~n,则问题化为求证f(16)能被13整除,∵13=16-3,f(χ)除以χ-3的余数为f(3)=4·3~n+9·3~n=13·3~n于是f(χ)=(χ-3)g(χ)+f(3)=(χ-3)g(χ)+13·3”,将χ=16代入得f(16)=13·g(16)=13·g(16)+13·3~n,故f(16)能被13整除,即13|4~(2n+1)+3~(n+2)。上述证明,显然较之数学归纳法要简明得     

Fibonacci数的一组整除特征

Fibonacci数列 {Fn}定义如下 :F0 =0 ,F1=1 ,Fn +1=Fn+Fn - 1(n =1 ,2 ,… ,) ,我们把{Fn}中每一项Fn 叫做一个Fibonacci数 .本文将讨论Fibonacci数Fn 被某些整数整除的特征 .在其证明过程中所用到的关于整除、最大公约数、最小公倍数以及同余的一些简单性质 ,恕不一一列作引理 .此外 ,证明过程中还用到下列数据 :F0 =0 ,F1=1 ,F3=2 ,F4 =3,F5=5,F9=34,F10 =55,F15=6 1 0 ,F16 =987,F2 7=1 96 41 8,F2 8=31 781 1 ,等等 ,这些数据 ,都不难利用Fibonacci数列的定义直接计算得到 .以下的引理是后面定理的证明过程所必须的 .引理 1 […     

一类整除问题的由来与解法

常有如下的一类题目: n为任意自然数时,求证: (1) 3~(4n 2) 5~(2n 1)能被14整除; (2) 5~(2n 1) 3(n 2)·2~(n-1)能被19整除等。这类数学问题,通常都是为学习数学归纳法设置的。人们不禁要问:结论是如何得出来的呢?是否只能用数学归纳法解呢?本文介绍两个定理,它可以解决这些题。     

整除问题中字母系数的求法

在整式除法中,存在关系被除式A=除式B×商式Q 余式R 当R=0时,则称被除式A能被除式B整除.或除式B整除被除武A,即A=BQ,原理然简单,却能简化整除时字母系数确定的问题。例1 多项式2x~4-3x~3 ax~2 7x b能被x~2 x-2整除,则a/b的值是     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

绕过“求交点”这一关之我见

《解几》中有一类粗看要解交点,实际上可以另辟途径,不解交点同样能使问题得到解决的二次曲线相交问题。下面介绍几种避免求交点的方法,仅供读者参考。一利用“线系”绕过“求交点”例1 求⊙O:x~2+y~2=9被⊙c_1:(x-3)~2+y~2=27所截得的劣孤长及弦长。     

数学小品两则

一、试论一个恒等式的产生在初等代数文献中,有这么一个恒等式:(2n~2+n)~2+(2n~2+n+1)~2+…+(2n~2+2n)~2=(2n~2+2n+1)~2+(2n~2++2n+2)~2+…+(2n~2+3n)~2。当然,这个恒等式既不是天上掉下来的、也不是什么神仙灵机一动搞出来的。而是数学家们不辞劳苦算出来的。让我们从商高定理谈起罢!这是我们所熟悉的一个数字恒等式 3~2+4~2=5~2 如果我们不辞劳苦地算下去,就可以得到如下的几个恒等式: 10~2+11~2+12~2=13~2+14~2, 21~2+22~2+23~2+24~2=25~2+26~2+27~2,36~2+37~2+38~2+39~2+40~2=41~2+42~2+43~2+44~2。     

乘数是34或67的“变式”速算法

34或67,是两个很巧的数,它们的3倍积是34×3=102、67×3=201。你看是不是很巧。是一对颠倒数,还很对称。102和201、十位数是O,不用进位,只要将1和2的积数连写在一起,就是积数。某数乘以34或67,不论某数是否能被3整除,均可用“变式”速     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题整除问题适用年级初中二年级学期2003一2004学年度第一学期老师课堂用题端邑知人泣数布玲泰磷一能被如整除;热脚具钩求抓示牛鸽瞥录清部髯瞬鲍衅季落料参脚叮曰一咙曰﹁比征解决整除问孤犷岭养应润策学翰识解决实曦何题娇}荡默冲泄嘿粼猪臀医能太已少少蟹誊葬)垫耸丝缪登馨全斌已知n是自然数,求证: 3。。1j{又n一卜~耳万~n,es万万)2一5). 乙乙翼瓣辫瞥{分析与证明 要证式子n3 号nZ十合刀一3被3整除,可以考虑化成“整系数”的式子,再利用恒等变形来计算.东罚;庙燕孵黔‘ 3。.1n一月一下;2了-一卜~二厂n一乙 乙乙一音「2n3 3一 、一6:一…     

一个有用的三角等式

先看一个例题: 例1 证明tg3°tg17°tg23°tg37°tg43°××tg57°tg63°tg77°tg83° tg27°初看起来等式左边很有规律:3°、17°、23°、27°…,然而一旦动手做,你便会觉得这些数字与“27”很难联系,因而难以凑效,有兴趣的读者不妨先试一试。有一个三角等式却对证明这道题大有用处。这个等式就是:tg3a=tgatg(π/3-a)tg(π/3+a)关于这个等式的证明很简单,只须两边分别展开比较即得。下面应用它来证明上例:     

数学问题与解答

20 0 3年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 466　设M =5 2 0 0 1 + 72 0 0 2 + 92 0 0 3+ 1 1 2 0 0 4 ,求证 :M能被 8整除 .证明　令An =5 2n- 1 ,Bn =72n,Cn =92n- 1 ,Dn =1 1 2n(n∈Z+)( 1 )当n=1时 ,有A1 =5 ,B1 =49,C1 =9,D1 =1 2 1 ,所以A1 除以 8余 5 ;B1 除以 8余 1 ;C1 除以 8余 1 ;D1 除以 8余 1 .( 2 )假定n=k(k∈Z+)时 ,有Ak 除以 8余 5 ,即Ak =5 2k- 1 =8S1 + 5 (S1 ∈Z+) ;Bk=72k除以 8余 1 ,即Bk=72k=8S2 + 1 (S2∈Z+) ;Ck =92k- 1 除以 8余 1 ,即Ck =92k- 1 =8S3+1 (S3∈Z+) ;Dk =1 1 2k 除以 8余 1 …     

一道数学题的简证及猜想

问题 设M=52001+72002+92003+112004,求 证:M能被8整除． 这是《数学通报》2004年第1期“数学问题 与解答”中的第1466题．原文中提供的证明太复 杂．本文给出一种简单证明．并提出一个猜想．     

课外练习

初一年级1.已知关于x,y的方程组 3x 2y=p 1 4x 3y=p-1 的解满足x>y,求p的取值范围. (山东高青县田镇一中(256300) 张明)2.已知x2 2ax 5b与5bx 3a的差能被x -1整除,也能被x-7整除,求:a,b的值. (山东郯城实验中学(276100) 黄桂湘)     

一个例题的注记

《中学生数学》2 0 0 2年 9月上期 13页例5 :“在等差数列 {an}中 ,已知a1 =2 5 ,S9=S1 7.求S2 6 的值 .”分析与解　根据等差数列前n项和的函数图像 ,确定S2 6 的大小 .因 {an}是等差数列 ,所以可设Sn=An2 +Bn .二次函数的图像过原点如图 .因S9=S1 7,由图可知S2 6 =0 .”这个方法被称为“借助图像减元” ,把很复杂的问题简化了 .除简化计算方法以外 ,上述解法或许还会启发我们问 :原题“已知a1 =2 5”是否是多给条件 ?(以上解法中没有用到这个条件 )今试用他法解之 :因S9=S1 7,　∴　a1 0 +a1 1 +… +a1 7=0也即 8a1 + 10 0d =0 .将a1…     

2005年第二期初中数学问题参考解答

一、求证:n>2时,n5-5n3 4n被120整除.证明:n5-5n3 4n=n(n4-5n2 4)=(n-2)(n-1)n(n 1)(n 2)上式为5个连续自然数之积,故能被5×4×3×2×1=120整除.二、有多少个大于10小于100的整数,当数字交换位置后所得的数比原来增加9.解:满足题设条件的在10—19中只有12;在20—29中只有23;…