一道联赛试题的推广及递推解法

题目　在一块正六边形区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 ,现有 4种不同的植物可供选择 ,则有　　　种栽种方案 .这是 2 0 0 1年全国高中联赛的一道填空题 ,参考答案给出了一种分类讨论的解法 .这里 ,我们将原问题推广后给出一种递推的解法 .为叙述方便 ,我们可以将原问题一般化后转化为下述等价问题 :在一块正 n边形区域栽种观赏植物 ,该正图 1n边形被其半径分割成 n个三角形块 ,依次记为 A1,A2 ,A3 ,… ,An.要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现在有 k种不同的植物可供选…     

用递推数列研究一例

题目 1　在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种植同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 ,现有 4种不同的植物可供选择 ,问有多少种栽种方案 ?这是 2 0 0 1年全国高中数学联赛最后一个填空题 ,作为一个基本类型的排列组合问题 ,参考答案采用分类讨论的方法求解 ,也是常规方法 .现已有人分别从不同的途径进行了探讨与推广 ,并利用递推数列结合不同的知识对问题作了研究 .本文认为可以直接揭示相邻两项的关系 ,构造递推数列解决上述问题 .先看更一般的问题 .题目 2　把一个圆分为ｎ个扇形 (不一定相同 ) ,并且用ｍ…     

概率知识的一个应用--一道竞赛题别解及其推广

20 0 1年全国高中数学联合竞赛第 1 2题是一道排列组合题 .题目如下 :图 1在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有几种栽种方案 ?试题参考答案用分类讨论方法求解 ,文 [1 ]、文 [2 ]又从不同的两种途径进行了探讨 ,本文则借助递推数列 ,用概率知识求解 ,思路清晰 ,也可推广至一般情形 .答案简洁 ,回味无穷 .不妨沿 AF边界剪开展成图 2 :图 2可供选择的4种不同植物设为 a、b、c、d,题设限制条件即 A至F相邻的两块种不同的植物 ,且首尾 A、…     

两道2001年数学竞赛试题的关联

题目 A　将周长为 2 4的圆周等分为 2 4段 ,从 2 4个分点中选取 8个分点 ,使其中任何两点间所夹的弧长不等于 3和 8.问满足要求的 8点组的不同取法共有多少种 ?说明理由( 2 0 0 1年 CMO试题第 5题 ) .题目 B　将一个正六边形等分为六个全等的正三角形区域 A,B,C,D,E,F.在这六个区域内栽种观赏植物 ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有种栽种方案 ( 2 0 0 1年全国高中数学联合竞赛试题第 1 2题 ) .我们将给出下列更一般的结论 ,从而得到题目 A和 B之间的内在联系 ,其中定理 C是[1 ]…     

构造锥体模型巧解2003年高考排列组合题

题目　某城市在中心广场建造一个花圃 ,花圃分为 6个部分 (如图 1) .现要栽种 4种不同颜色的花 ,每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的图 1　原题图花 ,不同的栽种方法有种 .(以数字作答 )这是 2 0 0 3年全国高考 (理科 )试题第 (15 )题 ,本文构作锥体模型巧解之 .图 2　模型图解析　如图 2 ,将花圃的每个部分视作为棱锥的一个顶点 ,相邻部分用“棱”相连 ,由图1知 ,花圃第 1部分与其余每个部分都相邻 ,因此 ,由该点引出的棱有 5条 ,于是将其视作为五棱锥的顶点 ,而其余部分则视为棱锥底面的顶点 .　　现要在花圃 1至 6六个部分栽种 4…     

摆脱繁琐分类 轻松推理计算

在解决数学问题中人们力求完美,可是在许多数学问题中免不了要分类讨论,当遇到繁琐的分类令我们头痛时,可尝试另辟途径将问题转化以避开繁琐分类呢.下面介绍一些常用的转化方法.1规范图形,合理划区图1例1图例1(2003江苏高考题)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图1,现要载种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种.(以数字作答)本题用分类进行计数较繁,如果我们将图1化成图2,采用下面的方法就不需要繁琐地分类了.图2例1图解先栽种1区,有C14种栽法,把其余五个区视为围绕1区的一个…     

运用函数思想解决环形染色问题

环形染色问题,是排列组合中一类常见类型题,它的解题思路较为复杂.本人发现运用函数的思想方法来探讨这类问题.能轻松地得以解决,并形成较为系统的思想方法加以推广运用.本文试结合几个实例加以说明.1问题的提出问题某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6部分(如图1所示)现栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种(以数字作答).图12常见的解决方法常见的环形染色问题如果用分步解决问题,会遇到最后一个区域选择颜色不确定的情况,所以一般运用分类原理.解法1第一步考虑1,2,3三个部分有A43=2…     

运用函数思想解决环形染色问题

环形染色问题，是排列组合中一类常见类型题，它的解题思路较为复杂．本人发现运用函数的思想方法来探讨这类问题．能轻松地得以解决，并形成较为系统的思想方法加以推广运用．本文试结合几个实例加以说明． 1 问题的提出 问题某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6部分（如图1所示）现栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（ ）种（以数字作答）．     

到底相同不相同

下面4个问题: (1)把4个不同的小球放入3个不同的盒子中,共有多少种不同的方法? (2)把4个不同的小球放入3个相同的盒子中,共有多少种不同的方法? (3)把4个相同的小球放入3个不同的盒子中,共有多少种不同的方法? (4)把4个相同的小球放入3个相同的盒子中,共有多少种不同的方法?     

运用函数思想解决环形染色问题

排列组合是高中数学的一个重要内容,也是与日常工作密切相关的一个主题.通过对这部分内容的学习,不仅要以培养学生的抽象思维能力,而且有利于提高学生的实践意识.但是,对学生而言,某些内容一直被认为是一块难啃的“骨头”.比如环形染色问题,这是排列组合中一类常见类型题,它的解题思路较为复杂.本人经多年实践总结,发现运用函数的思想方法来探讨该类问题.能轻松地得以解决,并形成较为系统的思想方法加以推广运用.本文试结合几个实例做探究.图11问题的提出问题某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6部分(如图1所示)现栽种4种不同颜色的花,…     

基于元胞自动机的植物病虫害传播的计算机仿真

利用元胞自动机方法建立植物病虫害传播的数学模型。在此基础上,分别对两种不同病虫害来源的情况进行仿真。仿真结果表明,在参数给定的情况下,无论病虫来源于自身还是外界,植物病虫害的传播均在一定时间后达到稳定状态,不同状态元胞占有率相近;相同参数下,同病虫来源于自身相比,植物病虫从外界入侵时,植物被感染的变化率较低,病虫害传播路径较有规律,有利于病虫害源的确定和病虫害的治理。     

对一个建桥方案问题的探究

一、引子问题:如图1所示,A、B、C、 D为海上的四个小岛,要建三座桥将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案共有( ) (A)8种 (B)12种 (C)16种 (D)20种简解1:因为C~2_4=6,而C~3_6 一C~3_4=20-4=16,所以共有16种不同的建桥方案．简解2:如图2所示,前者有C~2_4×P~2_2=12     

排列与组合

选择题1　将五列车停放在五条不同的轨道上 ,其中列车ａ不停在第一轨道上 ,列车ｂ不停在第二轨道上 ,那么不同的停放方法有 (　　)(Ａ) 1 2 0种 .　　　　 (Ｂ) 96种 .(Ｃ) 78种 .　 (Ｄ) 72种 .2　用 0 ,1 ,2 ,3,4这五个数组成没有重复数字的五位数 ,其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是 (　　 )(Ａ) 48.　　　　　　 (Ｂ) 36 .(Ｃ) 2 8. (Ｄ) 1 2 .3　有五张卡片的正、反面上分别写有 0与1 ,2与 3,4与 5 ,6与 7,8与 9,将其中任三张并排放在一起组成三位数 ,共可组成不同的三位数的个数为 (　　 )(Ａ) 432 .　　　　 (Ｂ) 33…     

实例简析IB数学报告的要求和特点

1 IB数学报告概要 IB数学报告(这里指标准水平和较高水平)有两份,统称为Portfolio.两份报告必须分属IBO(International Bacclaureate Organization)所规定的两种不同类型:类型Ⅰ:数学研究(mathematical investigation);类型Ⅱ:数学建模(mathematical modeling).两种类型从不同角度考察学生的数学能力.     

植物种子风传播核的概率模型

种子风传播过程是植被地理分布及其对环境变化响应的关键.植物种子风传播核是种子风传播能力的重要特征.建立种子传播核模型对准确预测植被地理分布十分关键.基于风速的对数正态分布和维布尔分布模式,推导出了植物种子风传播核的两种概率模型,并指出了计算步骤.同时,以6种蒲公英为例,分析了不同植物在不同地点和不同月份种子风传播核特征.算例表明,不同植物、不同地点和不同时间种子风传播核的差异,并且种子风传播强度在风速为对数正态分布下比维布尔分布下要高,传播核强度较高最大传播距离在维布尔分布下比对数正态分布下要远.种子风传播模型研究未来需要考虑近地面层空气动力学参数和风速分布其它模式.     

对一个传球问题的探究

1　原问题三个人相互传球 ,由甲开始发球 ,并作为第一次传球 ,经过 5次传球后 ,球仍回到甲手中 ,则不同的传球方式共有 (　　 )(Ａ) 6种 .　　　　 (Ｂ) 8种 .(Ｃ) 10种 . (Ｄ) 16种 .简解　这是 2 0 0 2年广州市普通高中毕业班综合测试 (一 )的第 12题 ,画树图或枚举不难知道 ,符合题意的传球方式共有 10种 ,所以选 (Ｃ) .本文约定 ,如不加说明 ,ｎ ,ｍ都表示正整数 .2　探究一　三个人相互传球 ,由甲开始发球 ,经过ｎ次传球后 ,球仍回到甲手中 ,则不同的传球方式共有多少种 ?2 .1　归纳—猜想设 ｆ(ｎ)表示符合题意的传球方式数 ,用解答原…     

排列、组合、二项式定理

选择题 :本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.用五种不同的颜色给图中各部分涂色 ,相邻图 1　第 1题图(有公共边 )部分涂不同色 ,则不同的涂色方法有 (　　 )(Ａ) 2 6 0种 .　 (Ｂ) 2 4 0种 .(Ｃ) 180种 .　 (Ｄ) 12 0种 .2 .用 1,2 ,3,4 ,5 ,7这 6个数字排成无重复数字的六位数 ,其中偶数数字不相邻的排法有 (　　 )(Ａ)Ｐ66-Ｐ55种 .　　　 (Ｂ)Ｐ66-Ｐ4 4 ·Ｐ22 种 .(Ｃ)Ｐ12 ·Ｐ15·Ｐ14 种 .　　 (Ｄ)Ｐ4 4 ·Ｐ25种 .3.6个人并排站成一排 ,乙必须站在甲的右方 ,丙必…     

过度离散型数据的统计模拟与分析

针对车险索赔次数数据经常出现的过度离散问题,采用数值模拟的方法,分别使用泊松模型(Poisson)、负二项回归模型(NB)以及广义泊松模型(GP)对不同程度的过度离散车险索赔次数数据进行拟合,并用均方误差、偏差以及AIC和BIC准则对Poisson、NB、GP三种模型的优良性进行比较分析,得到了不同条件下三种模型的优良性,并针对不同的条件给出了模型选择的建议.     

劳动人民在生产劳动中合理应用几何学知識的几个实例

許多劳动人民在生产劳动过程中积累了許多宝貴的经驗,这些經驗合理地运用了教学原理。下面我們举几个与几何学联系比較紧密的問題。当归是一种名貴的中药,也是一种大宗的出口品,甘肃岷县的当归,品貭較高,是当地农民主要的一种經济作物,历年都大面积的栽培。栽出的形状如图1.在栽种蔬菜时也都采用这种形状。如图1,当归A,B,D三棵成一正三角形,A,B,C,D四棵之间形成一菱形,其中一夹角为60°。可是初次下地的人們以为图2的栽种方法和图1是一样的,说“图1不过排列好看一点罢了”。其实图2的排列也并非不好看,而主要是因为图1大大发揮了土地利用率。現在我們用数学的方法加以分析。     

灰色预测模型的优化及应用

针对GM(1,1)模型在不同初始条件下预测精度不同的问题,在同一准则下,给出了两种不同初始条件下GM(1,1)优化模型的预测公式.在此基础上,证明出在同一准则下两种优化模型的模拟预测值相等,且都能获得较高的模拟预测精度.最后选取2006-2011年河南省城镇居民人均收入实际值为依据,建立GM(1,1)优化模型,并预测出2012、2013年河南省城镇居民人均收入,为相关决策部门提供了理论依据.