数学问题解答

1956年5月号問题 237.設△ABC是正三角形,在直綫BC,CA,AB上各任取一點X,Y,Z,求証△AYZ,△BZX,△CXY的歐拉(Euler)綫所交成的三角形全等於△ABC。 [註] 万一△AYZ是正三角形,則以过它的中心而平行於BC的直綫來代替它的欧拉綫;如果这三角形的頂點有重合的,那末可按極限的情形去处理,其餘仿此。 238.設O是正三角形ABC的中心,在直綫OA,OB,OC上各任取一點X,Y,Z,求証△OYZ,△OZX,△OXY的歐拉綫会於一點。     

數学問题及解答欄

1955年12月號問题本期問題的解答請讀者在1956年1月20日以前寄至北京德勝門外北京師範大学數学采轉“數学通報數学問題及解答欄工作組”收。所作解答,务請一題一紙,並一一註明姓名。問題的答案及正確解答者的姓名將在本刊1956年3月号的本欄內公佈。本欄欢迎讀者提出適合大家解答德問題,如已有解法,並希把題解作好一併寄來。本欄稿件,概不退还,請勿附邮票。 210.設兩平行綫l与l′交△ABC的BC、CA、AB边(或延长綫)於X、Y、Z与X′、Y′、Z′,自这些交點各作所在边的垂綫,前三垂綫構成△αβγ,後三垂綫構成△α′β′γ′,求証这兩个三角形的外接圆相切。     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…     

三角形中一个有趣的巧合点

题目P是△ABC所在平面内的任意一点,以PA、PB为边作PAC′B,所以PA、PC为边作PCB′A,以PB、PC为边作PBA′C,则AA′、BB′、CC′、三线共点,且互相平分.分析由题设可分为以下六种情形:(1)P点在△ABC的内部,如图1,(2)P点在△ABC的外部,如图2,(3)P点在△ABC的某条边上,如图3,(4)P点与△ABC的某条边的中点重合,     

勾股定理逆定理的証法

偶翻英文杂志“数学教师”(1961年12月),內中登載勾股定理的逆定理証法六种,頗有意思,茲介紹如下: 一、通常証法。 設在△ABC中,a~2+B~2=c~2。求証:∠C=90°。 証。作直角三角形A′B′C′使A′C′=b,B′C′=a,∠C′=90°,則 a~2+b~2=c′~2。根据已知条件a~2+b~2=c~2。∴c′=c~2因而c′=c。∴△ABC=△A′B′C′,因此     

平面上六线三角问题

平面上四个点 A、B、C、P,可构成六条线段 :BC、CA、AB、PA、PB、PC;三个角 :PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB所构成的角 .本文将研究上述六线三角的关系问题 .本文约定 :文中所示△ ABC均为逆时针转向 ,所谓 PA到 PB的角是指以 PA为始边绕 P点沿逆时针方向旋转到 PB位置所得到的最小正角 .很显然 ,此角必在区间 [0 ,2π)内 .另外 ,文中“∑”表示循环和 ,“∏”表示循环积 .定理 1　△ ABC三边长为 BC=a,CA =b,AB=c,面积为△ ,P为△ ABC所在平面上一点 ,设 PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB的角分别为α、β、γ,记 PA =x,…     

四面体的若干性质

文[1],[2]介绍了三角形的若干性质:命题1已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3.本文先给出一个简捷的证明:记PA1=λ1PA,PB1=λ2PB,PC1=λ3PC,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数.由条件知PA1 PB1 PC1=0,于是P为△A1B1C1的重心,从而S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1=31S△A1B1C1,即S△PB1C1∶SPC1A1∶S△PA1B1=1∶1∶1.而S△PB1C1S△PBC=12|PB1|·|PC1|sin∠B1PC112|PB|·|PC|sin∠BPC=λ2λ3,即SPB1C1=λ2λ3SPBC.同理有SPC1A1…     

立几选择题三道

P是△ABC所在平面α外一点,O是P在平面α内的射影。 (1)若PA,PB,PC与平面α成等角; (2)若P到△ABC的三边的距离相等; (8)若PA,PB,PC两两互相垂直; 那么点O是△ABC的 (A)重心; (B)垂心; (C)内心; (D)外心。     

三角形等心的寶藏(續)

五§10.三角形中有所謂類似中綫,這是我們所熟知的,類似中綫被三角形的外接圓所截的部分,我們特别稱它為類似弦。設作△ABC的類似弦AD,則ABDC稱為調和四邊形,因為用外接圓上任一點為反演中心而施行反演法,可以把這四邊形的頂點反演為調和點列的原故。這些知識,下面將要用及,希望讀者在前面所舉的書籍中參考一下。定理 I、I_1、I_2、I_3為△ABC的四等心,設將(?)倍增為(?)又各作(?)IBC、ICA、IAB的一類似弦IK_1、IK_2、IK_3,則A′、B′、C′、I_1、I_2、I_3、K_1、K_2、K_3九點共圓。餘類推。 (證) 因為I是△I_1I_2I_3的垂心,所以(?)     

"张角定理"及其推广的应用

1张角定理如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180,°那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是sin(α β)PC=sinαPB sinβPA.证明必要性:若A、B、C三点共线,则图1S△PAB=S△PAC S△PCB,因此12PA·PBsin(α β)=12PA·PCsinα 12PC·PBsinβ.两边同除以12PA·PB·PC,即得所欲证的等式.充分性:若命题中等式成立,则反推可得S△PAB=S△PAC S△PCB,这说明S△ABC=|S△PAB-S△PAC-S△PCB|=0,所以A、B、C三点共线.本文将张角定理拓展到空间,则有如图2,四面体ABCD中,图2P为棱…     

數学問題及解答欄

216.設已給一正2n边形,其边依次为a_1,a_2…,a_(2n)點P与a_i的距离是d_i,若 d_1d_(n+1)+d_2d_(n+2)+…+d_nd_(2n)=k=常數試求點P的軌跡。 217.求出由拋物線y=x~2与直線y=n~2(n是整數)所圍成的區域內整點的个數,整點就是各个坐标都是整數的點。 218.若1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c),証明a,b,c三數中必有兩个同值而反号。     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

一道平几题的简证、逆命题及一个类似命题

文给出并证明了如下一道几何题:已知C、D是△PAB的AB边上的点,且AC= BD,一直线分别交PA、PC、PD、PB于A′、C′、D′、B′点,求证:     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

三角形中一个向量性质及推广

性质1 如图1，在△PAB中，M是边AB上任意一点，Q是PM上的任意一点，过点Q的任意一条直线交边PA，PB于A′，B′，若→AM=λ→AB，→PQ=t→PM，→PA′=x→PA，→PB′=y→PB，则1-λ/x＋λ/y=1/t.     

三角形中线上点的一个性质及其推广

性质1如图1,在△PAB中,M是边AB的中点,Q是PM上的任意一点,过点Q的任意一条直线交边PA,PB于A′,B′,若PQ=t PM,PA′=x PA,PB′=y PB,则1x 1y=2t.证因为M是AB的中点,所以PM=12(PA PB).PQ=t2(PA PB)=t2(1xPA′ 1yPB′)=t2xPA′ t2yPB′.因为Q,A′,B′共线,所以t2x t2y=1,即1x 1y=2     

构造垂足三角形简证第34届IMO第三题的拓广

近期,已有文[1]、[2]将第34届IMO第二题拓广为命题:“设P为△ABC内部一点,记: ∠APB-∠ACB=C＇, ∠APC-∠ABC=B＇, ∠BPC-∠BAC=A＇,则有 ①((a·PA)/(sinA'))=((b·PB)/(sinB'))=((c·PC)/(sinC'));(1) ②(a·PA)~2=(b·PB)~2 (c·PC)~2     

三角形另一正则点存在性的证明

用构造法 .设△ ABC的边 BC =a,CA =b,AB =c,若仅有一角小于 60°,不妨设为 A,则B - 60° C - 60°=60°- A >0 .任取一点 Z1作射线 Z1C1、Z1A1、Z1B1使∠ A1Z1C1=B - 60°,∠ B1Z1A1=C - 60°,则∠ B1Z1C1=60°- A(如图 3) ,然后截取 图 3Z1A1=1a,Z1B1=1b,Z1C1=1c得△ A1B1C1.应用余弦定理 ,不难算得B1C1=λ′bc,C1A1=λ′ca,A1B1=λ′ab.又△ A1B1C1∽△ ABC (因对应边之比均为 λ′abc) ,又 Z1A1. B1C1=Z1B1. C1A1=Z1C1. A1B1=λ′abc,按《初探》一文引理 2 ,知 Z1是△ A1B1C1正则点 ,由相似三角形性质 ,知 …     

几何极值趣谈(三)——名题赏析

<正>例13在△ABC中,最大角小于120°.试在△ABC内取一点P,使得P到三个顶点距离之和PA+PB+PC为最小.解设P为△ABC内任一点,把△ABP绕B点作逆时针方向60°的旋转,P转到P′,A转到A′(如图13所示).因为∠PBP′=60°,     

综合题新编选登

题191已知椭圆x24 34y2=1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点,满足PA·PB=0,2|PA|=|PB|.1)求点P的坐标;2)若椭圆上存在两点C,D(异于A,B)且(PC|PC|) PD|PD|)·OA=0,问是否存在实数λ使得AB=λCD,说明理由.解1)如图1,由题意知△OPA是以P为直角顶点的等腰三角形,设P(x,y)则x24 34y