八元数矩阵的行列式及其性质

赋范的可除代数只有四种:实数R,复数C,四元数日和八元数O.由于八元数关于乘法非交换且非结合,如何对八元数矩阵定义行列式并使其具有较好的运算性质变得非常困难.最近,李兴民和黎丽根据"八元数自共轭矩阵的行列式应为实数"这一数学与物理上的需求,通过选择几个八元数乘积的次序和结合方式,首次给出了八元数行列式的定义.但是,与实数、复数以及四元数的相应的情形比较,如此定义的行列式,其所具备的运算性质较少.本文给出了一种新的八元数行列式的定义,它们具备了尽可能多的运算性质,同时使得"八元数自共轭矩阵的行列式为实数"不证自明.     

四元数体上重行列式的性质及其应用

本文得到了四元数体上重行列式的一些基本不等式，给出了矩阵为正定自共轭阵时，行列式与重行列式的显式关系，同时也给出了文［１］中行列式与文［５］中行列式两种定义的关系。提出了四元数体上广义正定自共轭阵的概念，并获得了这类阵的基本性质．     

四元数自共轭矩阵与行列式的几个定理

本文继续使用文献[1],[2],[3],[4],[5]的符号和术语。对四元数体Q上的自共轭矩阵与行列式进行讨论得到几个重要定理。为此,先作几点说明。 2.设A为四元数体Q上的一个n阶矩阵,若A=(即,A=a_(ij),a_(ij)∈Q。恒有a_(ij)=a_(ji))。则说A是四元数体Q上的一个自共轭矩阵。自共轭四元矩阵A的行列式记为‖A‖。     

正定自共轭矩阵行列式的含参数的上界

本文绘出几个关于正定自共轭矩阵行列式的含参数的上界,从而在实四元数除环上进一步推广了Hadamard定理。     

四元数矩阵的实值行列式

本文定义了任一个四元数方阵的实值行列式．实值行列式有一些好的性质，它是按照谢邦杰定义的可中心化四元数矩阵的行列式的推广．     

关于四元数矩阵的行列式不等式

本文证明了正定自共轭四元数矩阵的行列式的一些高精度的不等式,并得到著名的 Hadamard 不等式新的改进形式,同时也改进了谢邦杰等人的结果.     

关于Hadamard不等式的再改进

本文提出并改进了文[1]中所给出的几个关于可除环上矩阵行列式的不等式,利用这些不等式我们给出了可除环上任意非奇异矩阵的经典Hadamard不等式的一个再改进. 定义1 设A=(a_(ij))_(n×n)是四元数除环Ω上的矩阵,A=(a_(ij))_(n×n)是A的共轭矩阵,如果A=A,则称A为自共轭矩阵,如果A的各阶主子式均为正实数,则称A为正定自共轭矩阵(文[2]定理4).     

分裂四元数矩阵的奇异值分解及应用

利用i-共轭重新定义了分裂四元数矩阵的共轭转置,在此基础上借助复表示和友向量研究了分裂四元数矩阵的奇异值分解,并利用所得结果解决了分裂四元数矩阵的极分解和分裂四元数矩阵方程AXB-CYD=E.     

四元数自共轭矩阵乘积的特征值不等式

由于四元数对乘法无交换律,因而对四元数自共轭矩阵的特征值问题的讨论比复数矩阵的相应问题要困难得多,文[1]、[2]分别对四元数自共轭矩阵的特征值和两个四元数自共轭矩阵乘积的特征进行了估计,做了一定的工作,但与复数域上的有关结果相比较,还有较大差距.本文对四元数自共轭矩阵乘积的特征值进行了探讨.得到了较好的结论,推广了[1]、[2]中的结果。     

一对四元数矩阵方程的共轭延拓解

定义广义四元数共轭延拓矩阵的概念,利用矩阵分块和四元数矩阵的实表示方法,分别给出四元数矩阵方程AX=C和XB=D存在列共轭延拓解和行共轭延拓解的必要充分条件及解的表达式.     

四元数自共轭矩阵乘积的相似变换

本文证明了下列结果:(i)四元数矩阵A可写成两个自共轭四元数矩阵的乘积A相似于实矩阵A Hermite相似于A~*.(ii)A可写成一个半正定自共轭四元数矩阵与一个自共轭四元数矩阵的乘积A相似于实对角矩阵或者A～diag(D,I_r(×)J_2(O)),其中D是一个实对角矩阵.本文还给出了体上实矩阵AB与BA相似的一个充要条件.     

正定自共轭四元数矩阵的均值

本文引进了两个正定自共轭四元数矩阵的算术均值，几何均值，调和均值三概念，给出了正定自共轭四元数矩阵的算术－几何－调和均值不等式，得到了正定自共轭四元数矩阵的几何均值的一个最大性质及其相关的某些性质．     

四元数矩阵的惯性定理与稳定性

本文给出了四元数矩阵惯性的定义,讨论了四元数体上Lyapunov矩阵方程的唯一解,推广了一般惯性定理、Lyapunov稳定性定理、Carlson-Schneider定理、Stein稳定性定理等一些重要的结果到四元数矩阵,同时得出了四元数体上稳定矩阵的一些判别条件.     

自共轭四元数循环矩阵的特征值问题

循环矩阵是一类应用广泛的特殊矩阵.设A是一个自共轭四元数循环矩阵,运用四元数矩阵的复表示,以及循环矩阵的特定结构形式,得到了矩阵A的特征值的计算公式.反之,对于任意给定的n个实数,证明了一定存在自共轭四元数循环矩阵A,使得A以这n个实数为它的特征值,同时给出了自共轭四元数循环矩阵A的计算方法.推广了复循环矩阵的相关理论结果.     

自共轭四元数矩阵的行列式的展开定理及其应用

本文是在[1]文的基础上,证明自共轭四元数矩阵 A 的行列式‖A‖的展开定理,而当 A 为实对称矩阵或复 Hermitian 矩阵时,‖A‖的展开式即与通常的行列式|A|的展开式一致.并由此进一步得出 A 的特征多项式 f(λ)就是 A 的特征矩阵的行展开式,从而得到 f(λ)的直接计算法,且由此又得到正定与半正定自共轭矩阵的另一等价命题,完善了[2]中(?)4的结果.还有一些关于实、复正定与半正定矩阵的重要定理,也可应用展开定理把它们加以推广.     

四元数矩阵的分解与Lavoie不等式的推广

注意到著名的Hadamard不等式推广的新近进展,本文在[3]～[6]的基础上研究了Lavoie行列式不等式在四元数体H上的推广。为此,我们先证明了四元数矩阵的两个分解定理。 本文约定:是半正定自共轭的是正定的, 1.四元数矩阵的因式分解 由[4]、[5],利用矩阵分块方法证得 引理1 设m是自然数,则有唯一的,使得A=B~m,且     

具有转移条件的四阶微分算子自共轭边界条件的统一规范型

研究了具有转移条件的四阶正则微分算子自共轭边界条件的统一规范型.在标准型的基础上通过对自共轭边界条件矩阵左乘非奇异矩阵和右乘辛矩阵给出了四阶微分算子自共轭边界条件的统一规范型.结果表明具有转移条件的四阶自共轭微分算子的边界条件的统一规范型不仅与边界条件矩阵的秩有关,而且与转移条件矩阵的行列式有关.     

四元数矩阵的特征值与奇异值不等式

关于复矩阵特征值与奇异值不等式的研究,[1]中已有既系统又较深入的综述。四元数矩阵的特征值,自[2]、[3]的工作以来,近三十年中进展甚微,其特征值不等式至今未见论述。近些年来,由于体上矩阵标准形理论研究的进展,谢先生在[5]中定义了体上一类矩阵的特征值,使得这方面的研究又有了新的势头。本文就是在[5]的特征值定义下,对四元数矩阵的特征值与奇异值不等式作些考察,将复矩阵论中著名的特征值Cauchy交错定理,奇异值Thompson交错定理以及惯性律的Ostrowski数量公式推广到四元数体H上。     

四元数自共轭矩阵和的特征值的不等式

本文将Wietandt关于复自共轭矩阵的特征值和的变分特征以及和的特征值的不等式推广到四元数体上，由此还给出了复自共轭矩阵的主对角元与特征值的优化关系的Schur定理、复矩阵的主对角元的模与奇异值的优化关系的Fan定理在四元数体上的推广.     

四元数向量和矩阵的秩

在四元数和四元数向量、矩阵空间上引入三种不同的实表示法则，将四元数列向量的左右线性相关性问题转换成实数域上向量的线性相关问题，由此获得用实矩阵的秩代替四元数矩阵列左秩和列右秩计算方法，同时得出四元数矩阵可逆的一些充要条件和一些新的四元数行列式定义．