关于3连通图的容错直径和宽直径

容错直径和宽直径是度量网络可靠性和有效性的重要参数．对任意k连通图，它的容错直径Dk不超过宽直径dk,本证明：当D2=2时，d3≤max{D， l，2D3-2}；当D2≥3时，d3≤(D2-1)[2(D2-1)(D3-1)-D2-2] 1．     

3—连通局部连通无爪图是泛连通图

本文证明了若G是连通、局部连通的无爪图,则G是泛连通图的充要条件为G是3-连通图.这意味着H.J.Broersma和H.J.Veldman猜想成立.     

图C4n＋2×P4k＋3的优美性

It is shown that the product graph C_4n＋2×P_4k＋3 is graceful.     

3—连通正则无爪图的Hamilton圈

本文证明了：任一阶数不超过６ｋ－４的３－连通ｋ－正则无爪图是Ｈａｍｉｔｏｎ的。     

2-连通无爪图的连通因子

若图G不含有同构于K1,3的导出子图,则称G为一个无爪图.令a和b是两个整数满足2≤a≤b.本文证明了若G是一个含有[a,b]因子的2连通无爪图,则G有一个连通的[a,b 1]因子.     

一类泛连通无爪图

本文证明了如果Ｇ是３连通无爪图，且Ｇ的每个导出子图Ａ，Ａ＋都满足（ａ１，ａ２），则Ｇ是泛连通图（除了当ｕ，ｖ∈Ｖ（Ｇ），ｄ（ｕ，ｖ）＝１时，Ｇ中可能不存在（ｕ，ｖ）－ｋ路外，这里２≤ｋ≤４）．     

2-阶邻域连通无爪图的Hamilton性

设Ｇ是无爪图．对ｘ∈Ｖ（Ｇ），若Ｇ［Ｎ（ｘ）］不连通，则存在ｙｉ∈Ｖ（Ｇ）－｛ｘ｝（ｉ－１，２），使｜Ｎ（ｙｉ）∩Ｋｉ（ｘ）｜≥２，且｜Ｎ（ｙｉ）∩Ｎ（Ｋｉ＋１（ｘ））｛ｘ｝｜≥２（ｉ模２），那么称无爪图Ｇ是强２－阶邻域连通的，其中Ｋ１（ｘ），Ｋ２（ｘ）分别表示Ｇ［Ｎ（ｘ）］的两个分支．本文证明了：连通且强２－阶邻域连通的无爪图是Ｈａｍｉｌｔｏｎ图．     

广义Petersen图的宽直径

广义Petersen图是一类重要的并被广泛研究的互连网络。本文证明了广义Petersen图 P(m,2)的直径和3宽直径分别为O(m/4)和O(m/3)。     

关于3正则图的三匹配交猜想(Ⅱ)

Fan和Raspaud 1994年提出如下猜想：任一无桥3正则图必有三个交为空集的完美匹配．本文证明了如下结果：若G是一个圈4-边连通的无桥3正则图，且存在G的一个完美匹配M1使得G—M1恰为4个奇圈的不交并，则存在图G的两个完美匹配M2和M3使得M1∩M2∩M3=Φ。     

10阶无弓形链环图

证明边数等于10的3‖δ_(v,f)-平图在连通性和顶点最大度条件限制下的三个唯一性结论,进而确定10阶无弓形链环图.     

强定向图的k-强距离

对强连通有向图D的一个非空顶点子集S,D中包含S的具有最少弧数的强连通有向子图称为S的Steiner子图,S的强Steiner距离d(S)等于S的Steiner子图的弧数. 如果|S|=k, 那么d(S)称为S的k-强距离. 对整数k≥2和强有向图D的顶点v,v的k-强离心率sek(v)为D中所有包含v的k个顶点的子集的k-强距离的最大值. D中顶点的最小k-强离心率称为D的k-强半径,记为sradk(D),最大k-强离心率称为D的k-强直径,记为sdiamk(D). 本文证明了,对于满足k+1≤r,d≤n的任意整数r,d,存在顶点数为n的强竞赛图T′和T″,使得sradk(T′)=r和sdiamk(T″)=d;进而给出了强定向图的k-强直径的一个上界.     

直径为三的不可上嵌入的图

本文证明了只存在一类3-边连通的直径为三的12个点的不可上嵌入的图.     

含有两个非临界点的强连通定向图的弧数

证明顶点数为$n\geq 4$,弧数为$m\geq {n-1 \choose 2}+3$的强连通定向
图$D$中存在两点$u^*$、!$v^*$,使得$D-u^*$和$D-v^*$都是强连通的, 并用例子说明这里所给的
关于弧数的下界是紧的.     

关于图的定向4—边形嵌入

本文中考虑的图均是连通的．没有重边和环的图称为简单的．若Ｘ为一个图Ｇ的边子集,记号 Ｇ＼表示 Ｇ中去掉 Ｘ中的所有边后所得到的图．有关图的基本术语和记号均同［１］．Ｐｉｓａｎｋｉ在［２］中研究正则偶图的定向４－边形嵌入．所谓一个图Ｇ的定向４－边形嵌入是指Ｇ到某定向曲面Ｓ的一个２－胞腔嵌入使得Ｇ在Ｓ上的每个面的边界是Ｇ中一个长为４的圈（这里,Ｇ中的圈是Ｇ的一条点不交的闭迹）．若Ｇ为简单偶图,因Ｇ中不含长为１,２和３的圈,由Ｅｕｌｅｒ公式确定Ｇ有定向４－边形嵌入等价确定了Ｇ的最小亏格嵌入．关于这类问题…     

图的连通控制数与无赘数的一个不等式

设G是连通图,γ_C(G)和ir(G)分别表示G的连通控制数和无赘数。孙良于1990年证明了γ_c(G)≤4ir(G)—2,同时提出猜想γ_c(G)≤3ir(G)—2。本文进一步研究γ_c(G)与ir(G)的关系,并证得上述猜想成立。     

变更图的直径

P(t,n)和C(t,n)分别表示在阶为n的路和圈中添加t条边后得到的图的最小直径；f(t,k)表示从直径为k的图中删去t条边后得到的连通图的最大直径．这篇文章证明了t≥4且n≥5时,P(t,n)≤(n-8)/(t 1) 3；若t为奇数,则C(t,n)≤(n-8)/(t 1) 3；若t为偶数,则C(t,n)≤(n-7)/(t 2) 3．特别地,「(n-1)/5」≤P(4,n)≤「(n 3)/5」,「n/4」-1≤C(3,n)≤「n/4」．最后,证明了：若k≥3且为奇数,则f(t,k)≥(t 1)k-2t 4．这些改进了某些已知结果．     

关于3正则图的三匹配交猜想(Ⅰ)

Fan和Raspaud 1994年提出如下猜想任一无桥3正则图必有三个交为空集的完美匹配. 本文研究一类特殊的无桥3正则图G存在图G的一个完美匹配M1使得G-M1恰含有两个奇圈和若干偶圈. 在偶圈数≤2的情形以及在偶圈数≤4且G是圈4-边连通的情形,本文证明了一定存在图G的两个完美匹配M2和M3使得M1∩M2∩M3=φ.     

C2(4,k) 中的强支撑可迹图

设2≤h≤3,l0,k≥0是整数,C_h(l,k)是由h-边连通简单图组成的集合,图G∈C_h(l,k)当且仅当对图G的任意一个二边割或三边割X,图G-X的每个分支都至少有︱V(G)-k︱/l个点.设e=u_1v_1和e'=u_2v_2是图G的两条边.若e≠e',G(e,e')是将图G中的边e=u_1v_1和e'=u_2v_2分别用路u_1v_ev_1和u_2v_e'v_2替换得到的图(其中,v_e,v_e'是不在V(G)中的两个新的点).若e=e',G(e,e')是将图G中的边e=u_1v_1用路u_1v_ev_1替换得到的图,也记作G(e).若对任意的e,e'∈E(G),G(e,e')都有支撑(v_e,v_e')迹,则称图G是强支撑可迹的.作者证明了,若图G∈C_2(4,k)且|V(G)|5k,则要么图G是强支撑可迹图,要么存在e,e'∈E(G),使得G(e,e')可以收缩成一个有限图类F中的图.当k=4时,F被完全确定了.     

关于3正则图的三匹配交猜想（I）

Fan和Raspaud1994年提出如下猜想：任一无桥3正则图必有三个交为空集的完美匹配。本研究一类特殊的无桥3正则图G：存在图的G的一个完美匹配M1使得G－M1恰含有两个奇圈和若干偶圈。在偶圈数≤2的情形以及在偶圈数≤4且G是圈4－边连通的情形，本证明了一定存在图G的两个完善匹配M2和M3使得M1∩M2∩M3＝φ。