函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

函数问题的通法通解

题目 已知函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a〉0,x∈R）的零点为x1、x2（x1〈x2）,函数f（x）的最小值为y0,且y0∈[x1,x2）,则函数y=f[f（x）]的零点个数是（ ）.     

由分析一道高考模拟试题引发的思考

一、问题提出 在2010年4月的上海市松江区模拟考试中有这样一道压轴题： 设函数f（x）的定义域为D,值域为B,如果存在函数x=g（t）,使得函数y=f（g（t））的值域仍然是B,那么,称函数x=g（t）是函数f（x）的一个等值域变换。     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…     

一类四阶边值问题正解的存在性

证明了四阶边值同题{y^（4）=λα（x）f（y（x）,y＂（x）） x∈（0,1） y（0）=y（1）=y＂（0）=y＂（1）=0.当λ〉0，且充分小时正解的存在性，其中：α：[0，1]→R连续，f（0，0）〉0本文的工具是Leray—Schauder不动点定理．     

直线与二次曲线相关的一个命题

命题 设直线l：f（x,y）=0与二次曲线g（x,y）=0交于不同的两点A（x1,y1）,B（x2,y2）,由{f（x,y）=0 g（x,y）=0,分别消去y,x得v（x）=0,v（y）=0（使u（x）,v（y）的二次项系数相等）,则以线段AB为走私的圆的方程为：u（x）＋v（y）=0.     

数学问题解答

1561 已知函数y=f（x）=ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0，（1）试证：方程f（x）=-a有实数根，（2）设方程f（x）=-a的两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围。     

具有Heyting结构的Ockham代数

引入一个具有Heyting结构Ockham代数,简称HO-代数．所谓HO-代数,是指具有（2,2,2,1,0,0）类型的代数（L;∧,∨,→,f,0,1）．其中（L;f）是Ockham代数,（L;→）是Heyting代数,且运算f和→由恒等式f（x→y）=f^2（x）∧f（y）与f（x）→y=f^2（x）∨y所连结．主要讨论了HO-代数的同余关系的性质．并刻画了其次直不可约代数的某些性质．     

二次曲线弦的中点问题与代点相减法

直线与二次曲线相交所得弦的中点的有关问题，是解析几何中的重要内容，也是历年高考命题的热点之一，其解法丰富多采，千姿百态．本文仅不常用的代点相减法作一些探讨．1关于代点相减法及其解题模式所谓代点相减法，就是将二次曲线弦的端点坐标代入二次曲线方程，然后借助代数运算实现解题目标．其一般模式是：（1）令弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），将其坐标代入二次曲线的方程f（x,y）=0，得f（x1，y1）=0，f（x2，y2）＝0．（2）将（1）中所得的两式相减，并通过因式分解将其整理为只含有x1＋x2，y1＋y2，x1-x2和y1-y2的式子．…     

一样的赋值与不一样的结果

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x＋y）=f（x）＋2y（x＋y）,且f（1）=1,求f（x）的表达式．     

一道习题的互动教学及反思

已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且对于任意的正实数x、y都有f（xy）=f（x）＋f（y），又当x〉1时，     

数形结合巧解一道高考题

2007年高考广东卷理科倒数第2题（文科压轴题）是：已知a是实数，函数f（x）=2ax^2＋2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．     

对一道2009年高考题误区剖析

全国高考2009年上海数学理科卷22题：已知函数y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数，     

对一道高考题的再思考

一．题目 （2007年高考数学全国卷Ⅱ压轴题）已知f（x）=x^3-x．（1）求曲线y=f（x）在点M（t,f（t））处的切线方程。（2）设a〉0,如果过（a,b）可作曲线y=f（x）的三条切线,证明：-a〈b〈f（a）。     

奇偶性定义的四个特性

函数奇偶性的定义为：设y=f(x)(x∈A)，如果对于任意x∈A，都有f(-x)=f(x)，则称函数y=f(x)为偶函数；如果对于任意x∈A，都有，(-x)=-f(x)，则称函数y=f(x)为奇函数．     

谨防推广的陷阱

对于直线,有如下结论： 若直线l的方程为f（x,y）=Ax＋By＋C=0,及点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）,则     

关于一类奇异两点边值问题的 Chawla样条方法

1、引言 本文考虑如下的奇异两点边值问题。-1/w（x）（p（x）y＇（x））＇ = f（x,y（x））, x ∈ （0, 1）（1）limx→0＋ p（x）y＇（x） = 0,y（1）=A（2）。     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

再谈广义奇(偶)函数及其周期性

文［1］对奇（偶）函数的概念作了推广，并对其性质和周期性问题进行了探讨．笔者读后，获益匪浅．现试图将原文论及的问题再作推广．一几个概念定义至对于函数f（x），若存在常数a、b、m、n（m＞0，n＞0），对于其定义域内的任意x：（1）当都有f（a＋mx）=f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义偶函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是偶函数．（2）当都有f（a＋mx）=－f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义奇函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是奇函数．定义2对于一个图形的两部分，从第一部分上的各点作定直线l的垂线…