立足旧教材融合新课改——对2010年湖北高考数学理科第15题的思考与拓展

2010年湖北高考数学理科第15题:图1设a>0,b>0,则(2ab)/(a+b)为a,b的调和平均数.如图1,C为线段AB上的点,AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.     

一道中考题的多种证明和拓展

<正>题目(2016·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.求证:DC=DP;一、本题的多种证明证法1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

2007——2008学年度第一学期七年级数学科期终检测题(配华东师大版)

(考试时间:100分钟满分:110分)一1选择题(每小题2分,共20分)1.计算-2 5的结果是()1A17B1-7C13D1-321计算(-1)3的结果是()1A1-1B11C1-3D1331当x=-1时,代数式x2 2x的值是()1A.-2B.-1C.0D144.一个整式减去x2-y2后所得的结果是x2 y2,则这个整式是()1A12x2B1-2y2C1-2x2D12y25.如图1所示,AB∥CD,∠ABE=110°,则∠ECD=()1A1140B1110C170D12061如图2,已知AB⊥CD,垂足为O,图中∠1与∠2的关系是()1A1∠1 ∠2=90°B1∠1 ∠2=180°C1∠1=∠2D1无法确定71一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB∥CD,如图3)1如果第一次转弯时的∠B=14…     

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

一道中考题的解构与多解分析

<正>1试题呈现(2023年宜宾中考)如图1,以AB为直径的⊙O上有两点E,F,■,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:EM=EN;(3)如果N是CM的中点,且AB=9(5)^1/2,求EN的长.     

数学问题解答

2011年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2011 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+ 2BD=√3CB,连结CD、BE.证明:CD=1/2BE.     

射影定理与立方倍积问题

<正>我们先来介绍和证明直角三角形中的射影定理.射影的定义过线段AB的两个端点分别向直线l作垂线,垂足为M、N,则称线段MN为线段AB在直线l上的射影(如图1).特别地,当线段AB的一个端点A在直线l上时(如图2),则线段AN叫做线段AB在直线l上的射影.射影定理在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.已知:如图3,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.     

圆上的两个结论的再推广

文 [1 ]将圆上的两上结论 :结论 1　P是⊙O上任意一点 ,AB是直径 ,经过A和B各作圆的切线 ,分别与经过点P的切线相交于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 2　过同心圆中的小圆上任意一点P作小圆的切线与大圆相交于A和B ,则P图 1　椭圆是弦AB的中点 .我们将上述结论作如下推广 .结论 3　如图 1 ,过椭圆 x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴AB的端点A ,B分别引切线AM ,BN ,P是椭圆上异于A ,B的任意一点 ,过点P引椭圆的切线CD分别交AM ,BN于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 4　过椭圆…     

一道几何试题的多种解法

<正>题目如图1,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点G在BC上,连接AG,过点C作CF⊥AG,垂足为点E,过点B作BF⊥CF于点F,点D是AB的中点,连接DE、DF.求证:∠AED=∠DFE.一、根据等腰直角三角形和斜边上的中点联想到等腰三角形三线合一解法1如图2,连接CD,则CD⊥AB,     

一道反比例函数试题的变式思考

<正>一、试题及解答试题(2016年宁夏)如图1,Rt△OAB的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=3^(1/2).反比例函数y=k/x(x>0)的图像经过OA的中点C,交AB于点D.(1)求反比例函数的关系式;(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.解析(1)如图1,过点C作CM⊥OB,垂足为M.因为点C是OA的中点,∠ABO=90°,所     

线段中点的一个判定方法

一、命题角平分线的垂线与角的两边相交,则垂足是以两交点为端点的线段的中点.二、命题的证明已知:如图1,OP是∠MON的平分线,AB⊥OP分别交OM、ON于点A、B,垂足为点C.求证:点C是AB     

尺规画蛋与近似画圆

圆规画圆信手拈来,水到渠成；“用圆规画蛋”或“近似画圆”怎么样呢?尺规画蛋作法(如图1)①作两个半径相等的圆⊙A、⊙B,使圆心B在⊙A上；②以AB为直径作⊙O交公共弦CD于E；③连结AE并延长交⊙A于点F,连结     

圆锥曲线一个有趣的关系式

性质1 如图1,Ox轴上方是椭圆x2/a2+y2+b2=1(a＞b＞0)的上半部分,Ox轴下方是矩形ABCD,其中矩形的长AB等于椭圆的长轴长、矩形的宽等于椭圆的短轴长.在椭圆上任取一点P(端点A、B除外),连结PC、PD分别交AB于点E、F,则AE2+BF2＜AB2.……     

平面几何中一个相似模型的发掘、引申与应用

一、一个相似模型的发掘 　　如图1,CD上DB,垂足为D,AB⊥DB,垂足为B,E为线段DB上一点,当CE⊥AE时,有△EDC∽△ABE.……     

有趣有用的折弦定理

折弦定理 如图1,AB和BC组成一个圆的折弦,如果BC>AB,M是ABC的中点,则从M点向BC所作垂线之垂足F为折弦ABC的中点,即 CF=FB BA。 证明 在BC上取点D,使CD=AB,连结MA,MB,MC,MD。     

一道高考选择题的3种解法

1题目如图1,已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一质点从AB的中点P0沿与AB夹图1角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4点的坐标为(X4,0),     

一道几何试题的多种解法

<正>一、题目如图1,在平面直角坐标系中,A(3,4),B (5,0),连结AO、AB.点C是线段AO上的动点(不与A、O重合),连结BC,以BC为直径作⊙H,交x轴于点D,交AB于点E,连结CD,CE,过E作EF⊥x轴于F,交BC于G.(1)若圆心H落在EF上,求BC的长;(2)若△CEG是以CG为腰的等腰三角     

从一道错题谈教师对学生探究活动的引导

一、错题的探究题目如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,若AD,BD的长是方程2x2-12x+3m-1=0的两根,且△ABC的面积为12.(1)求CD的长;(2)求m的值.先让学习练习,学生A的解法是:解:(1)∵AD、BD的长是方程2x2-12x+3m-1=0的两根,∴AD+BD=6,即AB=6.又∵CD⊥AB且△ABC的面积为12,∴12AB·CD=12,12×6CD=12,∴CD=4.(2)∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AB·BD.又∵AD·DB=3m-12,CD=4,∴3m-12=16,∴m=11.结果有二十个左右的学生的意见同上述解答一样,不同意见的也有二十个左右,没举手的有5个.学生B代表不同意见说:“上述(2…     

2007年上海市初中学业考试数学试卷

一、填空题:(本大题共12题,满分36分)1.计算:(3)2=.2.分解因式:2a2-2ab=.3.化简:1x-x 11=.4.已知函数f(x)=x3 2,则f(1)=.5.函数y=x-2的定义域是.6.若方程x2-2x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1 x2=.7.方程1-x=2的根是.8.如图1,正比例函数图象经过点A,该函数解析式是.图1图29.如图2,E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连结AE,交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形:.10.如果两个圆的一条外公切线长等于5,另一条外公切线长等于2a 3,那么a=.11.如图3,在直角坐标平面内,线段AB垂直于y轴,垂足为B,且AB=2,如果将线…     

《数学通报》2011号问题的三角证法

《数学通报》2011年第8期刊登的2011号问题如下:图1如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+2BD=槡3CB,连结CD、BE.证明:CD=12BE.文[1]提供的参考答案利用了一个较陌生的