一个不等式的证明及应用

作为｜ａ｜＋｜ｂ｜≥｜ａ＋ｂ｜的应用,不等式｜ａ｜１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜１＋｜ｂ｜≥｜ａ＋ｂ｜１＋｜ａ＋ｂ｜的证明是大家熟知的;事实上,它可推广成：｜ａ｜１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜１＋｜ｂ｜＋｜ｃ｜１＋｜ｃ｜≥｜ａ＋ｂ＋ｃ｜１＋｜ａ＋ｂ＋ｃ｜;利用ｆ（ｘ）＝ｘ１＋ｘ在（０,＋∞）上是增函数及｜ａ｜＋｜ｂ｜≥｜ａ＋ｂ｜不难给其证明,从略;通过类比,有以下重要结论：定理　若｜ａ｜＜１,｜ｂ｜＜１,｜ｃ｜＜１,则（１）｜ａ｜１－｜ａ｜＋｜ｂ｜１－｜ｂ｜＋｜ｃ｜１－｜ｃ｜≥｜ａ＋ｂ＋ｃ｜１－１３｜ａ＋ｂ＋ｃ｜;若｜…     

｜a b｜≤｜a｜ ｜b｜取舍等号的条件应用

我们知道不等式｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜是高中代数下册中２５页的一个定理,它在解有关绝对值问题中有着重要的应用．我们现对这个不等式取舍等号的条件进行分析,不难得到两条重要的推论：１．｜ａ＋ｂ｜＝｜ａ｜＋｜ｂ｜ａｂ≥０;２．｜ａ＋ｂ｜＜｜ａ｜＋｜ｂ｜ａｂ＜０．这两个基本的互逆关系,显示了数学协调美的内力,充分体现了数学问题的相互转化的作用,标志着它们必有优美的应用．下面举例说明．例１　（上海市１９８４年中学数学竞赛题）方程｜２ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＝｜ｘ＋１｜的实数解为．解　原方程可化为｜２ｘ－…     

共焦点的两条焦半径垂直的一个充要条件

在椭圆和双曲线中,关于共焦点P的两条焦半径｜PF1｜与｜PF2｜垂直的充分必要条件是中学数学研究的热点,而对于共焦点F的两条焦半径｜FA｜与｜FB｜垂直的研究并不多见,为此,笔者对它作了一点研究,得到了如下一个性质．     

一堂解题教学课的实录与启发

在学习了｜a｜-｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜+ ｜b｜之后 ,我精心设计了一堂解题教学课 .在师生的互动活动中 ,教学过程一波三折 ,效果出人意料 ,使我深受启发 .现在对本次课记录如下 ,与大家共享 .出示例题 :求函数f(x) =｜x + 1 ｜-｜x- 2 ｜的最小值经过思考后 ,一位同学提出如下解法 :因为 ｜x+ 1｜≥｜x｜- 1 ①-｜x- 2 ｜≥- ｜x｜- 2 ②所以① +②有 :｜x+ 1｜- ｜x- 2｜≥ 3 ③即　f(x) min =- 3教师评议 :解题思路清楚 .唯一不足的是 :需要指出取“=”的条件 .要使f(x)最小值存在 ,必须③中取得“=” ;③中取得“ =” ,需要①②中“=”…     

Bloch型函数的高阶径向导数

讨论了复超球上全纯函数的高阶导数的增长速度 ,证明了f∈Bα 的充分必要条件是supa∈B(1- ｜z｜2 ) m+α- 1｜Rmf(z) ｜ <∞ ,或supa∈B∫B(1-｜z｜2 ) (m+α- 1) ｜Rmf(z) ｜pJRφα(z)dv(z) <∞ ,或 (1- ｜z｜2 ) p(m+α- 1) ｜Rmf(z) ｜pdv(z)是Bergman Carleson测度 .     

一个特殊等比数列

众所周知,若点Ｐ内分线段ＡＢ,使得｜ＡＰ｜／｜ＰＢ｜＝｜ＢＡ｜／｜ＡＰ｜则称这一分割为黄金分割,而｜ＡＰ｜／｜ＡＢ｜的值称为黄金分割比,我们用λ表示,λ＝（－１＋５）／２;著名数学家华罗庚推广的“优选法”,又称０．６１８法,其中０．６１８就是λ的近似值,显然,｜ＡＢ｜、｜ＡＰ｜、｜ＢＰ｜的值成等比数列,｜ＡＰ｜为｜ＢＰ｜和｜ＡＢ｜的比例中项,而｜ＡＰ｜＝λ｜ＡＢ｜,若设｜ＡＢ｜＝１,则｜ＡＰ｜＝λ;由上启示,我们得到一个特殊等比数列｛ａｎ｝：它的首项为ａ１,公比为λ＝（５－１）／２．这个特殊等比…     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式｜a｜—｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜的另证．     

关于某类Reinhardt域的Bergman核函数与解析自同构最大群

本文给出了Ｒｅｉｎｈａｒｄｔ域Ｄ＝｛ｚ＝（ｚ１，ｚ２，ｚ３）∈：｜ｚ１｜２ｋ＋｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜２＜１，ｋ＞０｝的Ｂｅｒｇｍａｎ核函数，Ｂｅｒｇｍａｎ度量方阵及其解析自同构最大群。     

A Note to the Cauchy Problem for the Degenerate Parabolic Equations with Strongly Nonlinear Sources

In this note we study the nonexistence of nontrivial global solutions on S = R^N × （0,∞） for the following inequalities：｜u｜t≥△（｜u｜^m-1u）＋｜u｜^q and ｜u｜t≥div（｜△u｜^p-2△｜u｜）＋｜u｜^q.When m,p,q satisfy some given conditions, the nonexistence of nontrivial global solution is proved, without taking their traces on the hyperplans t = 0 into account.     

找回遗漏的解

题目1已知函数f（x）=｜x＋1｜＋｜x＋2｜＋…＋｜x＋2011｜＋｜x-1｜＋｜x-2｜＋…＋｜x-2011｜（x∈R）,且f（a^2-3a＋2）=f（a-1）,则满足条件的所有整数a的和是_____．     

有限群的ss-置换子群

设G为有限群,称G的子群H为ss-置换子群,如果存在G的次正规子群B使得G=HB,且H与B的任意Sylow子群可以交换,即对任意X∈Syl（B）有XH=HX.利用子群的ss-置换性来研究有限群的结构,得到有限群超可解的两个充分条件.     

关于Aluthge变换的数值域

设A是作用在希耳伯特空间H上的有界线性算子,如果A=V A是算子A的极分解,则定义A~=A 12V A 21和A~(*)=A*21V A*21分别为算子A的Aluthge变换A~和*-Aluthge变换A~(*).记A~和A~(*)的数值域分别为W(A~)和W(A~(*)).证明了W(A~)=W(A~(*)),即肯定了吴提出的一个猜想.     

Explicit Formulas of the Bergman Kernel for Some Reinhardt Domains

In this paper we obtain the closed forms of some hypergeometric functions. As an application, we obtain the explicit forms of the Bergman kernel functions for Reinhardt domains \(\{|z_3|^{\lambda } < |z_1|^{2p} + |z_2|^2, \ |z_1|^{2p} + |z_2|^2 < |z_1|^{p} \}\) and \(\{|z_4|^{\lambda } < (|z_1|^2 + |z_2|^2)^{p} + |z_3|^2, \ (|z_1|^2 + |z_2|^2)^{p} + |z_3|^2 < (|z_1|^2 + |z_2|^2 )^{p/2} \}\).     

Nonexistence of Blow-up Flows for Symplectic and Lagrangian Mean Curvature Flows

In this paper we mainly study the relation between $|A|^2, |H|^2$ and cosα (α is the Kähler angle) of the blow up flow around the type II singularities of a symplectic mean curvature flow. We also study similar property of an almost calibrated Lagrangian mean curvature flow. We show the nonexistence of type II blow-up flows for a symplectic mean curvature flow satisfying $|A|^2≤λ|H|^2$ and $cosα≥δ>1-\frac{1}{2λ}(½≤α≤ 2)$, or for an almost calibrated Lagrangian mean curvature flow satisfying $|A|^2≤λ|H|^2$ and $cosθ≥δ>max\ {0,1-\frac{1}{λ}}(\frac34≤λ≤ 2)$, where θ is the Lagrangian angle.     

Fujita型反应扩散方程组整体解的存在性、非存在性与渐近性质

本文研究 Ｆｕｊｉｔａ型反应扩散方程组的初值问题：ｕｔ－△ｕ＝ａ１ｕ~α１－１ｕ＋ｂ１ｖ~β１－１ｖ,ｖｔ－△ｖ＝ａ２ｕ~α２－１ｕ＋ｂ２ｖ~β２－１ｖ,ｕ（Ｘ,０）＝ｕ０（Ｘ）,Ｖ（Ｘ,０）＝Ｖ０（Ｘ）,（Ｘ,ｔ）Ｒ~Ｎ ｘ Ｒ~＋,其中 ａｉ,ｂｉ≥ ０, αｉ,βｉ≥ １（ｉ＝ １,２）,给出了非负整体 Ｌ~ｐ解与古典解存在性与非存在性的一系列充分条件,并讨论了解的渐近性质．本文所用方法和所得结果与已有的工作［１－４］,有很大的不同,不但在某些方面推广了［１－５］,而且从某些方面改进了［１］的结果。     

Existence and asymptotic behaviour of solutions of a nonlinear evolution problem

We prove existence and asymptotic behaviour of a weak solutions of a mixed problem for where A is the pseudo-Laplacian operator.     

一类二分图的k-匹配数

设G是一个具有二分类(X_1,X_2)的简单偶图,|X_1|=|X_2|=n,如果对于给定的c>0,|M(S)|≥(1+c)|S|对任意满足|S|≤n/2的S(?)X_i(i=1,2)都成立,其中N(S)是S的邻集,则称G是(n,c)-扩张图.给出了(n,c)-扩张图的k-匹配数与完美匹配数之比的顺从界.     

Best Partial Covering of a Convex Domain by Congruent Circles of a Given Total Area

Generalizing results of L. Fejes Toth [3], [5], we prove the following theorem. Let R be a convex domain of area |R| and let S be a finite family of at least two congruent circles of total area t. Then for the area |F| of the part of R covered by the circles of S, the inequality |F|< tf(|R|/t) holds, where f(x) is the area of the intersection of a circle of unit area and a regular hexagon of area x concentric with the circle.     

具临界指数和临界非线性边界条件的拟线性椭圆型方程Neumann问题

本文给出ＲＮ（Ｎ３）中有界光滑区域Ω上的拟线性椭圆型方程：－∑Ｎｉ＝１ｘｉ·｜Ｄｕ｜ｐ－２ｕｘｉ＝λ｜ｕ｜ｐ－２ｕ＋ａ（ｘ）｜ｕ｜ｐ－２ｕ＋ｆ（ｘ，ｕ），ｘ∈Ω（λ＞０，ｐ＝Ｎｐ／（Ｎ－ｐ），２ｐ＜Ｎ）在边界条件：－｜Ｄｕ｜ｐ－２Ｄνｕ｜Ω＝ψ（ｘ）｜ｕ｜ｑ－２ｕ（ｑ＝（Ｎ－１）ｐ／（Ｎ－ｐ））下的多解性结果．     

Quantitative Stability of the Brunn-Minkowski Inequality for Sets of Equal Volume

The authors prove a quantitative stability result for the Brunn-Minkowski inequality on sets of equal volume:If |A| =|B| ＞ 0 and |A + B|1/n =(2 + δ)|A|1/n for some small δ,then,up to a translation,both A and B are close (in terms of δ) to a convex set K.Although this result was already proved by the authors in a previous paper,the present paper provides a more elementary proof that the authors believe has its own interest.Also,the result here provides a stronger estimate for the stability exponent than the previous result of the authors.