递推数列特征方程的来源探究及应用

递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法,递推数列问题能力要求高,内在联系密切,蕴含着不少精妙的数学思想和方法.而近几年高考对于递推数列的考查也比比皆是,文[1],文[2]详细探讨了几种递推数列的通项公式的求法,在解决二阶常系数线性递推数列及分式型递推数列时,提到了特征方程法.但是没有给出使用这种方法的依据.笔者在与同行的交流中,发现很多老师,也仅仅是作为一种方法技巧告诉学生,至于为什么这样做?特征方程如何来的?都没有给出明确的解释.问渠那得清如许,为有源头活水来,笔者经过翻阅资料,思考后终于使这一问题迎刃而解.     

再谈一类递推数列通项的求法

已知an＋1=can^2＋dan＋e/aan＋b, a1=t, ac≠0,e=b/a^2（ad-bc）,求an。     

待定系数法巧解一类数列问题

求由递推式给出的数列的通项,是高考数列综合题常见的考查内容之一,因此熟悉这类数列的通项求法是应试的基本要求．下面,笔者试着结合2008年高考试题,谈谈“待定系数法”在解决这类数列通项中的独特妙用．     

常见递推数列通项公式的求法

递推数列求通项问题是高考与竞赛的热点问题,本文按照数列递推式的发展演化递进顺序,运用化归与转化的思想,简述了九类递推数列通项公式的求法.     

一道高考题解法的再探究

文[1]对递推数列a1=a，a（n＋1）=f（n）an＋g（n）的两种特殊情况给出了通项an的解法．本文介绍这个问题的一般解法，即通过构造辅助数列，用累加法求其通项an．     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6：已知数列{an}中,a1=5,a2=2、an=2an-1＋3an-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式？这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升．本文试从这道题的类型展开加以研究．     

常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法

设数列为,若有正整数K和K＋1个实常数使对任意自然数n都成立,则称阶常系数线性递推数列,（l）式称为递推公式．彭咏松先生在文［l」中利用等比数列和线性方程组的一些知识,研究了常系数齐次（ho一O）线性递推数列的通项公式．本文利用矩阵理论讨论了一般的常系数线性速推数列通项公式．则（1）变为：将（2）式反复迭代,则有：当矩阵E－A可逆时,由于从而（3）式变为当时,,于是可见求数列（n｝通项公式的关键就是求矩阵A的n次方幂,利用矩阵理论可解决此问题．下面举例说明（X。）的通项公式的矩阵求法．例至已知X;一O,X。一1,…     

等差数列和等比数列问题

等差数列和等比数列是两种非常基本的数列 ,其通项公式和求和公式已为大家所熟悉 .数列问题涉及的知识面十分广 ,我们不能拘泥于几个公式和性质 ,而是要在理解的基础上把握住这些公式与性质的本质 ,掌握其思想方法 ,特别是要注意培养熟练地求出其中任意一个元素的运算能力和把一个具体问题转化为等差数列或等比数列问题的逻辑能力 .例 1　 ( 1998年希望杯全国数学邀请赛第二试试题 )在一个各项是实数的等比数列中 ,若前两项的和是 7,前六项的和是 91,那么前四项的和是 (　　 )(Ａ) 2 8.　 (Ｂ) 32 .　 (Ｃ) 35.　 (Ｄ) 4 9.解　因为Ｓ2 =ａ1…     

已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式：（1）Sn=a^n＋b^n=（a＋b）Sn-1-abSn-2；（2）Sn=a^n＋b^n＋c^n=（n＋b＋c）Sn-1-（ab＋bc＋ca）Sn-2＋abcSn-3．     

由几种典型的递推式构造新数列求通项的方法

已知数列的递推式求其通项公式的方法一般有三种 :“归纳、猜想、证明”、“错位相消 (约 )法”以及构造法 .本文将针对六种最典型的递推式 ,谈谈构造新数列求数列的通项公式的方法 .类型 1　ａｎ +1=ｑａｎ+Ｐｋｎｋ+Ｐｋ - 1ｎｋ- 1+… +Ｐ1ｎ +Ｐ0 (ｑ≠ 0 ,1,ｋ∈Ｎ) .例 1　数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ +1=2ａｎ+ 3,求ａｎ.解　令ａｎ +1+ｘ =2 (ａｎ+ｘ) ,可得ｘ =3,故ａｎ+1+ 3=2 (ａｎ+ 3) .又ａ1+ 3=4 ,可见 ,数列 {ａｎ+ 3}是首项为 4 ,以 2为公比的等比数列 ,从而 ,ａｎ+ 3=4·2 ｎ - 1,得ａｎ=2 ｎ +1- 3.例 2　数列 {ａｎ}中 ,…     

关联数列的数表问题

近年来“数表问题”如一颗璀璨的“明珠”，频频出现在国际、国内的数学联赛、中、高考试卷上，它与数列知识联手，凑出一曲曲优美的“乐章”，所谓“数表”就是满足一定条件的数，按一定规律排成一个表，这类问题题型灵活、解法巧妙、规律性强、学生乐见，低、中、高档题均可出现，故成为很多出题专家们的“新宠”，下面就关联数列的数表问题进行分类探究．用以抛砖引玉，期望读者从中受益，进而得出解决此类问题的一般方法。     

一个递推数列在实际问题中的应用

人教版高中课本《代数 (下册 )》Ｐ12 8页第 34题如下 :已知数列 {ａｎ}的项满足ａ1 =ｂ ,ａｎ 1 =ｃ·ａｎ ｄ,其中ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1.证明这个数列的通项公式是ａｎ=ｂ·ｃｎ (ｄ -ｂ)ｃｎ -1 -ｄｃ- 1.上述通项公式也可记作ａｎ=ｄ1-ｃ (ａ1 - ｄ1-ｃ)·ｃｎ -1它有一些实际的用场 .例 1　某地区有国土面积 150 0万亩 ,去年年底森林覆盖率为 17% ,由于自然灾害和各种人为因素对森林的破坏 ,每年森林覆盖面积损坏掉上年覆盖面积的 5% .政府和林业部门规划 ,从今年年初开始 ,每年年初进行一次人工植树造林 (设每年造林面积相同且全部成活 …     

由递推公式给出的数列的常见类型及解法

对于由递推式所确定的数列通项公式问题 ,通常可通过对递推式的变换转化成等差数列或等比数列问题 ,也可通过联想构造或猜想证明把问题转化 .1　ａｎ + 1=ａｎ+ｆ(ｎ)型例 1　在数列 {ａｎ}中 ,已知ａｎ + 1=2 ｎ + 1·ａｎａｎ+2 ｎ + 1,ａ1=2 ,求通项公式ａｎ.解　已知递推式化为1ａｎ + 1=1ａｎ+12 ｎ + 1,即　 1ａｎ + 1- 1ａｎ=12 ｎ + 1,∴ 1ａ2- 1ａ1=12 2 ,1ａ3- 1ａ2=12 3 ,1ａ4- 1ａ3=12 4,… ,1ａｎ- 1ａｎ -1=12 ｎ.将以上 (ｎ - 1 )个式子相加得1ａｎ- 1ａ1=12 2 +12 3 +12 4+… +12 ｎ,1ａｎ=12 +12 2 +12 3 +… +12 ｎ=12 1 …     

交数列通项公式的求法例说

由数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝的所有公共项,按它们在原数列中的次序排成的数列｛ｃｎ｝,可称为｛ａｎ｝,｛ｂｎ｝的交数列;这是一个值得研究的新课题,它的一个基本问题是求两个已知数列的交数列通项公式,本文试举几例说明各种方法及基本策略,从而揭示交数列的一般规律;例１　（１９８７年上海市高三数学竞赛）已知等差数列①：５,８,１１,…,与等差数列②：１,５,９,…,均有３００项,则有　　个数同时出现在这两个数列中;解法１　具体考察数列①：５,８,１１,１４,１７,２０,２３,２６,２９,…,３ｎ＋２,…;②：…     

递推数列通项的矩阵解法

分情形讨论递推数列求通项的问题,介绍相应的矩阵解法,并借助实例说明其应用。     

含根式的数列递推式的通项公式求法探讨

数列通项公式在各类数学竞赛中既是一个重点，又是一个难点．成为难点的一个原因，就是求通项公式的方法灵活多样，分析、推理、综合等能力较强．下面仅就含根式的数列递推式的通项公式求法给予探索和分析．     

探究递推数列通项公式求法的实质

已知数列的递推公式,求其通项公式是数列中一类常见的题型,这类题型如果单纯地看某一个具体的题目,它的求解方法是灵活多变的,构造的技巧性也很强.很多课外辅导资料均总结归纳了常见的几种递推数列通项公式的求法,题型上一般可以分为:形如an+1=an+f(n)型数列(其中f(n)不是常值函数);an+1=an·f(n)型数列;an+1=pan+q型数列;an+1=pan+f(n)型数列(p为常数);an=Aan/Ban+C型数列(A,B,C为非零常数).在日常的教学过程中,强迫学生死记硬背,或许能够收到一定的成效,但是数学是以培养学生思维能力为首要任务的学科,所以,我们有必要对以上几种题型的实质进行分析讨论,让学生明白所以然.笔者认为,无论哪种题型,最终均需要利用到等差数列(结合累加原理)或者等比数列(结合累乘原理)定义解决问题.     

递推数列的通项

递推数列是数列中的一类非常重要的问题，一般地，可以通过给出数列的第一项（或前若干项），并给出数列的某一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的方式叫做数列递推方式．     

等差数列的一个性质

性质1　具有6ｎ 1项的等差数列去掉中间项将剩下的6ｎ项总可以分为2ｎ个互不相交的集合Ａｉ(ｉ=1,2,…,2ｎ),使得Ａｉ中有3个元素并且这3个元素之和为定值.证　设等差数列为ａ-3ｎ,ａ-3ｎ 1,…,ａ-1,ａ0,ａ1,…,ａ2ｎ-1,ａ3ｎ.(1)ａ-3ｎ作首项,ａ0为中间项.由等差数列的性...