圆锥曲线性质新探

性质1 过椭圆E：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的一个焦点F的任一直线与Y轴交于点M,与椭圆E交于A,B,A,B分有向线段MF的比为λ1,λ2,     

圆锥曲线的一个性质

学生问我一道解析几何题：过圆外一点Ｐ作⊙Ｏ的两切线ＰＭ、ＰＮ,切点为Ｍ、Ｎ,连ＭＮ,过Ｐ任作一割线ＰＲＳ,与ＭＮ交于Ｔ,与⊙Ｏ交于Ｒ、Ｓ,求证：１ＰＲ＋１ＰＳ＝２ＰＴ．→↑图１ｘＮＯＳＴＲ００Ｐ（ｘ,ｙ）ｙＭ解如图（１）建立坐标系,圆外一点Ｐ（ｘ０,...     

圆锥曲线的一些性质

在文[1]，[2]，[3]中已给出了圆锥曲线的一些性质，本文再做进一步讨论，得到一系列更深入的结果．     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …     

圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的几何性质，主要包括曲线的范围，曲线的对称性，曲线的离心率、准线、渐近线等．解答这类问题，除了充分利用圆锥曲线的这些性质外，还要注意挖掘题目所隐含的新的几何性质，使解题更直观、灵活．     

圆锥曲线的一个性质

圆锥曲线有许多优美的性质,本文介绍圆锥曲线的一个与直线方向有关的有用的性质。先看如下命题:     

圆锥曲线的光学性质

抛物线绕其对称轴旋转形成的面称为抛物面,平行于抛物面旋转轴的平行光线束射入抛物面凹面镜时其反射光线聚集抛物线的焦点上。图1为抛物面凹面镜沿旋转轴的剖面图,抛物线上任意点P(x_0,y_0)的法线方程式为     

圆锥曲线的一个性质

笔者在进行圆锥曲线章节内容的教学时，发现圆锥曲线的一个性质：     

圆锥曲线的一个性质

圆锥曲线的一个性质朱传汇（湖北民族学院数学系４４５０００）圆锥曲线的经典性质（如焦点准线性质、光学性质）已为人们所熟知，对其他性质（如中点弦性质）的讨论仍是热门话题之一．在对圆锥曲线的内接多边形的研究中，笔者发现如下有趣的性质．定理对于圆锥曲线Ｃ上任...     

圆锥曲线的一个性质

20 0 1年全国初中数学竞赛试题Ｂ卷第 14题 :如图 1,已知点Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＳ ,ＰＴ是⊙Ｏ的两条切线 ,过点Ｐ作⊙Ｏ的割线ＰＡＢ ,交⊙Ｏ于Ａ ,Ｂ两点 ,并交ＳＴ于点Ｃ ,求证 :1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) .分析 :先研究此题结论 ,由 1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) 2ＰＣ=1ＰＡ+ 1ＰＢ,即ＰＡ ,ＰＣ ,ＰＢ的倒数成等差数列 .此题的平面几何证法有多种 ,这里从略 .现运用解析几何知识给出证明 .图 2　 14题图证　如图 2建立坐标系 ,圆外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,圆的方程ｘ2 + ｙ2 =ｒ2 ,可求ＳＴ的直线方程ｘｘ0 + ｙｙ0 =ｒ2 (1)设⊙Ｏ的割线ＰＡＢ…     

圆锥曲线切线的性质

文[1]给出了共焦点的圆锥曲线的切线性质,读后很受启发.本文对其进行了推广,并应用导数的相关知识给出证明,这个证明是非常自然也是容易接受的.     

圆锥曲线的一个性质

由文 [1]可得圆锥曲线的一个性质 .定理　过圆锥曲线的焦点F的一条直线与这曲线相交于A ,B两点 ,M为F相应准线上一点 .则直线AM ,FM ,BM的斜率成等差数列 .证　对双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a >0 ,b >0 ) ,记点A ,F ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(c ,0 ) ,(a2c ,m ) .设双曲线的极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ,点A的极坐标为 (ρ1,θ1) ,则无论点A在双曲线的左支还是在右支 ,都有 ρ1=ex1-a .于是AM的斜率为kAM =y1-mx1- a2c=e(y1-m)ex1-a =e(ρ1sinθ1-m )ρ1=e(epsinθ11-ecosθ1-m)ep1-ecosθ1=еpsinθ1+emcosθ1-mp .　　设点B的极角为…     

圆锥曲线的一个性质

笔者在进行圆锥曲线章节内容的教学时,发现圆锥曲线的一个性质:图1定理过圆锥曲线焦点弦的一个端点向相应的准线作垂线,垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应准线的垂线段的中点.如图1:AB为经过焦点F的焦点弦,l为相应的准线,过B作l的垂线,垂足为C,连AC,证明:AC经过FK的中点N.这个命题的证明可以用解析几何的方法证明,但为了体现圆锥曲线的统一性,给出如下的证明:证过A作l的垂线交l于D点.设圆锥曲线的离心率为e,则:BF=e·BC,AF=e·AD∵NFBC=AFAB,∴NF=AF·BCAB=e·AD·BCAB=AD·BFAB∵KNAD=CNCA=BFAB,∴KN=AD…     

圆锥曲线切线的性质

文[1]给出了共焦点的圆锥曲线的切线性质,读后很受启发．本文对其进行了推广,并应用导数的相关知识给出证明,这个证明是非常自然也是容易接受的．     

圆锥曲线的一个性质

笔者在圆锥曲线性质的探索过程中发现一个性质,现呈现如下结论1 如图1,过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右准线x=a2/c与x轴的交点P作双曲线C的割线交于A,B两点,如双曲线离心率为e,焦准距为p,右焦点为F,∠AFB =θ,直线AB的斜率为k(k＞0),则k=ecosθ/2.     

圆锥曲线性质的新发现

在近年的全国各地的高考试题及模拟试卷中,出现了许多关于定点、定值问题的证明、探究问题,笔者通过研究,发现在圆锥曲线中,还有如下的有趣性质：     

圆锥曲线的割线的性质

如果一条直线与圆锥曲线有两个公共点,我们称该直线为圆锥曲线的一条割线,当割线的斜率不为零时,它必与主轴所在直线(x轴)相交.下面以椭圆为例探究与割线有关的一些数学问题.引例过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)作直线l交椭圆于P、Q两点,Q′是Q关于x轴的对称点(Q′与P不重合),直线PQ′交x轴于点M.则图1(1)PFFQ=M PMQ;′(2)点M为定点(-2ac,0).(1)证法1如图1,连结MQ,易知得等腰△MQQ,′∴M F平分∠QMQ.′由角平分线性质定理可得M P MQ=PF FQ,又MQ=MQ′,∴M P MQ′=PF FQ,所以PFFQ=M PMQ.′证法2设QQ′与x轴…     

圆锥曲线的又一性质

有众多文献给出了圆锥曲线的美妙性质，本文再给出一条. 定理 自圆锥曲线的准线与对称轴的交点引这条圆锥曲线的切线，则切线斜率的平方等于这条圆锥曲线离心离的平方.