勾股三角形的内(傍)切圆半径的性质(待续)

边可以用然数表示的直角三角形叫做勾股三角形。边为x、y、z的勾股三角形记作(x,y,z)。其中x、y是直角边,较短的称为勾,较长的称为股;z是斜边,称为弦。今后亦可将符号(x,y,z)叫做勾股数组。x,y,z分别叫做勾数,股数,弦数。三角形(x,y,z)的边满足方程 x~2 y~2=z~2 (1)相反地,如果自然数x,y、z满足方程(1),那末从几何学中知道,边为x、y、Z的三角形是直角三角形。因此,研究勾股三角形可以归结为研究方程(1)的自然数解。故称方程(1)为勾股方程。 1.存在无数多个勾股三角形。如果把给定的勾股三角形的各边同乘以一个自然数,可得到与已知三角形相似的另一个     

关于一类Heron三角形的判定与计数

边长和面积都是整数的三角形称为Ｈｅｒｏｎ（海伦）三角形，此前曾有文章讨论过它的一些有趣特性．为简便，本文用Ｈ△表示Ｈｅｒｏｎ三角形；边长为整数的直角三角形（即勾股三角形）用Ｂ△表示，显然Ｂ△是Ｈ△的一种特殊情形．如果一个Ｈ△是Ｂ△或其一条高线可将它分...     

一直角边为定值的勾股形的个数

一直角边为定值的勾股形的个数张文忠（四川成都四川工业学院６１１７４４）我们将三条边长ｘ，ｙ，ｚ都是正整数的直角三角形称为勾股三角形，此时有ｘ２＋ｙ２＝ｚ２①常遇到这样的问题：任给定正整数ａ为一直角边，如何求出一个句股三角形的另外两边的长（见［１］）．...     

求勾股弦数的几种方法

在初中《几何》第一册,介绍了著名的勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a~2+b~2=c~2 (1)我国古代就把直角三角形的直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦。我们把满足(1)式的正整数组(a,b,c)称为勾股弦数,即以正整数为边长的直角三角形的三边之长。其中a、b称为勾股数,且勾、股数是可以互     

我发现了勾股数的规律

一、问题的提出勾股定理我很早就知道,不过只是很肤浅的,只能利用它求直角三角形的边而已．有一天上课,老师提到勾股数,我不清楚这是什么?老师说:符合勾股方程的一组整数解,称     

勾股数组的表达公式及勾股数组

<正>所谓勾股数组,就是分别以三个正整数为边长的三边能组成直角三角形,满足两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是勾与股的平方和等于弦的平方,即满足等式x~2+y~2=z~2①的三个正整数x、y、z组成的一组数称为勾股数组.定理1不定方程(1)的一切正整数解可以用下列公式表示出来:     

关于整边勾股形内整距点问题的探讨

关于整边勾股形内整距点问题的探讨河南省邵阳县下塘云中学张小阳边长为正整数（如５，１２，１３）的直角三角形叫做勾股形．若勾股三角形内部的点Ｐ到它的各边的距离均为正整数，则称点Ｐ叫做整边勾股形内的整距点．（以下简称整距点）问题ＡＢＣ的三边分别为ａ、ｂ．ｃ...     

“望海岛”一题解题方法推广

<正>"望海岛"是《海岛算经》一书中的第1题,《海岛算经》的作者刘徽是我国著名数学家."望海岛"是一道有关于直角三角形相似的测量问题,但是当时我国并没有相似三角形的相关知识,因此我国数学家另辟蹊径,通过构造图形,应用余形定理得到"相似勾股形对应勾股成比例"这一结论,这种方法在《初等数学史话》一书中称为"等面积法",但是"等面积法"只能应用于直角三角形吗?在一般的三角形中可以通过构造平行四边形得到"相似三角形对应边成比例"这一结论吗?下面将针对这些问题进行讨论.     

以勾股图为模型的中考试题及其变式探究

勾股定理是刻画直角三角形三边关系的一条重要定理,它的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值.验证勾股定理的方法非常多,最常用的方法之一就是利用如图1所示的勾股图.在近几年的中考中,以勾股图为模型编拟的中考试题屡见不鲜.笔者从近几年的中考试题中选取     

“勾股容圓”問題的解法

“設直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,使切圓的直徑为d,求証:d=(2ab)/(a+b+c)是我国有名的勾股容圓問题,記載在“九章算术”内。这个問題的解法很多,一般用延長斜边c或一条直角边(a或b),使之等于此直角三角形三边之和;然后用相似三角形來解。現在我提出另一种解法:因为od为此直角形的內切圓,所以斜边c和內切圓直徑d之和一定等于二直角边a与b之和;用代数的恒等变形和勾股定理即可解出如下:     

注重数学实质 突出内在联系——青岛版义务教育教科书·数学九年级上册第二章“解直角三角形”介绍

解三角形包括解直角三角形和解斜三角形两类问题.对于解斜三角形,可以通过作斜边上的高,将其转化为解直角三角形问题.因此,解直角三角形在解三角形这一内容中占有重要的地位.在生产、生活及相关学科中,我们经常遇到测量和计算距离、高度、角度等实际问题.这些问题都可以归结为求直角三角形中的边或角的问题.因此,学习本章有着重要的理论价值和实用价值.通过本章的学习以及运用相关知识解决一些简单的实际问题,可使学生进一步体会转化、数形结合和模     

关于整边勾股形内整距点的一个猜想的否定

关于整边勾股形内整距点的一个猜想的否定２２３６００江苏沐阳县教委会张延卫若边长为正整数的勾股三角形内部的点Ｐ到它各边的距离均为整数，则称点Ｐ为整边勾股形内的整距点，简称整距点．文［１］指出，求整距点Ｐ的个数问题可化为不定方程的正整数解（ｘ１，ｘ２，ｘ...     

以勾股定理为背景的中考题

勾股定理,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．我国是最早了解勾股定理的国家之一．我国古代称直角三角形为勾股形,并且把较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,所以称勾股定理,也有人称其为商高定理．勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理．这条定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠,应用十分广泛,被誉为“几何学的基石．”     

关于Rt△整距点的几个结论

直角三角形的整距点,是指到边长为整数的直角三角形各边的距离均为整数的点．在三角形内部的,称为内整距点;在外部的称为外整距点．文［１］［２］［３］相继给出了几个有趣的结论,但仍有许多引人入胜的问题值得讨论． 定理 若基本勾股形的三边长为ａ、ｂ、ｃ（ｃ斜边）,则内整距点的个数不超过．（注：基本勾股形是指三边互素的Ｒｔ△;［ｘ］是取整函数） 该定理给出了内整点个数的一种估计,有一定的应用价值．其证明要用到的工具较多,篇幅较长,故以引理的形式渐次展开． 引理１ 直角三角形三边长互素的充要条件是两直角边互素． …     

关于Evans三角形两个新的性质

<正>1引言1977年,R.Evans在《美国数学月刊》上提出一个未决问题[1]:“求出所有的整数边三角形,使它的某个高与底边之比为整数.”这个问题通常被称为Evans问题.此问题被Richard K.Guy收录在其著名的《数论中未解决的问题》一书[2]中.定义1某个高与底边之比为整数的整数边三角形称为Evans三角形.并称三边长互素的Evans三角形为本原Evans三角形.定义2 Evans三角形中是整数的高与底边之比称为该Evans三角形的Evans比.     

正弦定理教学设计案例一则

1提出问题我们知道三角形两边之和大于第三边,特别地,直角三角形的三边满足勾股定理,并且存在边角关系———三角函数,那么在任意三角形中是否存在一定的边角关系呢?又是什么形式呢?下面我们就来探讨一般三角形中的边角关系.2解决问题2·1研究特例我们先来看一个直角三角形的例     

例谈三角形形状的判断

三角形的形状 (等腰、等边、直角、钝角及锐角三角形 )判断 ,是解三角形中的一类重要问题 .同学们在初中《平面几何》中学习和积累了判断三角形形状的一系列方法 ,概括起来主要是从角和边两个方面来判断 .从角来看 :1)最大角的形状确定了三角形的形状 ;2 )用两个较小角之和也可判断三角形的形状 ;3)等角对等边 .从边来看 :1)等边对等角 ;2 )边之间是否满足勾股关系 .高中《代数》中解三角形时 ,往往或直接或间接地需要判断三角形的形状 .这类题目的条件常常是一个或两个以边和角的三角函数为未知元的方程或不等式 ,属不定型问题 ,解答的方向…     

由勾股定理引发的联想与探究

陆剑鸣老师的这篇文章,以勾股定理为例,告诉同学们对一个问题具体如何进行联想和探究,联想和探究些什么?从哪些角度进行联想?由直角三角形三边的关系,推想到锐角三角形和钝角三角形;由直角三角形三边的等量关系,推想到任意三角形三边的等量关系;勾股定理是三边之间的二次关系,推想到三次四次关系如何?由勾股定理是平面(2维)图形,推想到空间(3维)图形如何?文章写得很好.     

直角三角形相似的判定

1　从一般到特殊 ,发现新命题启发学生回顾和小结一般三角形相似的判定方法 (填入下表中 ) :一般三角形直角三角形1 .两角对应相等 ,两三角形相似 ;1′.一锐角对应相等 ,两直角三角形相似 ;2 .两边对应成比例且夹角相等 ,两三角形相似 ;2′.两直角边对应成比例 ,两直角三角形相似 ;3.三边对应成比例 ,两三角形相似 .3′. (暂空 )　　　 T:直角三角形是一般三角形的特殊情形 .两直角三角形已有一直角对应相等 .从一般三角形相似的判定 ,到直角三角形相似的判定 ,一般地 ,可以减少一个条件 .那么 ,直角三角形相似的判定方法应是怎样的呢 ?S1 …     

奇妙的勾股世界

<正>勾股定理可以称得上是数学中的一颗璀璨的明珠,被称为"几何学的基石",它为我们揭示了直角三角形的三边之间的关系,数千年来,人们一直对勾股定理保持有极高的热情.我们从最简单最熟悉的勾股数入手,可以发现许多结论,探索出许多的规律.我们最熟悉的勾股数有3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等.通过观察这些勾股数组,我发现这些表示弦的数都可以表示成两个