三角形旁切圆的几个几何恒等式

关于三角形的内切圆有这样一个几何恒等式:引理1[1] 设I是△ABC的内切圆的圆心,则下列等式恒成立:IA2/AB·AC+IB2/BA·BC+IC2/CA·CB(1)该命题的证明见文[1].在文[1]中作者巧妙的运用了面积证法从而得到引理1.试想,将引理1中的“内切圆”推广到“旁切圆”,是否仍有类似相关的几何恒等式成立?于是得到下述命题:     

三角形中两个新的三角恒等式

我们发现三角形中的两个优美的恒等式 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｔａｎ(ｎＡ)ｔａｎ[ｎ(Ｂ -Ｃ) ]+ｔａｎ(ｎＢ)ｔａｎ[ｎ(Ｃ -Ａ) ]+ｔａｎ(ｎＣ)ｔａｎ[ｎ(Ａ -Ｂ) ]=-ｔａｎ(ｎＡ)ｔａｎ(ｎＢ)ｔａｎ(ｎＣ)ｔａｎ[ｎ(Ａ -Ｂ) ]ｔａｎ[ｎ(Ｂ -Ｃ) ]ｔａｎ[ｎ(Ｃ -Ａ) ],其中 ,ｎ∈Ｚ .定理 2　在△ＡＢＣ中 ,有　　ｔａｎ (ｎ +12 )Ａ ｔａｎ (ｎ +12 )Ｂ·ｔａｎ (ｎ +12 ) (Ａ -Ｂ) +ｔａｎ (ｎ +12 )Ｂ·ｔａｎ (ｎ +12 )Ｃ ｔａｎ (ｎ +12 ) (Ｂ -Ｃ) +ｔａｎ (ｎ +12 )Ａｔａｎ (ｎ +12 ) (Ｃ -Ａ)=-ｔａｎ (ｎ +12 ) (Ａ -Ｂ) ｔａ…     

巧构一组三角形证明几个三角恒等式

在△ＡＢＣ中，无论是锐角、或直角或钝角三角形，总有Ａ２＋Ｂ２＋Ｃ２＝９０°．从而也有（９０°－Ａ２）＋（９０°－Ｂ２）＋（９０°－Ｃ２）＝１８０°（１）Ａ２＋Ｂ２＋（９０°＋Ｃ２）＝１８０°（２）Ｂ２＋Ｃ２＋（９０°＋Ａ２）＝１８０°（３）Ｃ２＋Ａ２...     

源于一个三角恒等式的几个三角问题

在锐角三角形中，有同学们熟悉的一个不等式：在锐角△ABC中，有     

几个三角恒等式的统一证明

散见于各种刊物上的几个三角恒等式有不同的证法,但其中有的恒等式只见到利用高次方程复数根的知识证明,未曾见过其他证法.本文独辟蹊径,统一利用下面的命题证明,即给出统一证明.……     

关于三角形的一类三角恒等式的探究

高三复习时，围绕关于三角形的三角恒等式的探求与证明，我们组织学生进行了一次研究性学习活动．通过这次活动，促进了同学们观察能力、分析归纳能力的提高，让大家经历了一次数学转化的体验，加强同学们对数学思想方法的认识．现对这次活动的主要内容介绍如下．     

一类反三角恒等式的几何证法

证明反三角恒等式的常用方法是三角法与复数法.然而有许多反三角恒等式蕴含丰富的几何直观,此时若能以数思形,数形结合,便可开辟解题新径.现举例如下,望同学们能举一反三,灵活应用.例1　设0<ｘ<1,求证:ａｒｃｓｉｎ1-ｘ21 ｘ2 ａｒｃｃｏｓ2ｘ1 ｘ2 2ａｒｃｔｇ2ｘ1-ｘ2=π.证　构造Ｒｔ△ＡＢＣ,使∠Ｃ=90°,ＡＣ=2ｘ,ＢＣ=1-ｘ2,则ＡＢ=1 ｘ2,如图1所示.图1　例1图于是在Ｒｔ△ＡＢＣ中,ｓｉｎＡ=1-ｘ21 ｘ2,ｃｏｓＡ=2ｘ1 ｘ2,ｔｇＢ=2ｘ1-ｘ2.∴∠Ａ=ａｒｃｓｉｎ1-ｘ21 ｘ2,∠Ａ=ａｒｃｃｏｓ2ｘ1 ｘ2,∠Ｂ=ａｒｃｔｇ2ｘ1-ｘ2.又2(∠…     

三角形内切椭圆的一个几何恒等式

有这样一个关于三角形内切圆的一个几何恒等式: 命题1 设O是△ABC的一个内切圆的圆心,则下列等式恒成立:     

关于三角形“三线”长的几个恒等式

<正>~~     

三角形的“四心”与三角恒等式

三角形的“四心”与三角恒等式２５７３００山东广饶一中侯良田木文借助于三角形的内心、外心、垂心、分心，给出一些常见的三角形中关于角的恒等式的几何推导，从申我们可以明确地看到这些三角恒等式的几何意义．文中记西ΔＢＣ的三边分别为ａ、ｂ、ｃ，半周长为ｐ，内切...     

谈圆内接四边形的几个优美三角恒等式

文[1]介绍了锐角△ABC中的如下两个不等式cos(B-C)cos A+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥6(1)cos Acos(B-C)+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥23(2)由此,笔者发现了下列有趣结论.定理1在圆内接四边形ABCD中,若A、B、C、D都不为直角,则有cos(B-C)cos A+cos(coCs-B D)+cos(cDos-C A)+cos(coAs-D B)=0(3)证明由于四边形ABCD为圆内接四边形,∴A+C=B+D=180°,∴cosc(oBs-A C)+cos(cCos-B D)+cos(cDos-C A)+cos(cAos-D B)=cos[B-c o(s18A0°-A)]+cos(cBos-B A)+cosc[o1s8(01°8-0°-B-A)A]+cocso(s(1A80-°-B B))=-coc…     

三角形中的几个三角关系及其应用

记△ＡＢＣ的三个内角为Ａ ,Ｂ ,Ｃ .定理 1　若△ＡＢＣ为直角三角形Ｃ =π2 ,则Ａ ,Ｂ中任一角的正弦值等于另一角的余弦值 .定理 2　若△ＡＢＣ为锐角三角形 ,则Ａ ,Ｂ ,Ｃ中任一角的正弦值大于其它角的余弦值 .定理 3　若△ＡＢＣ为钝角三角形Ｃ >π2 ,则Ａ ,Ｂ中任一角的正弦值小于另一角的余弦值 .证　定理 1 :略 .定理 2 :任取两个角 ,不妨设为Ａ ,Ｂ ,则Ａ +Ｂ >π2 ,即 0 <π2 -Ｂ <Ａ <π2 .又 ｙ =ｓｉｎｘ在 0 ,π2 上为增函数 ,∴ｓｉｎＡ >ｓｉｎ π2 -Ｂ =ｃｏｓＢ .问题得证 .定理 3 :∵ 0 <Ａ +Ｂ <π2 ,∴ 0 <Ａ <π2 -Ｂ…     

两个三角恒等式中蕴藏的解题机智

我们先证明下面的两个三角恒等式,这是高一代数甲种本第219页上的一道习题。 求证(l)sina sin声 sinv一sin(a 刀 v)二4C〔巧提升“帐介璐‘言二证明(1)sina sin尹 sin护一sin(。 声 ,) a十刀.吞十v7十a~4缸nee食‘Sln‘-言-S山{1一万.-手 ‘乙乙一25、·岁一宁 2一(宁 ,,,,、~,山。。。刀小咨,矛‘” ￡们‘(口十方十刃一,n(一宁,一2sin宁[cos宁一呵争十月一;si·宁S,·午S‘·宁·~瓦n乃十sinB sinC。 。二~‘A BC 二n,,sln,J十sln。~“COS万下051下05万’ 仿该题的证明,容易构造并证明以下一组三角形中的三角恒等式。 ‘“,分别以合…     

两个优美的几何恒等式

1预备知识 引理1△ABC的面积为S，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，则sinA sinB sinC=S/Rr。     

两个三角恒等式及其应用

笔者在查阅2010年安徽理科试卷16题时发现了一个简洁的三角恒等式,并追踪发现历年考题中都有它的身影．本文就证明它并指出它在高考题中的应用．     

三角恒等式与初等几何定理的机械化证明

一、三角恒等式的机械化证明我们知道,适当选取模型,双曲几何、椭圆几何中的定理证明几乎可以全部化为三角函数与双曲函数的运算。即使在欧氏平面几何中,三角函数的应用有时也会使证明大大简化。但三角函数的运算往往是既繁琐又要很高的技巧,特别是当涉及的几何问题复杂时手算几乎是不可能的。吴文俊在文献[4,6]中指出,可以利用三角函数满足的代数关系及 Ritt-吴文俊原理机械化地证明三角函数公式。本文将给出更直接的方法,并用之于几何定理的证明。当定理涉及角度及方向时,该方法特别有效。     

反三角恒等式的几种证法

反三角恒等式的证明是三角中证明角相等的问题,在这类问题的求证过程中,往往会由于对两角相等的充要条件认识不足及证法单一,而铸成错误。为了让大家对这类问题的多种证法能有个全面的了解,本文拟就反三角恒等式的几种证法,作如下介绍:     

三个三角恒等式与若干三角不等式的证明

本文给出三角形中的三个恒等式,并应用它证明若干三角不等式．     

几个三角公式、定理的几何解释

把两个斜边分别为a、b的直角三角形按如图所放．     

几个反三角等式的几何解释

对于反三角等式arctgx+arc。tgx二王2(高中代数二册P16例2,该题曾作为83年全国数学竞赛题)。 可在同一坐标平面内,分别作出反正切函数粕反余切函数的图象(图1),观察图象,容易看出这两个函数的图象关于直线图1,二要为轴对称, 什根据中点坐标公式有1,…、兀言、“rctgx+“rCC‘gx夕=万,即arc:gx+arcc,gx=晋同理可对aresinx+arcc。s二=(证毕)。要作出几石何解释.(如图2) 又如areeos(一x)=二一arecos丫。-可在单位圆内,作出余弦值分别为x和一x的角a,日(图3),由反三角函数的定义,图2得areeos:=a,areeos(一x)=日,再由对称性知,a+日二‘areeosx+a…