对两道习题的思考

<正>题1已知:如图1,直线AB与⊙O相切于点C,AO交⊙O于点D,连结CD,OC.求证:∠ACD=1/2∠COD.原解如图1,作OE⊥CD于点E,则∠COE+∠OCE=90°.∵⊙O与AB相切于点C,∴OC⊥AB,即∠ACD+∠OCE=90°.∴∠ACD=∠COE.∵△ODC是等腰三角形,OE⊥CD,     

一道含45°角的斜三角形几何题的“步步探寻”

<正>题目如图1,在斜△ABC中,若∠BAC=45°,CD⊥AB于D,AE⊥BC于E,交CD于H,求证:DH=DB.通过证明△ADH≌ΔCDB可得结论.这是一道含45°的常见的几何题,重在考查同学们对全等三角形的判定与性质的运用.当我们对该题进一步挖掘时,发现一些新的结论:     

菱形中的一道精彩试题

<正>题目已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G为垂足.求证:四边形CEGF是菱形.一、一题多证思路分析1先证四边形CEGF是平行四边形,再证EG=EC.证法一如图1,∵AE平分∠BAC,EC⊥AC,图1EG⊥AB,∴EC=EG,EG∥CF.又∵∠ACD+∠CAD=90°,     

由课本例题拓展、引伸出来的好题——兼评海南省2002年的一道中考题

课本上典型的例(习)题是中考题的母体.把这些例(习)题变化、拓展、引伸,便得到很有特色的新题、好题.海南省2002年中考的数学卷的第27题就是一道由课本的例题拓展引伸出来的好题.海南省2002年中考题的第27题是源于几何第三册Ｐ109的例3.该题目是:已知:ＡＢ是⊙Ｏ的直径,ＢＣ是⊙Ｏ的切线,切点为Ｂ,ＯＣ平行于弦ＡＤ(如图1).求证:ＤＣ是⊙Ｏ的切线.要证明ＤＣ是⊙Ｏ的切线,只要证明过Ｄ点的半径垂直于ＤＣ就可以了.因此,我们就必须连结ＯＤ,然后证明ＯＤ⊥ＤＣ,根据题设条件不难证明这点.该题给出了证明过圆上一点的直线为圆的切线的一种常用…     

立几开放题的常见类型与解法

所谓立几开放题,一般是指那些条件不完备或结论不确定的立几问题,近几年高考中陆续出现了一些具有综合性、应用性、探索性的立几开放题,下面介绍四种常见类型与解法,供师生复习参考.类型1“探寻条件”型例1如图1,M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点,当空间四边形ABCD满足条件时,四边形MNPQ是矩形?思路:从中位线定理出发,展开联想.解,由于平行四边形MNPQ中,MN∥AC,NP∥BD,因此只要AC⊥BD,就可得MN⊥NP,即MNPQ是矩形.当A—BCD为正四面体或A—BCD是正三棱锥时,有AC⊥BD成立.故本题可以填:AC⊥B…     

一道中考题的多解与变式

<正>本文以课本基本图形(如图1、图2)为依托,对一道中考题进行多解与变式如下.题目(2013年绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图3,AC∶AB=1∶2,EF⊥CB,求证:EF=CD;(2)如图4,AC∶AB=1∶31/2,EF⊥CE,求EF∶EG的值.     

2011年高考立体几何题解法探究及对教学的启示

一、问题提出 2011年全国高考数学理科中有这样一道立体几何题. 如图1,四棱锥S-ABCD中,AB//CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)求证:SD⊥平面SAB; (2)求AB与平面SBC所成的角的大小.     

巧构造,妙解题

<正>前几天的考练中,有这样一道几何题:在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,在三角形内有一点D,使得AB=DB,AD=CD,求∠ABD的度数.起初,因为老师讲过类似的题目,只是条件改变了,所以我首先想到了用"垂线法"解决这个问题,具体如下:过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.容易证明四边形AMDN是矩形,因此AN=DM.∵AD=CD,DN⊥AC,∴DN为线段AC的中垂线,则AN=     

由图形的运动变化显示几何元素间的关系(续)

7.(1)这是1978年高考时的一道几何题,已知AB是直径EF与圆相切于CAE⊥EF于E,BF⊥EF于F,CG⊥AB于G,求证CG~2=AE·BF(见下图)。这一题,我们用运动的观点来加以研究时,可以得出很多有趣而且很重要的结论。一般的有:     

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

一个基本图形在中考题中的应用

大家知道,在复杂的几何图形中,往往可分解为几个基本图形.善于识别和分解基本图形,是提高解题速度,培养解题能力的有效途径.一、基本图形如图1,已知AB∥CB,AC、BD交于点E,EF∥AD交AB于点F.设AD=a,CB=b,EF=c求证:1a+1b=1c.然而求轨迹方此基本图形在各种教科书上都有出现,程善于从课本习题中总结提炼基本图形,抓住基本图形的特征并应用于解题,是学生善于学习的体现.二、基本图形的应用例1(2002年黄冈市中考题)已知:如图2,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC和BD相交点E,EF⊥BC,垂点为F,我们可以证明1AB+1CD=1EF成立(不要求…     

一道竞赛题的简证及有关新结论

1原题及其简证原题在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,°P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM⊥AC,BN⊥AC.求证:M、N、P三点共线.(2005年全国初中数学联赛D卷)图1证法1如图1,设DM、BN分别交AC于点E、F,联结PM、PN.易知DM∥BN,则EMBF=AEAF,DEFN=CECF.于是EMBF·DE     

数学问题解答

1991年3月号问题解答(解答由问题提供人给出) 701、在正方形ABCD的边BC,CD上各取一点E,F:∠EAF=45度;作EM⊥AF于M、FN⊥AE于N,又作AO⊥MN于0.试证:O点是正方形ABCD的中心.     

空间中的平面轨迹--一类热门高考题

2004年重庆市高考题有这样一道题: 四面体ABCD,在面ABC内有一点P,P到 平面BCD的距离等于P到AB的距离,则在平 面ABC内的P点轨迹为(　　)? 图10图2 解　如图2所示,作PE⊥AB于H,PE⊥ 平面E,PF⊥BC于F,设PH=PE=a,平面 ABC与平面BCD所成的角为α,则PH=PE= PF·sinα,所以P在平面ABC的轨迹是直线, 答案(D) 同样的,在2004年北京市高考题有这样一 道题 P是正方体ABCD—A1B1C1D1面BCC1B1 上的任意一点P到棱B1C1的距离等于P到棱 CD的距离,则P的轨迹是(　　) (A)直线　　　　(B)椭圆 (C)双曲…     

是对还是错

几何第二册第146页B组第二题:一组对角相等一组对边相等的四边形是平行四边形吗?李俊杰同学认为是对的,他的证明如下: 已知如图1,四边形ABCD中,∠B=∠D,AB=CD, 求证四边形ABCD是平行四边形. 证明分别过A、C作AE⊥BC于E,CF⊥AD于F→∠AEB=∠CFD=90°,∠B=∠D,AB=CD,则Rt△ABE≌Rt△CDF→①BE=DF,②AE=CF.连结 AC.在Rt△ACE与 Rt△CAF中,∠AEC=∠CFD=90°,AC=CA,已证AE=     

重温三垂线定理的证明

例题如图。AB是圆0的直径,PA垂直于圆0所在的平面,C是圆周上一点,求证:△PAC所在的平面垂直于△PBC所在的平面。错证∠ACB是半圆上的圆周角BC⊥AC,AC是PC在平面ABC上的射影BC⊥PC(三垂线定理)BC⊥平面PAC平面PBC⊥平面PAC。错处 BC⊥PCBC⊥平面PAC属循环论证。错因忽略了三垂线定理的证明。颠倒了推理的逻辑顺序。现借助上图,重温三垂线定理的证明:     

数学问题解答

761.已知E、F分别是正方形ABCD的BC、CD上的点,EN⊥AF于N,FM⊥AE于M。试证:B、M、N、D四点共线?∠EAF     

一道中考题的多种解法

题目(2014年重庆市中考数学第18题)如图1,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为.解法一如图1,由CF⊥BE和OB⊥OC得△BOG∽△CFG,     

三垂线定理及其逆定理的学习

三垂线定理及其逆定理是立体几何中的重要定理 ,应用十分广泛 .学好三垂线定理及其逆定理 ,首先要弄清该定理中涉及的面及各条线之间的关系 .图 1无论三垂线定理还是逆定理 ,其结构都是“一面四线” ,如图 1所示 :平面α ,斜线PA ,射影AO ,垂线PO ,平面内直线l.其中一面是指α ,三垂线是指 :PO ,OA ,l .共涉及四个垂直关系 :PO⊥OA ,PO⊥l,AO⊥l ,PA⊥l.为了更好地帮助同学们认清定理的本质 ,消除模糊认识 ,配与以下例题 .例 1　判定下列命题是否正确 :①若a是平面α的斜线 ,直线b垂直于a在α内的射影 ,则a⊥b .②若a是平面α的斜线…     

一道联赛试题的解法探讨

<正>题目如图1,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.这是2012年全国初中数学联合竞赛第二试(B)第二题,是一道内涵丰富、不落俗套、颇具启发性的好题,本文就此题的解法作以下探讨.1.试题原证回放如图2,连接OA、OB、OC.因为AD⊥OP,OA⊥AP,