Some properties of gases with vibrational relaxation when viewed as materials with memory

Summary In recent years there has been developed a general thermodynamics of materials for which the stress, temperature, and energy depend on the histories of the strain and another variable, such as the entropy. Here we discuss the compatibility of that thermodynamical theory with a special theory of mechanical dissipation which has been successfully used in physical gas dynamics: the theory of gases with vibrational relaxation. Granting, without detailed study, certain technical points involving the uniqueness and stability of solutions of a class of non-linear integral equations, we observe that the theory of relaxing gases can be imbedded in the framework of the thermodynamics of materials with memory, provided only that we identify the temperature of the thermodynamical theory with the translational or (activemode) temperature of the internal-relaxation theory.We conclude our discussion with a report of a calculation we have made of the isentropic, pressure-volume, relaxation function exhibited by a gas with vibrational relaxation when regarded as a linearly viscoelastic material.

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Sommario Si è ultimamente sviluppata una termodinamica generale dei materiali per i quali la tensione, la temperatura e l'energia dipendono dalla storia passata dello strain e da un'altra variabile, come l'entropia.Studiamo qui la compatibilità di questa teoria termodinamica con una teoria speciale di dissipazione meccanica, che è stata applicata con successo nella dinamica dei gas reali: la teoria dei gas con rilassamento vibrazionale.Accettati, senza un esame dettagliato, certi punti tecnici che comportano l'unicità e la stabilità delle soluzioni di una classe di equazioni integrali non lineari, osserviamo che la teoria dei gas con rilassamento vibrazionale può essere inquadrata nella struttura della termodinamica dei materiali con memoria, a patto che la temperatura della teoria termodinamica venga identificata con la temperatura di traslazione o di modo attivo della teoria del rilassamento interno.Concludiamo la nostra discussione riportando i risultati ottenuti nella derivazione della funzione che descrive il rilassamento isoentropico di pressione che segue una variazione di volume rivelata da un gas con rilassamento vibrazionale quando è considerato come materiale visco-elastico lineare.

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This research was supported in part by the U. S. Air Force Office of Scientific Research and the U. S. Office of Naval Research.     

The problem of the neutron diffusion: A survey

Summary This paper expounds researches done by the author and others on the theory of the diffusion of neutrons in a moderating medium from the point of view of phenomenological theory and of transport integro-differential equations.In particular the transformational methods with a rigorous analysis for the case of slab-geometry are considered.

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Sommario In questo lavoro si espongono ricerche dell'autore e di altri concernenti il problema della diffusione dei neutroni in un mezzo moderatore, sia dal punto di vista fenomenologico, sia dal punto di vista della teoria del trasporto.Si rivolge particolare attenzione ai metodi trasformazionali e ad una analisi rigorosa nel caso della lastra infinitamente estesa.

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Here we do not consider the kinetics of the nuclear reactor or related problems.     

A Stefan-type free boundary problem in a thermal switch

Summary We study a mathematical model of thermal switch in a glass under the Joule heating. We prove the existence of solutions for the free boundary problem related to the model. This problem is a Stefan-type problem with a source depending on the free boundary and the latent heat depending on the history of the free boundary.

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Sommario Si studia un modello matematico che descrive un fenomeno di cambiamento di fase in un vetro attraversato da una corrente elettrica. In particolare si dimostra l'esistenza di soluzioni per il problema a frontiera libera connesso con il modello. Questo problema è del tipo di Stafan, con sorgente funzione della frontiera libera e con calore latente che dipende dalla storia della frontiera.

     

Bifurcations and complex instability in a 4-dimensional symplectic mapping

Summary We study the main periodic solutions of a 4-dimensional symplectic mapping composed of two coupled 2-dimensional mappings. Their bifurcations were calculated numerically and also theoretically for small values of the coupling parameter . Most bifurcating families of period 2ⁿ (n0) have complex unstable regions that extend from =0 to the maximum allowed value of for each family. These complex unstable regions do not allow the transmisssion of the stability of the corresponding families to families of higher order. We found only one family with a complex unstable region not extending to the maximum , but in this case also the transmission of the stability is stopped at an inverse bifurcation. Thus although there are infinite sequences of bifurcations (of the Feigenbaum type) in the limiting 2-dimensional case =0, all such sequences are interrupted when the system is 4-dimensional (i.e. for 0). The appearance of complex instability for =0 can be predicted by studying the cases =0 and applying the Krein-Moser theorem.

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Sommario Si svolge uuno studio dettagliato delle soluzioni periodiche principali di due mappe simplettiche bidimensionali accoppiate, calcolandone sia analiticamente che numericamente le biforcazioni per piccoli valori del parametro di accoppiamento . Quasi tutte le famiglie di periodo 2ⁿ (n0) prodotte dalle biforcazioni presentano regioni di instabilità complessa che si estendono da =0 fino al massimo valore di considerato. Queste regioni di instabilità complessa impediscono il trasferimento della stabilità di una famiglia a famiglie di ordine più elevato. In un solo caso si osserva una famiglia la cui regione di instabilità complessa non arriva ad estendersi fino al valore massimo di ; in questo caso però il trasferimento della stabilità viene interrotto da una biforcazione inversa. Se ne conclude che, nonostante I'esistenza di una famiglia di infinite biforcazioni di tipo Feigenbaum nel caso limite bidimensionale (=0), tutte le sequenze si interrompono se il sistema è a quattro dimensioni. Il formarsi di regioni di instabilità complessa per 0 può essere previsto studiando il caso =0 ed appplicando il teorema di Krein-Moser.

     

A note on the transformation from companion to jordan canonical form for multivariable systems

Summary An algorithm for the transformation of generalized Companion forms for multivariable linear systems to Jordan form is considered.The procedure is based on a preliminary transformation to the corresponding maximum length chains canonical form (MLCGCF) and on knowledge of the eigenvalues and their multiplicity.

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Sommario Viene presentato un algoritmo per la trasformazione della matrice dinamica di sistemi lineari a più variabili di ingresso-uscita da forma companion generalizzata in forma di Jordan.Il procedimento è basato su una trasformazione preliminare in forma canonica a catene di massima lunghezza (MLCGCF) e sulla conoscenza degli autovalori e della loro multeplicità.

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This work was supported by CNR (Italian Council of Researches).     

On flow and stability of a Newtonian fluid past a rotating plane

An exact solution is given for the steady flow of a Newtonian fluid occupying the halfspace past the plane z=0 uniformly rotating about a fixed normal axis (Oz). This solution is obtained in a velocity field of the form considered by Berker [2] and can be deduced as a limiting case, as h+, of the solution to the problem relative to the strip 0zh imposing at z=h either the adherence boundary conditions or the free surface conditions. Furthermore, the stability of this flow, subject to periodic disturbances of finite amplitude, is studied using the energy method and the result is compared with those corresponding to stability of flows in the strip 0zh.

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Sommario In questa nota si mostra che-oltre alla calssica soluzione di von Karman [1] — esiste, per opportuni valori del gradiente di pressione all'infinito, una soluzione esatta per il moto stazionario di un fluido Newtoniano posto nel semispazio limitato dal piano z=0 uniformemente rotante attorno ad un asse ad esso perpendicolare (Oz). Tale soluzione, ottenuta sulla scia del lavoro di Berker [2], si può dedurre anche come limite, per h+, della soluzione del problema relativo alla striscia 0zh quando sul piano z=h si assegnano o le condizioni di aderenza o le condizioni di frontiera libera. Si studia poi la stabilità di tale moto rispetto a perturbazioni spazialmente periodiche di ampiezza finita col metodo dell'energia e si confronta il risultato ottenuto con quelli relativi alla stabilità dei moti nella striscia 0zh.

     

Torsion of two bonded layers by a rigid disk

The problem considered in this paper describes the torsion of a homogeneous isotropic elastic layer (0zd ₁) of finite thickness d ₁, perfectly bonded to another elastic layer (-d ₂z0) of finite thickness d ₂. The problem is reduced to the solution of a Fredholm integral equation of the second kind. The solutions are given for some particular cases.

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Sommario In questo lavoro si considera il problema della torsione di uno strato elastico omogeneo ed isotropo (0zd ₁) di spessore finito d ₁, perfettamente incollato ad un altro strato elastico (-d ₂z0) di spessore finito d ₂. II problema é ricondotto alla soluzione di una equazione integrale di Freedholm del secondo ordine. Le soluzioni sono ottenute per alcuni casi particolari.

     

A particle transport problem with a quadratic nonlinearity and general boundary conditions: The stationary solution

Summary We study a stationary, nonlinear, particle transport problem in slab geometry with general boundary conditions. The existence and uniqueness of the solution is proved by means of fixed point techniques, provided that the source term is sufficiently small.

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Sommario Si studia un problema stazionario nonlineare di particelle in geometria piana con condizioni al contorno generali. L'esistenza e unicitá della soluzione è dimostrata con tecniche di punto fisso purchè il termine di sorgente sia sufficientemente piccolo.

     

Surface waves in deep water due to arbitrary periodic surface pressure

Summary The expressions for the velocity potential and the surface elevation are obtained for the three dimensional motion on surface waves generated by a surface pressure F(x, y)e^{i t}, t>0, on the surface of a deep sea. The wave integrals are asymptotically evaluated for large distances and times by the method of stationary phase. By a direct passage to the limit t, the steady state solution of the problem is evaluated in exact terms. The results are illustrated for a class of physically plansible pressure distributions on the surface. Some features of the wave motions are discussed.

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Sommario Si ottengono le espressioni per il potenziale della velocità e la elevazione della superficie nel moto tridimensionale di onde superficiali generate da una pressione superficiale F(x, y)e^{i t}, t>0, sulla superficie di un mare profondo. Gli integrali di onde sono calcolati asintoticamente per grandi distanze e tempi con il metodo della fase stazionaria. Con un passaggio diretto al limite t, si calcola in termini esatti la soluzione di regime del problema. I risultati vengono illustrati per una classe di distribuzioni di pressione superficiale fisicamente plausibile, Si discutono alcune caratteristiche dei moti ondosi.

     

A generalization of wieghardt soil for two - dimensional foundation structures

Summary On the basis of a mechanical interpretation (see Reference[1]) the problem of generalization of Wieghardt soils for two-dimensional foundation structures is tackled. The results of experiments agree well with the schematization arrived at. The problem of the rigid circular plate on the thus schematized elastic soil is solved.

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Sommario Premesse alcune considerazioni di carattere generale sulla schematizzazione proposta dal Wieghardt per la legge carichi-spostamenti di un letto elastico di fondazione di un solido monodimensionale si affronta, al lume di un'interpretazione meccanica proposta dall'A. in un articolo precedente[1], il problema della generalizzazione di tale legge per i problemi di fondazione bidimensionali. Si perviene così in forma semplice alla formulazione della legge carichi-spostamenti per un generico piano di fondazione e si dimostra l'ottima rispondenza di tale schematizzazione con i risultati dedotti da prove sperimentali reali. Viene risolto in via completa il problema della piastra circolare rigida sul suolo elastico così schematizzato.

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First published in Italian in La ricerca scientifica, 35 (II-A), 1290–1304, Roma, 1965.     

Quasi-steady deformation of a two-dimensional bubble placed within a potential viscous flow

The shape evolution of a two-dimensional bubble, bounded by a simple closed curve, which is initially placed within a potential viscous flow, is analysed. It is assumed that the influence of gravity and inertia forces is negligible, so the quasi-steady approximation can be applied. Reformulating the problem for Stokes equations with relevant boundary conditions at the free surface in terms of the bianalytic stress-stream function, and using the time-dependent conformal mappingz(,t) of a unit disk onto an unbounded flow domain sought, an infinite system of ordinary differential equations for the Laurent coefficients ofz(,t) is derived. A class of exact solutions is found for the case when the principal part of the complex velocity of the dominant flow at infinity is a polynomial, and the problem of formation of a pointed bubble is discussed.

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Sommario E analizzata l'evoluzione di una bolla bi-dimensionale, limitata da una curva chiusa semplice, inizialmente posta in un flusso potenziale viscoso. Si assume che l'influenza della gravità e delle forze inerziali sia trascurabile, cosicchè si può applicare l'approssimazione quasi-stazionaria. Riformulando il problema per le equazioni di Stokes con le opportune condizionial contorno sulla superficie libera in termini della funzione stress-stream bianalitica, e usando la tecnica delle trasformazioni conformi dipendenti dal tempoz(,t) di un disco unitario su un dominio di flusso non limitato incognito, viene derivato un sistema infinito di equazioni differenziali ordinarie per i coefficienti di Laurent diz(,t). Viene trovata una classe di soluzioni esatte per il caso in cui la parte principale della velocità complessa del flusso dominante all'infinito è una polinomiale, ed è discusso il problema della formazione di una bolla lenticolare.

     

Transverse Decay of Solutions in an Elastic Cylinder

In a semiinfinite cylinder composed of anisotropic linearised elastic material, loaded on the base and clamped along the lateral surface, it is known that the solution as measured, for example, by the strainenergy flux through a plane crossection decays longitudinally at most exponentially with respect to the axial distance from the base. There is, however, also a transverse radial decay of the solution, again measured for example by the strainenergy, occurring from the region close to the cylinder's axis to the region near the lateral surface, where the energy vanishes.This problem is considered in the present paper which discusses a circular semiinfinite cylinder and derives an estimate for the strainenergy contained in a cylindrical annulus at a given distance from the base and of variable height, and whose outer surface coincides with the lateral surface of the cylinder. It is shown that the strainenergy decays at most algebraically to zero as the inner radius of the annulus increases to that of the cylinder.Sommario. E'noto che in un cilindro semiinfinito composto da materiale elastico lineare anisotropo, caricato sulla base ed incastrato lungo la superficie laterale, la soluzione elastica, misurata, per esempio, dal flusso di energia di deformazione attraverso una sezione trasversale piana, decade con legge al più esponenziale con la distanza dalla base. C'è tuttavia, anche un decadimento radiale della soluzione, misurato, per esempio, dall'energia di deformazione che passa dalla regione vicina all'asse del cilindro a quella vicin alla superficie laterale dove l'energia si annullaQuesto problema è qui studiato. Si discute in particolare un cilindro circolare semiinfinito e si deduce una stima per l'energia di deformazione contenuta in un anello cilindrico ad una distanza assegnata dalla base e di altezza variabile, e la cui superficie esterna coincide con la superficie laterale del cilindro. Si dimostra che l'energia di deformazione decade al più con legge algebrica a zero quando il raggio interno del cilindro si avvicina a quello esterno.     

Asymmetric snap-buckling of a column restrained by a stiff wire

Summary A relatively simple example of asymmetric snap-through buckling in a continuous structure is the nonlinear problem of a cantilevered column restrained at its tip by a stiff wire, which is inclined at an acute angle to the column centerline, and loaded at its tip by a force perpendicular to the centerline. A parameter called , which is the nondimensional ratio of the flexural rigidity of the column to the combined extensional stiffness of the wire and the column centerline, determines the essential features of the buckling. If is zero, or is small compared to unity, the bending of the column is small enough to justify the use of linear bending theory for the column. Hence, even though the constraint is nonlinear, the solution to this problem is obtained in closed form. The critical point for the structure is found to be an asymmetric branching point for =0, while for positive, the critical point is a snap-through type. The effect of is similar to that induced by initial imperfections in more complex structures. For very small , the critical load is markedly decreased from the value for =0. Moreover, the graph of the load vs. tip deflection has the appearance of having an acute discontinuity in slope at the critical point for very small, although it is actually found that the graph has a horizontal tangent there.

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Sommario Un esempio relativamente semplice di collasso asimmetrico per carico di punta in una struttura continua è il problema non lineare di una colonna incastrata ad una estremità e vincolata all'altra estremità da un filo rigido che forma un angolo acuto con l'asse della colonna e caricata a quella estremità con una forza perpendicolare allo stesso asse. Un parametro chiamato , che è il rapporto adimensionale fra la rigidità flessionale della colonna e la rigidezza longitudinale del filo e dell'asse della colonna, determina le caratteristiche essenziali del cedimento. Se è zero o è piccolo rispetto all'unità, l'inflessione della colonna è sufficientemente piccola per giustificare l'uso della teoria lineare di inflessione per la colonna. Di conseguenza anche se il vincolo non è lineare la soluzione del problema è ottenuta in forma compatta. Il punto critico della struttura si trova nel punto di biforcazione asimmetrica per =0, mentre per positivo, il punto critico rappresenta un punto di collasso. L'effetto di è simile a quello prodotto da imperfezioni iniziali in strutture più complesse. Per molto piccolo il carico critico è notevolmente ridotto rispetto al valore per =0. Inoltre il grafico del carico in funzione della curvatura all'estremità sembra avere una netta discontinuità nella pendenza dal punto di biforcazione per molto piccolo benchè, in realtà si trovi che il grafico ha lì una tangente orizzontale.

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This research was supported by the Advanced Research Projects Agency (Project DEFENDER) and was monitored by the U.S. Army Research Office, Durham, under Contract DA-31-124-ARO-D-257.     

On mean rotations in finite deformations

Summary Firstly, the classical interpretation of the mean rotation tensor of Cauchy and Novozhilov is revised. Indeed, two distinctive and defective features of this interpretation reflect a severe restriction on the class of admissible deformations. Secondly, an alternative measure of mean rotation is introduced and its explicit aspect for pure rotations, pure strains and additively pure rotations is determined.

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Sommario In questa nota viene riesaminata l'interpretazione classica del tensore di rotazione media di Cauchy e Novozhilov. Preliminarmente, si mostra come due tratti distintivi di questa interpretazione ne limitino l'ampiezza e riflettano una severa restrizione della classe delle deformazioni ammissibili. Successivamente, si perviene ad una misura alternativa di rotazione media, il cui calcolo esplicito è condotto nei casi di rotazioni pure, deformazioni pure e rotazioni additivamente pure.

     

Thermoelastic stability of multiple growth twins in quartz and general geobarothermometric implications

The thermoelastic analysis of the possible stable stress-free equilibrium states of polycrystals provides a theoretical way of distinguishing true twins from random intergrowths. We analyze in detail a four-fold cyclic twin in quartz, and we show that this gives also the basis for a new technique of geobarothermometry. To obtain the barothermometric function, the simultaneous dependence upon the external pressure and temperature of the lattice-parameter has been estimated; an explicit five-parameter, temperature-corrected version of the Thurston isothermal constitutive equations is presented.

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Riassunto L'analisi degli stati naturali possibili nei policristalli termoelastici fornisce una base teorica per la distinzione tra veri geminati di crescita e formazioni cristalline casuali. Si analizza qui in dettaglio il caso di un geminato ciclico di ordine quattro del quarzo, e si mostra come ciò offra anche un nuovo metodo geobarotermometrico. Per rendere esplicita la funzione barotermometrica si è stimato l'effetto della pressione e della temperatura ambientali sui parametri reticolari. Si presenta una correzione a cinque parametri dipendenti dalla temperatura delle equazioni costitutive ottenute da Thurston nel caso isotermo.

     

On three dimensional transient wave motions on a running stream

Summary This paper considers the three-dimensional transient wave motions in a fluid produced by a moving oscillatory disturbance of frequency acting on the free surface of the fluid. The problem is treated as an initial value problem and is solved by the joint Laplace-Fourier transform method combined with the asymptotic treatment for the double Fourier inversion integrals. The explicit representation of the steady state as well as the transient solution of the problem is presented. It is shown that the ultimate steady is set up in the limit. A brief discussion on the principal behaviour of the wave motions is made.

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Sommario Si considerano i moti ondosi transitori tridimensionali prodotti in un fluido da una eccitazione oscillatoria, in movimento, di frequenza che agisce sulla superficie libera. Il problema è trattato come problema di valori iniziali e viene risolto con il metodo della trasformata congiunta di Laplace-Fourier combinata con il trattamento asintotico per gli integrali doppi di inversione di Fourier. Si espone la rappresentazione in forma esplicita della soluzione di regime e di quella transitoria. Si dimostra che la condizione finale di regime viene stabilita nel passaggio al limite. Si esegue una breve discussione del principale comportamento del moto ondoso.

     

A matrix theory of elastic-locking structures

Summary The theory developed exhibits the following peculiar features: structures are discretizised in finite elements, the constitutive laws piecewise linearized, the problem is split in a preliminary linear elastic solution and a corrective nonlinear subproblem; concepts and techniques of quadratic and linear programming theory are utilized. The main results are: for the analysis under given loads and dislocations, a pair of extremum theorems for locking stresses, corresponding to dual quadratic programs; for the limit analysis with respect to locking situations two already known theorems, which are here deduced from the solvability conditions of the above quadratic programs and formulated as dual linear programs. The extension of the results to imperfectly locking behavior is carried out. Some examples illustrate the solution techniques based on the theory expounded.

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Sommario Caratteristiche peculiari della teoria sviluppata sono: discretizzazione della struttura in elementi finiti, linearizzazione a tratti delle leggi costitutive, suddivisione del problema in una preliminare soluzione elastica lineare ed in una fase nonlineare correttiva, utilizzazione di concetti e tecniche della teoria delle programmazioni quadratiche e lineari.Si ottengono, per l'analisi di continui a deformabilità limitata soggetti a dati carichi e distorsioni, due teoremi di estremo corrispondenti a programmi quadratici negli sforzi di bloccaggio; per l'analisi limite al bloccaggio del sistema, due teoremi già noti, che qui si deducono dalle condizioni di solubilità dei precedenti programmi quadratici e si presentano in veste di programmi lineari duali. I risultati ottenuti vengono generalizzati ai casi definibili a deformabilità imperfettamente limitata. Alcuni esempi illustrano le tecniche risolutive che sorgono dalla teoria svolta.

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The study presented here forms part of a research program supported by the C.N.R.     

Second order gravitational field theories with hilbert gauge

Summary We consider, in the field-theoretical approach, a class of gravitational theories deducible by a variational principle in the unrenormalized pseudo-Euclidean space-time. At first order in the coupling constant f we require the theories to coincide with the Einstein one. Moreover we assume the Hilbert gauge which assure the exclusion of the vector component of the gravitational potential . To get the higher order consistency we substitute the most general energy-momentum tensor for the particle tensorT ^(p) in the field equations. Requiring the latter to be deducible by a variational principle varying the potentials , we get a Lagrangian which, varying the particle coordinates, gives the equations of motion. So we get a class of theories depending on 5 arbitrary parameters. To have observable quantities we have to renormalize. So we realize that, to satisfy the equivalence principle, we have to put one of the arbitrary parameters equal to zero. With this choice the class of theories coincides at second order with general relativity.

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Sommario Si vuole ottenere una classe di teorie gravitazionali deducibili da un principio variazionale, nell'ambito della teoria dei campi e nello spazio-tempo pseudoeuclideo non-rinormalizzato. Si richiede che tali teorie coincidano, al primo ordine nella costante di accoppiamento f, con la teoria di Einstein. Si assume inoltre la gauge di Hilbert al fine di escludere la presenza della componente vettoriale del potenziale . Per ottenere la consistenza al secondo ordine delle equazioni di campo, si sostituisce, in queste ultime, al tensore della particellaT ^(p) il più generale tensore energia-quantità-di-moto . Imponendo alle equazioni di campo di essere deducibili mediante un principio variazionale ove si varino i potenziali , si ottiene una lagrangiana che, ove si varino le coordinate della particella di prova, dà le equazioni di moto. In tal modo si ottiene una classe di teorie dipendenti da 5 parametri arbitrari. Per un confronto con i dati sperimentali è necessario rinormalizzare, onde esprimere quantità osservabili. Si dimostra così che per soddisfare il principio di equivalenza al secondo ordine è necessario porre uno dei 5 parametri uguale a zero e che, con tale scelta, l'intera classe di teorie coincide, al secondo ordine, con la relatività generale.

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Research sponsored by the CNR, Gruppi di ricerca Matematica     

On the foundation of the stability theory of elastic structures

Summary Some difficulties and unsolved problems of the stability theory of continuous systems will be investigated. After having closely examined the meaning and importance of the choices of the distance between two configuration of a continuous system, the problem of the equilibrium stability of elastic structures will be formulated in a proper functional space, where it is possible to demonstrate the validity of the energy criterion as sufficient condition of stability in Lyapunov's sense.Lastly, are pointed out the still open problems on the stability criterion based on the second variation of the potential energy of which a partial proof is given.

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Sommario Vengono esaminate alcune difficoltà e problemi ancora aperti nella teoria della stabilità dei sistemi continui. Dopo aver approfondito il significato e l'importanza della scelta della distanza tra due configurazioni di un sistema continuo, il problema della stabilità dell'equilibrio delle strutture elastiche viene formulato in un opportuno spazio funzionale, nel quale è possibile dimostrare la validità del criterio dell'energia come condizione sufficiente di stabilità nel senso di Lyapunov.Si puntualizzano infine le questioni ancora aperte sul criterio di stabilità basato sulla variazione seconda e del quale si fornisce una parziale giustificazione.

     

First order phase equilibrium for classical bodies

Summary In this note the Author gives a general and unified treatment of first order phase equilibria for classical bodies like those considered by Truesdell and Toupin in[3].The Author reaches a system of partial differential equations (generalized Clapeyron equations) the conditions of whose solution are shown always to be satisfied.In particular, the Author derives the equations governing the polarized phase equilibrium for a fluid.Besides the equations ruling the phase equilibrium for a two phase n-component fluid mixture are given and the equivalence with the statical Gibbs-Duhem relation is shown.

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Sommario In questa nota l'Autore presenta una trattazione generale ed unificata degli equilibri di fase del primo ordine per corpi classici come quelli definiti da Truesdell e Toupin in[3].L'Autore perviene ad un sistema di equazioni alle derivate parziali (equazioni di Clapeyron generalizzate) del quale si dimostra la integrabilità.In particolare, si deducono le equazioni che governano gli equilibri di fase polarizzati.Inoltre si ottengono le equazioni che regolano l'equilibrio di fase per una miscela fluida a n componenti; in questo caso si dimostra l'equivalenza delle equazioni con la relazione statica di Gibbs-Duhem.

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This work was supported by the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica of C.N.R.