借题发挥、挖掘潜能

前苏联教育家奥加涅相说过：“必须重视,很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性……”．所以,笔者认为发挥课本习题的功能是挖掘学生潜能的重要途径．仅以课本两道习题说明如下．习题１　△ＡＢＣ的一边的两顶点是Ｂ（０,６）和Ｃ（０,－６）,另两边的斜率的乘积是－４９,求顶点Ａ的轨迹．（《平面解析几何》第７９页第１１题）答案　椭圆ｘ２８１＋ｙ２３６＝１,除去顶点（０,±６）．习题２　△ＡＢＣ一边的两个端点是Ｂ（０,６）和Ｃ（０,－６）,另两边的斜率的乘积是４９,求顶点Ａ的轨迹．（《平…     

习题引发的思考

在苏教版教材选修2—1P39习题2．3（1）第4题：在△ABC中,B（-6,0）,C（6,0）,直线AB,AC的斜率乘积是导,求顶点A的轨迹．     

一道课本习题的拓展探究

苏教版选修2-1第37页有这样一道习题: 例1在△ABC中,B(—6,0),C(6,0),直线AB,AC的斜率之积是9/4,求顶点A的轨迹方程. 通过计算很容易得到顶点A的轨迹方程是x2/36-y2/81=1(y≠0).     

透视一道高观点的高考题

2006年高考福建卷（理）第16题为： 如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边的中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是__．     

顺势而上,将探究再深入一步

《数学通报》杂志2012年第4期刊登的《一道课本习题的拓展探究》一文(简称文[1])通过对苏教版选修2—1第37页习题"在△ABC中,B(-6,0),C(6,0),直线AB,AC的斜率之积是9/4,求顶点A的轨迹方程"的拓展探究,得出     

数学竞赛命题中的一个基本图形

如图所示，设面△ABC的三内角平分线分别交三边于A0、B0、C0，交其外接圆于D、E、F；又交△DEF的三边于A1、B1、C1．点M、N；P、Q；R、S分别是△ABC与△DEF三边的交点．记A．B、C为△ABC的三内角，其对边分别为a、b、c；D、E、F为△DEF的三内角，其对边分别为a’b’c’R（R’）、r（r’）、p（p’）、S（S’）分别为△ABC（△DEF）的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积，△ABC的内心为I．这一常见的构图，可以衍生出一系列数学竞赛题．题1AD⊥EF．（199且年第32届IMO加拿大训练题第6题）知类似可知故I为西DEF…     

有心圆锥曲线的一个定义及几个相关性质

我们称圆、椭圆和双曲线这三种具有对称中心的圆锥曲线为有心圆锥曲线．笔者受课本上两道轨迹问题的启示,进而引发联想,对其加以引伸推广,从而归纳出有心圆锥曲线的一种定义形式,并由此推导出椭圆、双曲线的几个有趣性质．兹介绍如下．一、问题的发现与提出《平面解析几何》全一册（必修）课本Ｐ７９习题六第１１题与Ｐ８９习题七第１６题分别是：１１题　“△ＡＢＣ的一边的两顶点是Ｂ（０,６）和Ｃ（０,－６）,另两边的斜率的乘积是－４９,求顶点Ａ的轨迹．”１６题　“△ＡＢＣ的一边两个端点是Ｂ（０,６）和Ｃ（０,－６）,另…     

解轨迹题谨防漏讨论

有的同学在解轨迹题时,常有漏讨论的现象。主要表现在四个方面。一、忽视题目条件导致漏讨论例1 △ABC的三边a>b>c成等差数列,A、C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹。     

和角正弦公式的无字证明

题目（2008年辽宁高考题）在△ABC中内角A、B、C所对的边分别是a、b、c已知c=2，C=π/3，若sinB=2sinA，求△ABC的而积。     

变式探究 受益无穷

（人教A版选修2—1P55探究）如图,设点A、B的坐标分别是（-5,0）、（5,0）,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积等于4/9,求点M的轨迹方程,并与P41 2．2例3比较,你有什么发现？     

数学问题解答

1571 G为△ABC的中线AD上的动点（不与A、D重合），BG，CG的延长线分别交AC，AB于E，F，求使不等式．S△BGF＋S△CGE≤kS△ABC成立的k的值（图1）．     

例说变题教学

教师作为现代教学的“主导”,在教学中要不断地钻研教材,对教材中的典型例、习题进行适当的处理,如改变原题中的条件、结论、方法或逆向思考、反例分析等,即可使学生在知识及方法上分别得以引伸和拓广.例 1　三角形ABM的一边上两个顶点A(-4,0)和B(4,0),另两边所在直线斜率的乘积是-32,试求顶点M的轨迹方程———上海高中课本(练习)P.12练习 7略解:设M(x,y)依题意得(y-4)(x-4)·(y+4)(x+4)=-32化简得x216+y224=1,即M的轨迹方程为:x216+y224=1,除去A(-4,0)、B(4,0)两点.将例 1的-32改为32,其它条件不变得下题.变题 1:已知△ABM的一…     

求轨迹方程应去“杂”堵“漏”

求满足条件的动点的轨迹方程,是解析几何的常见问题,大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性,在实际解题中也不太会讨论,下面给出了求出点的轨迹方程后去“杂”堵“漏”的几种做法。一、利用三角形的顶点不共线去“杂”例1 已知点A(-a,0),B(a,0),a＞0,若△MAB是以点M为直角顶点的直角三角形,求顶点M的轨迹方程。     

赋予新内容 用递推公式简

题目（2013年高考全国大纲卷（文科）2）已知抛物线C：y^2=8x与点M（-2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若MA·MB=0，则k=（ ）．     

新题征展(120)

A 题组新编 1.(1)求与两个定点A,B(AB=2a,a>0)的距离之比为定值k(k>0)的动点M的轨迹; (2)求与两个定点A,B(AB=2a,a>0)的距离的平方和为定值k(k>0)的动点M的轨迹.     

一个周长最短问题的简解

问题：如图1,∠MAN内有一点D,过D点的直线l与角两边交于两点B、C,∠BAD=α,∠DAC=β（0〈α＋β〈π）,AD=m,求△ABC周长的最小值,并说明取最小值的条件．     

双曲线定义的应用

<正>一、巧用定义,求双曲线的轨迹方程例1在△ABC中,B、C是两个定点且|BC|=12,点A为动点,满足||AC|-|AB||=1/2|BC|,求顶点A的轨迹方程.解析以B、C所在直线作为x轴,线段BC的垂直平分线作为y轴,建立平面直角坐标系.由已知得B(-6,0),C(6,0),     

新题征展(45)

A.题组新编1.已知椭圆方程 x22 +y24 =1,过椭圆上点 A(1,2 )作两条倾斜角互补的直线 ,与椭圆分别交于异于点 A的点 B和点 C.(1)求直线 BC的斜率 k0 ;(2 )证明 :直线 OA平行于直线 BC;(3)若直线 BC在 y轴上的截距为 2 ,求△ ABC的面积 S1 ;(4)若四边形 OABC为平行四边形 ,求△ ABC的面积 S2 ;(5 )若△ ABC的面积为 S,求 S的最大值 .2 .(1)某区有 7条南北向街道 ,5条东西向街道 (图 1) ,从 A点走向 B点最短路线有多少条 ?(2 )若在第 (1)小题中 ,又要求必须经过C点 ,最短路线有多少条 ?图 1　　　　　　　　图 2(3)图 2是一个城…     

剖析两道课本习题的错误答案

人教社编写的试验修订本第二册上Ｐ96练习题第 4题是 :△ＡＢＣ的两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 ( - 6 ,0 ) ,( 6 ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率之积等于 - 49,求顶点Ｃ的轨迹方程 .与之配套出版的《教师教学用书》所给答案是ｘ236 + ｙ21 6 =1 (ｙ≠ 0 ) .图 1　剖析用图这一答案是错误的 .事实上 ,设不等式 - 6≤ｘ≤ 6所表示的平面区域为Ｄ ,则在椭圆上但不在Ｄ内的点应被去掉 (如图1所示 ) .原因是 :①在区域Ｄ之外的椭圆部分任取一点Ｐ ,可知ＰＡ ,ＰＢ的斜率符号相同 ,其斜率之积不可能等于 - 49;②当Ｐ点落在直线ｘ =± 6上时 ,Ｐ…     

两种说法不等价

在平面直角坐标系xOy中,点M到点F（1,0）的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹为C的方程;（Ⅱ）设斜率为k的直线过定点P（-2,1）,求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时,k的相应取值范围.命题组给出（Ⅰ）小题的解答如下：解设点M（x,y）,依题意得