三角形的一条性质及其应用

在三角形中,有如下一条常用的性质:图1如图1,P为△ABC内任一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AP·DG AG·DP=AP·DG AD·PG=2.证明如图1所示,由面积关系可得AG PG=S△AEF S△PEF=S△AEF S△PAF·S△PAF S△PEF=EB PB·AC EC=S△EBC S△PBC·S△ABC S△EBC=S△ABC S△PBC=AD PD.于是AG·PD=AD·PG=(AP+PD)(AP-AG)=AP2+AP·PD-AP·AG-AG·PD=AP(AP+PD-AG)-AG·PD=AP·DG-AG·PD,即AP·DG=2·AG·PD.所以AP·DG AG·PD=2.同理AP·DG AD·PG=2.故AP·DG AG·PD=AP·DG AD·PG=2.注(1)此处的证明是联想到“A、G、P、D P交点为     

三角形数表的性质及其应用

The calculation of the number of relations on a finite set is interesting,it is related to the world famous question “the number of topology on n”.In this paper,we discussed the relation between the numbers of a curve triangle number table,it is similar to Pascal triangle,gave the number of solutions of infinite equation(*)and obtained the new combination meaning of Catalan number;similar to the second class Striling number,it is the number of equivalent class of a relation.     

三角形的一个性质再探

文[1]从2004年全国高中数学联合竞赛试题第四题出发，通过对问题的进一步探索推广得到下列结论：设点O在△ABC内部，且λ→↑OA＋m→↑OB＋n→↑OC=0,（其中λ，m，n均是正数）。则S△AOB：S△BOC：S△AOC=1/λm：1/mn：1/nλ，文[2]利用向量的几何意义对上述结论给出了较为简捷的证明。     

三角形内外角平分线性质及其应用

在研究几何中,我们时常发现一些有趣的性质,如三角形的同一个角的内角平分线和外角平分线分其对边及其延长线上的四条线段成比例.此性质充分揭示出三角形的同一个角的内角平分线和外角平分线之间的内在关系,即由内、外角平分线所截得的四条共线线段成比例,它为我们证明此类问题开辟了一条行之     

完全三角形的有趣性质

边长为整数且周长值是其面积值的二倍的三角形称为完全三角形 .设△ＡＢＣ的内角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的所对边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ(均为整数 ) ,内切圆半径、面积、半周长分别为ｒ ,Ｓ ,Ｐ ,则完全三角形具有如下有趣的性质 :定理 1　若△ＡＢＣ为完全三角形 ,则1)ｒ =1;2 )Ｐ >33;3)ａ +ｂ -ｃ =2ｃｏｔ Ｃ2 .证　 1)Ｓ =Ｐｒ ,由完全三角形的定义知Ｓ =Ｐ ,所以ｒ =1.2 )Ｐ =12 (ａ +ｂ +ｃ)=ｒ ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 ,由 1)知　ｒ =1.所以Ｐ =ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 .又ｃｏｔ Ａ2 +ｃｏｔ Ｂ2 +ｃｏｔ Ｃ2 ≥ 33,故Ｐ…     

学好相似三角形性质的四条建议

相似三角形具有下列性质:相似三角形的对应线段(对应边、对应中线、对应高、对应角平分线)的比等于相似比,相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方.怎样才能学好用好相似三角形的性质呢?在这里笔者给同学们提"四条建议",希望会对你的学习有所帮助.一、能从已知图形中找出两个三角形相似,从而再利用性质有些问题的解决需要利用相似三角形的性质,这时要能从图形中找出相似三角形,才     

边成等差数列三角形的几个性质及其应用

定理:在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,则2sinB=sinA+sinC     

三角形与三棱锥的一个向量性质的逆定理

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行拓广，文[5]证明了文[1]的逆定理也成立，文[6]将以上的重心性质进行了再推广得到了两个定理，我们可以将这两个定理加强为以下两个命题，证明类似文[6]在此不再证明．     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…     

探究双曲线渐近三角形的一组性质

1渐近三角形的定义 如图1，设l是过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，6〉0）上的一点P（x0，y0）的切线，l与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，与x轴交于点Q，则称△OMN为双曲线的渐近三角形．     

三角形三条高构成三角形的几个性质

文[1],[2]分别研究了三角形的三条中线,三条角平分线构成的三角形的性质,受到两文的启发,笔者对三角形三条高组成的三角形进行了探究,得到如下的几个性质.     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …     

三角形面积公式的向量坐标表示及应用

定理 在△ABC中，若AB^→=（x1，y1），AC^→=（x2，y2），△ABC的面积为S，则     

焦点三角形性质的向量表示与应用

本文介绍椭圆双曲线焦点三角形的一个向量性质与应用，供读者参考．     

三角形边角性质的一个推广公式与应用

大家知道，在三角形中有“等角对等边”，“大角对大边”的性质，而“大角对大边”只反映了大角、小角所对边的大小关系，而没有反映出具体的数量关系，本文将讨论边角性质的一个数量关系式，并给出其相关的应用实例。     

与锐角三角形相伴的三角形及其性质

本文旨在给出一个与锐角三角形相伴的新三角形,得到新三角形与原三角形的半周长、面积、外接圆半径及内切圆半径间的大小关系,以及两三角形的内角间的一个恒等式.     

倍角三角形的一个性质应用

定义如果一个三角形中一个内角等于另一个内角的二倍,我们称这样的三角形为倍角三角形.倍角三角形有如下性质:在倍角三角形中,二倍角与一倍角所对边的平方差等于一倍     

三角形与其外角平分线三角形的若干性质

本文对三角形与其外角平分线三角形进行探究,发现了两者之间的若干性质.     

三角形的余切定理及其应用

上述定理简洁工整,优美别致,与三角形的正弦定理极为类似,不妨称作三角形的余切定理．该定理揭示了三角形中的角、面积及由边构成的向量之间的独特的数量关系,为我们编拟或解答当前中学数学的热点内容之一“向量”的试题,提供了更新的背景,带来了很大的方便．下面仅举几例,供大家参考．