三种分形和分数阶导数阻尼振动模型的比较研究

标准的整数阶导数方程不能准确描述粘弹性材料的记忆性参考文献[1]和阻尼的分数次幂频率依赖[2],因此分形导数、分数阶导数及正定分数阶导数被用于描述粘弹性介质中的阻尼振动.该文通过分析模型和数值模拟,比较了三种模型描述的振动过程.结果显示,当p小于约O.75或大于约1.9时(p为非整数阶导数的阶数),分形导数模型衰减最快;当P大于约0.75且小于约1.9时,正定分数阶导数模型衰减最快,衰减最慢的分别为分数阶导数模型(p1).且正定分数阶导数模型衰减快于分数阶导数模型,当p接近2时,两种模型较为相近.     

分数阶导数粘弹性模型的有限元法

在分析分数阶导数三元件模型理论的基础上,把分数阶导数三元件模型引入有限元模型中,推导出具有分数阶导数三元件本构关系的粘弹性结构动力学有限元格式。同时,应用分数阶导数型粘弹性结构动力学方程的数值算法求解了该有限元格式的数值解。并以二维沥青路面结构为例进行了路面动态粘弹性响应分析。算例分析表明,该方法能够正确有效地进行路面动态粘弹性分析。     

考虑老化的混凝土粘弹性分数导数模型

混凝土是一种具有分形结构的材料。采用分数微积分模型来研究具有分形结构材料的老化规律目前尚未见到。本文的目的是采用含分数阶导数的类标准线性体来模拟考虑老化的混凝土的蠕变和松弛规律。给出了分数导数与Abel核之间的关系。讨论了类标准线性体的蠕变柔量和松弛模量及其在考虑老化的混凝土中的应用。与传统的混凝土流变模型相比较表明，类标准线性体可以更好地同时拟合混凝土在不同龄期的蠕变和松弛曲线。而且其形式简单、统一，在计算过程中需要调整的参数很少。可以预见，类标准线性体在混凝土的结构设计和计算中将有着广泛的应用前景。     

Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的准对称性与分数阶Noether定理

应用分数阶模型可以更准确地描述和研究复杂系统的动力学行为和物理过程,同时Birkhoff力学是Hamilton力学的推广,因此研究分数阶Birkhoff系统动力学具有重要意义.分数阶Noether定理揭示了Noether对称变换与分数阶守恒量之间的内在联系,但是当变换拓展为Noether准对称变换时,该定理的推广遇到了很大的困难.本文基于时间重新参数化方法提出并研究Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量.首先,将时间重新参数化方法应用于经典Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量研究,建立了相应的Noether定理;其次,基于分数阶Pfaff作用量分别在时间不变的和一般单参数无限小变换群下的不变性给出分数阶Birkhoff系统的Noether准对称变换的定义和判据,基于Frederico和Torres提出的分数阶守恒量定义,利用时间重新参数化方法建立了分数阶Birkhoff系统的Noether定理,从而揭示了分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与分数阶守恒量之间的内在联系.分数阶Birkhoff系统的Noether对称性定理和经典Birkhoff系统的Noether定理是其特例.最后以分数阶Hojman-Urrutia问题为例说明结果的应用.     

Stokes第一问题的分数阶导数解

给出了Stokes第一问题基于Heaviside的符号算子法的分数阶导数解,并把该解与传统的基于相似法得到的误差函数解进行了沟通. 这是在流体力学中充分体现数学的明晰、简洁和统一的一个很好的例子.     

基于Caputo导数的分数阶非线性振动系统响应计算

研究了含分数阶Caputo导数的非线性振动系统响应的数值计算方法。首先,由Caputo分数阶导数算子的叠加关系,得到含分数阶导数项非线性振动系统状态方程的标准形式。其次,基于Caputo导数与Riemann-Liouville导数和Grunwald-Letnikov导数间的关系,推导计算了Caputo导数的一般数值迭代格式。本文方法不要求状态方程中各分数阶导数阶数相等,弱化了已有算法中对分数阶导数阶数的限制,并可推广到多自由度的情形。随后,选择若干有解析解的算例验证了本文方法的正确性。最后,以多吸引子共存的分数阶Duffing振子系统为例,比较Caputo和GL两种算法所得结果,说明了用GL算法求解存在的问题。     

一种改进的R-L分数阶导数定义在固体推进剂粘弹性本构模型中的应用

针对Riemann-Liouville分数阶导数定义的不足之处进行了改进,利用改进过的分数阶导数定义,建立了类Kelvin体粘弹性本构模型,并应用于某固体推进剂上,对本构方程中的三个参数进行了求解,与经典的prony级数模型进行比较,采用分数阶导数的类Kelvin体粘弹性本构模型与实验结果能很好地吻合.     

分数阶黏弹性土层中分数阶三维轴对称桩的竖向振动

将桩基和土体视为三维连续介质,桩基和土体的应力一应变关系采用分数阶黏弹性模型描述。在三维轴对称情况下,利用三维弹性理论和连续介质力学理论,运用分离变量法和分数阶导数的性质,得到了分数阶黏弹性土层中分数阶黏弹性桩基的三维轴对称解;并分析了相关参数对桩顸动态刚度和等效阻尼的影响。研究结果表明：与土体相比,桩基的相关参量对桩顶复刚度的影响较大;桩基和土体的密度比、模量比对桩顶复刚度都有较大的影响。     

结构整数阶模型的分数阶控制方法研究

为了把分数阶控制方法引入到控制策略中,假设原整数阶模型为分数阶模型,将其表示为状态方程形式;通过系统输出相同的方式建立分数阶和整数阶系统之间的联系;为保证分数阶系统控制器能够用于整数阶系统,采用了基于系统输出的控制策略。算例结果表明:在相同控制能耗条件下,与整数阶控制策略相比,采用本文方法能使位移降低30%。     

分数阶粘弹性地基上薄板波动和振动特性分析

本文研究了粘弹性地基上薄板的波动和振动问题.主要讨论了基于分数导数理论的粘弹性地基模型上薄板弯曲波的传播特性以及固有频率对地基的依赖特性.推导了三种经典粘弹性地基模型的复模量.并利用分数导数的性质得到分数阶粘弹性地基上Kirchhoff板中弯曲波的传播速度、衰减系数以及自由振动的复固有频率.数值算例表明粘弹性地基对弯曲波传播特性存在显著影响,不同粘弹性模型所对应的色散和衰减特性也存在较大差别.分数阶导数可以实现相邻整数阶导数之间的光滑过渡.利用分数导数的本构关系可以更加真实地描述粘弹性地基的历史依赖行为,更准确地表现出粘弹性地基板中弯曲波的色散和衰减特性.     

各向异性展状介质中弹性波的传播矩阵解法

基于广义胡克定律及混和变量弹性波方程，解析求得各层介质内位移、应力传递矩阵，给出了直角坐标系下各向异性层状介质中弹性波的传播矩阵解法．该方法适用于非轴对称各向异性和点源作用，较好地解决了数值计算中有效数字精度损失问题．数值结果表明，计算效率、准确性及稳定性均较好．     

A NUMERICAL METHOD OF MODELING ELASTIC WAVE PROPAGATION IN ANISOTROPIC MEDIA

The velocity-stress finite-difference method is adopted to simulate the elastic wave propa-gation in azimuthal anisotropic media.The difference grids are completely staggered in the numerical im-plementation.To reduce the computational work,the absorbin8 boundary conditions for anisotropic mediaare introduced first and the corner points are specially treated.Examples show that more accurate resultscan be obtained from the modeling algorithm,which cost much less computational time than the conven-tional methods.Therefore,the algorithm has broad application prospects in engineering.     

各向异性介质中弹性波传问题的数值解法

通过运用速度－应力有限差分法研究方位各向异性介质中的弹性波传播问题，在计算实施过程中，使用了交错网格技术，为了减少计算量，首次引入了适用于各向异性体的吸收边界条件，并对角点处的吸收做特殊的处理，算例表明，该算法不仅具有较高的精度；与传统方法相比，计算时间也大为缩短，从而可望在实际中获得良好的应用前景。     

平面爆炸波在非线性磁滞介质中传播的级数解

本文利用座标摄动方法研究平面爆炸波在非线性磁滞介质中的传播问题。所得到的是以级数形式表达的精确解,它阐明了应力脉冲在该类介质中的衰减规律。计算说明,这种方法比差分方法和特征线性方法简单有效,从而有较大的实用意义。     

黏弹性多层介质中SH波动的一种吸收边界条件

提出一种高精度时域吸收边界条件,与有限元法结合用于模拟瞬态标量SH波在达朗贝尔黏弹性多层介质中传播问题.建立时域吸收边界条件的过程是:首先将半无限域沿着竖向半离散得到半离散的位移方程以及人工边界处的力-位移关系,再通过引入模态分解,将物理空间下的量转化到模态空间,从而获得半无限域模态空间下的频域动力刚度;其次采用一种在全频范围内收敛的连分式精确逼近单层介质模态空间下标量形式的频域动力刚度,将标量连分式扩展为矩阵形式用来表示多层介质的频域动力刚度;最后通过引入辅助变量技术,将模态空间下基于连分式的频域动力刚度关系转化为时域吸收边界条件,进一步转换到物理空间后得到物理空间下的时域吸收边界条件.单层介质和五层介质的数值算例表明,建立的高精度时域吸收边界条件对于达朗贝尔黏弹性单层介质是精确且稳定的;对于达朗贝尔黏弹性多层介质,为了保证其高精度特性,需要将人工边界放置在距离感兴趣区域约为0.5倍无限域高度的位置处.     

对饱和多孔介质波动问题中本构关系的探讨

依据连续介质力学的混合物理论，讨论了饱和多孔介质的波动一般方程。其中考虑了质量耦合、初始压力及其浮力效应等。对于澄清这一研究课题中的某些基本概念，以及完善其理论体系具有重要意义。）其中ｖ￣（２）为速度涨落，于是单位体积内流相的动能为：因此将流相动能的涨落Ｋ￣（２）归于自由能更自然些。又因为当：ｖ￣（２＊）≡ｖ￣１时，即Δｖ＝ｖ￣１－ｖ￣２＝０时ｖ￣（２）＝０，此时Ｋ￣（２）＝０而且显然Ｋ￣（２）随着Δｖ·Δｖ的增大而增大，一个简单的近似是令Ｋ￣（２）＝ρ·Δｖ＿ｋ·Δｖ＿ｋ并且是常数。由此可导出表现质量力。由自由能的非负性质知，所以有．由（４．１３ａ）很容易推出质量密度矩阵的对称性和正定性。参考文献     

对饱和多孔介质波动问题中本构关系的探讨

依据连续介质力学的混合物理论，讨论了饱和多孔介质的波动一般方程。其中考虑了质量耦合、初始压力及其浮力效应等。对于澄清这一研究课题中的某些基本概念，以及完善其理论体系具有重要意义。）其中ｖ￣（２）为速度涨落，于是单位体积内流相的动能为：因此将流相动能的涨落Ｋ￣（２）归于自由能更自然些。又因为当：ｖ￣（２＊）≡ｖ￣１时，即Δｖ＝ｖ￣１－ｖ￣２＝０时ｖ￣（２）＝０，此时Ｋ￣（２）＝０而且显然Ｋ￣（２）随着Δｖ·Δｖ的增大而增大，一个简单的近似是令Ｋ￣（２）＝ρ·Δｖ＿ｋ·Δｖ＿ｋ并且是常数。由此可导出表现质量力。由自由能的非负性质知，所以有．由（４．１３ａ）很容易推出质量密度矩阵的对称性和正定性。参考文献     

考虑质量耦合效应的流体饱和孔隙介质波动方程

利用混合物理论和连续介质力学的基本原理,推导了考虑质量耦合效应的流体饱和弹性孔隙介质的波动方程,并与经典的Biot波动方程进行了对比.结果表明:该文得到的方程包含了Biot波动方程的所有要素,且形式与后者基本相同.比较而言,该文推导过程具有更明确的物理意义,概念也更完整.     

液饱和多孔介质中三维应力波的传播

为了深入研究液饱和多孔介质中应力波的传播，提出了三维两相细观计算模型．基于此模型。应用Galerkin余量法并计及流-固耦合界面的耦合效应，利用直接耦合的技术，开发了三维流-固混合显式动力有限元计算程序．在此基础上对冲击载荷作用下液饱和多孔介质中三维应力波的传播现象进行了数值模拟，并详细讨论了孔隙率，孔隙形状等因素对应力波传播主导波形的影响．     

位势流动和非均匀介质中声波方程的36种形式

声波方程是对大多数声学问题进行数学描述的出发点. 那些得到 广泛应用的经典波动方程及对流波动方程都存在苛刻的适用条件, 即仅适用于描述处于静态或匀速运动状态的定常 均匀介质中的线性无耗散声波. 然而, 很多实际场合并不满足这些严格的适用条件. 本文对经典声波方程和对流声波 方程进行推广, 导出了编号为W1$\sim$W36的36种不同形式的声波方程, 涵盖了处于静止、势流或旋涡流状态下的非均匀 和/或非定常介质中的声波传播问题. 所考虑的声波传播情形包括: (1) 线性波, 即具有小梯度(小振幅)性质; (2)非线性波, 即具有陡峭梯度性质, 包括``波纹'(小振幅大梯度)或者大振幅波. 本文仅考虑非耗散声波, 即排除了由剪切、体积黏度及热传导所引起的耗散. 对具有匀熵或等熵(熵沿流线守恒)性质的均匀介质和非均匀介质中的声传播进行了研究但非等熵(即耗散)情况除外; 另外, 对非定常介质中的 声波问题也进行了分析. 所涉及的介质可以处于静止、匀速运动状态, 或者是非匀速的和/或非定常的平均流动, 包括: (1)低Mach数的势平均流(即不可压缩的平均态), 或高速势平均流(即非均匀可压缩的平均流); ② 变截面管 道中的准一维传播, 包括无平均流的号管和具有低或高Mach数平均流的喷管; 或③平面的、空间的、或轴对称的单 向剪切平均流. 本文没有探讨其他类型的旋涡平均流(将与耗散及其他情形一起留待下一步研究), 例如, 可能与剪切效应相结合的轴对称旋转平均流. 通过对流体力学的一般方程进行消元处理或根据声学变分原理, 导出了36种波动方程, 对一些波动方程还采用这两种方法进行相互校验. 尽管声波方程的36种形式没有涵盖非线性、非均匀与非定常及非匀速运动介质 这3个效应的所有可能的组合情形, 但它们的确包括了孤立状态下的各种效应, 并包括了多种多重效应组合的 情形. 虽然经典波动方程和对流波动方程仅适用于处于静止(或匀速运动)的均匀定常介质中的线性无耗散声波, 但它们在 相关文献中已被广泛采用; 本文给出的36种声波方程提供了它们多种有用的推广形式. 在许多实际应用中, 经典波动方 程和对流波动方程仅是粗略的近似, 声波方程的更一般形式可提供更令人满意的理论模型. 本文每节末尾给出了这些应用 的众多范例. 在这篇评论文章中引用了240篇参考文献.