圆锥曲线的一个优美性质

本文旨在介绍笔者新近发现的圆锥曲线的一个优美性质.定理1过椭圆的非对称轴的弦PQ的中点O′任作两条与PQ不重合的弦AB,CD,过A,B分别作椭圆的切线交于点M,过C,D分别作椭圆的     

三角形的一个共点性质及其空间拓广

共边定理 若直线AB和PQ相交于点M，则有S△PAB/S△QAB=PM/QM（证明明见文[1]） 共面定理 若平面ABC和PQ相交于点M，则有VP-ABC/VQ-ABC=PM/QM（证明可仿共边定理证明）     

圆锥曲线又一统一性质的再推广

文[1]介绍了圆锥曲线的一个统一性质：经过圆锥曲线通径PQ的一个端点作关于直线PQ对称的两条直线交圆锥曲线于另外两点M、N,则直线MN平行于弦PQ的另一端点处的切线.文[2]放弃了弦PQ过焦点这一限制条件,将之推广为：性质经过圆锥曲线任意一条与对称轴垂     

蝴蝶定理的几个推广

蝴蝶定理如图1所示,M是⊙O的弦AB的中点,CD、EF是过M点的两条弦,连接CF、DE分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ(1)     

蝶心离枝亦精彩

蝴蝶定理如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M点的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.     

蝴蝶定理的一种面积法妙证

<正>蝴蝶定理^([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文([1])如图1,M是⊙O的弦AB的中点,CD、GH是过M的两条弦,连接CH、DG分别交AB于P、Q两点,则MP=MQ.周春荔教授在文^([1])中给我们展示了一幅脍炙人口的蝴蝶定理诞生、推证、拓广、演变……的美丽画卷,让人赏心悦目、引人入胜、叹为观止,使笔者受益匪浅.经探究,本文笔者给出如下一种自然而流畅的面积法妙证.     

关于抛物线的一个命题的推广

抛物线有一个有趣的命题：过定点M(2p,0)的动直线l与抛物线C：y2=2px(p＞0) 相交于P、Q两点,O为坐标原点,则∠POQ恒为直角.与其等价的命题是：过原点O作抛物线y2=2px(p＞0)的两条互相垂直的弦OP、OQ,则直线PQ恒过定点M(2p,0).文［１］给出此命题的一个推广,本文从另一角度给出此命题的推广.命题1 设M(x0,y0)为抛物线y2=2px上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,则直线PQ恒过定点M′(x0 2p,-y0)证 设PQ的方程为：x=my n(n≥0),代入y2=2px 得 y2-2pmy-2pn=0.由韦达定理得：y1 y2=2pm,y1y2=-2pn(1)其中y1,y2…     

KOM·KPQ=-b~2/a~2及其应用

性质:若PQ是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的不平行于对称轴的弦,M为PQ的中点,则 K_(OM)·K_(PQ)=-b~2/a~2成立。其中K_(OM)、K_(PQ)分别为OM、PQ的斜率。略证:如图所示。     

一个竞赛问题的别证及拓展

<正>一、奥数问题题目过圆外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别与圆交于点A、B、C、D.弦AD和弦BC交于点Q,割线PEF经过点Q交圆于点E、F.证明:(1/PE)+(1/PF)=(2/PQ).     

坎迪定理的一个类比

1问题的提出我们知道,将平面几何中著名的蝴蝶定理作推广便得坎迪定理(见文[1]定理7.3.1)如图1,过圆的弦AB上的任一点M,引任意两条弦CD和EF,连结ED和CF交AB于P和Q,若AM=a,BM=b,PM=x,QM=y,则1a-1b=1x-y1(*)特别地,a=b时,即得蝴蝶定理.图1在坎迪定理中,我们是过点M作两条相交弦CD     

折弦定理——研究性学习的一个好课题

折弦定理如果AB和BC组成一条圆O的折弦(BC>AB),如图1,M为ABC的中点,则从点M向BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点. 这个定理也叫阿基米德折弦定理,大多数学生都能利用对称变换(或截取)给出如下证明.     

折弦定理——研究性学习的一个好课题

折弦定理 如果AB和BC组成一条☉O的折弦(BC>AB),如图1,M为(ABC)的中点,则从点M向BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点. 这个定理也叫阿基米德折弦定理,大多数学生都能利用对称变换(或截取)给出如下证明.     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

还原一道高考试题的真实面目

文[1]的研究很有实用价值,笔者最近在研究圆锥曲线切点弦问题时,发现了一个有用的性质: 定理过双曲线x2/a2-y2/b2=1上任一点E作椭圆x2/a2+y2/b2=1的切线EM,EN,切点分别为M,N两点,直线MN交双曲线两渐近线于G,H两点,O为坐标原点,则S△OGH=ab.     

蝴蝶定理的推广和演变

蝴蝶定理:设M是圆的弦AB的中点,过M作圆的任意两条异于AB的弦CD、EF,线段CF、DE分别交AB于G、H两点,则MG=MH。这个优美的数学名题,曾得到众多数学爱好者的青睐.美国人坎迪     

圆锥曲线主轴上点的一种配对性

本文称圆锥曲线焦点所在的对称轴为主轴 ,并阐明主轴上点的一种配对关系 .设圆锥曲线Γ的离心率为 e,一个焦点为 F,主轴为 l,在 l上距 F较近的顶点为 O.定理　设 M、N为 l上满足关系　　 1OM 1ON=1 - eOF (* )的两点 ,则对Γ的过点 M的任一弦 AB(A、B为弦的端点 ) ,l平分直线     

有趣有用的折弦定理

折弦定理 如图1,AB和BC组成一个圆的折弦,如果BC>AB,M是ABC的中点,则从M点向BC所作垂线之垂足F为折弦ABC的中点,即 CF=FB BA。 证明 在BC上取点D,使CD=AB,连结MA,MB,MC,MD。     

有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理

文[1]将圆中的蝴蝶定理和坎迪定理统一推广为同心圆中的花蝴蝶定理,受其启发,笔者得到了有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理.为了证明需要,我们先引入并证明圆锥曲线中的坎迪定理.1 二次曲线中的坎迪定理AB是二次曲线Ω的弦,M是AB上的任一点,过M作Ω的两条弦CD和EF,其中C,E位于AB同一测.     

共边定理及其简单应用

<正>张景中院士的《面积方法帮你解题》一书,介绍了许多解题的智慧与方法.本文只介绍其中的一个定理——共边定理极其简单的应用,与大家分享.共边定理如图1,若直线PQ与直线AB交于M,则S△PAB/S△QAB=PM/QM.     

韦达定理的妙用

韦达定理是中学数学的重要内容 ,它涉及面广 ,综合性强 ,既是一个活跃的知识点 ,又是数学知识链上不可缺少的一环 .原则上讲 ,凡涉及到两量之和 (差 )与积的问题都可联系韦达定理 ,赋两根以几何意义 ,特别是巧妙构思 ,创设一元二次方程 ,构造应用韦达定理的条件 ,使问题化难为易 .　　一、在平面几何中的应用【例 1】　 (蝴蝶定理 )过圆O的AB弦的中点M引任意两弦CD和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证 :PM =MQ .分析 :蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理 ,1973年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明 ,此处从略 .下面…