HPM视角下“正弦定理”的教学

<正>HPM是数学史与数学教育之间关系的简称,数学史融入数学教学是当下HPM研究的一个重要领域.在高中数学中,正弦定理是求解三角形的重要工具.在“正弦定理”的教学中,教师应该尝试多种不同的教学模式.翻开数学史料,笔者发现古人已经探索出多种不同的正弦定理的证明方法,有不少漂亮的证法有必要介绍给学生,让学生感受古人的智慧.基于此,本文中在HPM视角下,开发不同于以往的“正弦定理”的教学设计.     

融情于景 推理探究——“正弦定理”的教学设计与反思

正弦定理是解三角形的一个重要定理,是用向量法研究三角形边角关系过程中自然而然得到的结论.在参加市青年教师教学竞赛时,笔者以培养学生逻辑推理等数学核心素养为目标设计了“正弦定理”这节课,以探究台球桌上的数学奥秘引入并贯穿整个课堂,融情入景,激发学生兴趣.通过多个探究活动的设计,让学生利用数量积自主探究定理的证明和相关结论,在推理探究的过程中完成逻辑推理等数学核心素养的渗透.     

运用定理进行初步几何推导的路径分析——以“圆的垂径定理”为例

本文以初中数学几何问题的推导解题过程为内容展开,以圆的垂径定理为例阐述学生在解答有关圆形的垂线以及几何问题时使用定理解题的思路与过程.教材对于定理的推导过程基本淡化,学生以背公式、背定理为主要学习手段,从而忽略了对定理本身的理解.如何让学生去发现定理,而非接受定理本身,是当下教师应着手改善的问题.     

例析解三角形问题的解题策略

<正>在高中阶段的数学学习中,解三角形问题是在学习了三角函数的基础上,对三角形的边和角关系所作的进一步探究.在平时的教学中发现学生运用正余弦定理没有章法,不能灵活运用.下面为大家提供几种常见的解题策略.一、正弦定理、余弦定理的适用类型1.正弦定理的适用类型(1)已知三角形的任一边和两角,可求其他两边和另一角.     

“正弦定理(第1课时)”教学设计与反思

<正>一、教学背景(一)教学内容分析本节内容安排在苏教版数学必修5第一章,"正弦定理"第1课时,是在高一学生学习了三角等知识之后,是对三角知识的应用;同时,它作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,因而定理本身的应用十分广泛.实际教学中,"正弦定理"这部分内容共分为三个层次.第一层次,教师引导学生对实际问题进行探索,并大胆提出猜想.第二层次由猜想人手,带着疑问,以及特殊三角形中边角的关系的验证,通过"作高法"、"等积法"、"外接圆法"、"向量法"等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性,并得到三角形面积公式.第三层次利用正弦定理解决引例,最后进行     

把“数学发现”的权力还给学生——正弦定理的教学设计

1 .教材简析正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理.在初中,学生已经学过一些关于三角形边角关系的定理,如大边对大角,直角三角形中的边角关系等.在学过任意角的三角函数的基础上,利用向量工具推导出这个定理,符合学生的认知规律.利用这两个定理可以解决测量、工业、几何等方面的实际问题,同时这两个定理也是反映如何利用代数方法解决几何问题的典型内容之一.通过本节内容的教学,既可以提高学生解决实际问题的能力,培养学生学习数学的兴趣,同时也可以向学生渗透数学中的一些基本数学思想方法.2　设计理念长期以来,…     

此类问题亦可用余弦定理来解

新编教材数学第一册 (下 ) (Ｐ1 2 8) ,在总结正弦定理的应用时指出 :已知三角形两边和其中一边的对角 ,求解三角形其余元素时 ,可利用正弦定理 .而在 (Ｐ1 30 )总结余弦定理的应用时指出 ,利用余弦定理 ,可以解决以下两类有关三角形的问题 :(1)已知三边 ,求三个角 ;(2 )已知两边和它们的夹角 ,求第三边和其它两个角 .在这里给学生造成了一种错觉 ,似乎已知三角形两边和其中一边的对角 ,求解三角形其余元素这类问题 ,只能用正弦定理来解 ,从而忽视了此类问题亦可用余弦定理来解 ,甚至可能用余弦定理来解反而比用正弦定理来解更方便、更简单 …     

正弦定理在数学竞赛解题中的应用(一)

正弦定理在数学竞赛解题中的应用（一）李火斤（天津师范大学数学系３０００７４）正弦定理是高中数学课的一个重要内容．利用正弦定理解决几何问题，在数学竞赛中也经常出现．灵活运用该定理解决几何在有关求角、求最值、证明线段相等、证垂直及证三点共线的例子有很多，...     

例谈数学活动课中探究式教学任务的设置 ——以“拼图•公式”一课为例

数学实验是学生动手动脑,以“做”为支架的教与学的活动方式,让学生享受完整的数学学习过程,通过具体操作,启思明理,积累基本活动经验.数学活动课要让学生“动手做数学”,让学生通过观察、实验、总结来发现数学规律;然后通过猜想、分析、归纳等思维过程对所学的数学知识进行加工;最后通过计算、证明、概括形成数学命题和定理.它是一种强调实际动手操作能力的发现式、探究式学习课型.     

追根溯源,回归本质——从几何角度深度理解绝对值

迈进初中大门的学生,在学习数学时不能仅仅停留在计算层面,还要更深入地理解理论层面的知识,也就是数学课本中的性质定理、判定定理等.绝对值就是这样,学生在学习时一定要掌握其本质,即紧紧抓住"距离"这一本质,那么在后期练习过程中错误率就会明显降低.为此,本文从绝对值问题的易错点出发,结合日常教学中发现的学生解题错误,帮助学生从几何角度深度理解绝对值,让学生的初中数学基础更牢固.     

数学史视角下的课程思政教学案例研究——以《初等数论》的“中国剩余定理”为例

本文以“中国剩余定理”为例，开展《初等数论》课程思政的教学案例研究.通过研究“中国剩余定理”教学实践，增强了学生对中国古代数学的认识，在一定程度上让学生树立了民族文化自信与文化自觉，在增强学生学习数学兴趣的同时，也加强了学生爱国主义思想为主的新时代思政教育.     

对高三数学教学的几点思考

一、数学概念教学 　　数学概念的教学是数学教学过程中的重要内容.只有数学概念掌握得比较清楚,分析问题、解决问题的思路才能正确.数学概念的教学包括数学定义、数学公式、数学定理等教学内容.重在概念形成的过程,教师应该在先让学生掌握正确概念与方法的基础上,然后去指导学生解决问题,这样才能达到事半功倍的效果.……     

新教材建构思想探微

《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 )·数学》(以下简称新教材 )新在何处 ?教育界同行可谓“智者见智、仁者见仁” .笔者的实践体会为 :新教材十分重视凸现“以学生的发展为本”、“以学生为学习主体”的教育思想 ,在具体操作过程中 ,突出体现了把数学学习看成学生主动接受新知识 ,并在教师和同伴的帮助下 ,以自己的方式进行建构过程的建构思想 .本文试图以新教材第四章第七节“二倍角的正弦、余弦、正切”的教学实践为例 ,来探讨新教材的这一思想 .1　公式不给答案———让学生自己去发现规律在提出二倍角的正弦、余弦、正切课题时 ,…     

解斜三角形

1本单元重难点分析 本章是在有了三角函数的基础知识之后,运用平面向量的思想推导出三角形的正弦定理和余弦定理,以及应用正、余弦定理求解三角形及有关实际问题.因而本章的重点是掌握正弦定理和余弦定理的推导及实际应用.难点有两个,一是理解用向量法推导正弦定理和余弦定理;二是在实际应用中如何建立相关的三角函数模型.本章运用的重要数学思想方法有数形结合思想、函数和方程的思想等.     

抓住课堂意外 提升教学智慧

数学课堂涌现师生共同的智慧,因解决预设的数学问题而迸发出不同的思维火花.学生在思考中产生新的问题,有些问题是预知的,有些却是意外生成、始料不及的,这才是真实的课堂现象,数学课堂正因此而变得灵动、精彩.近日,笔者在讲授高三二轮复习课“解三角形与三角函数”时,精心地挑选了课堂的例题和练习,并且对课堂作出了预设.在一个例题和配套课堂练习结束后发生了课堂意外,引发了对余弦定理逆命题的讨论.笔者在此教学片断的基础上对正弦定理的逆命题也进行了思考,得到了一种证明正弦定理逆命题成立的方法.     

多维探究：基于深度学习的初中数学课堂教学

学生数学知识的获得需要在教师的引导下,在概念、定理、变式等多维课堂教学中创设探究环境,让学生主动去获取有效信息.在探究的过程中,学生再主动地创造、发现、获取更多其他有效知识,促使学生独立思考、理解数学,最终获取数学探究的能力.     

正弦定理与欧氏平行公理的等价性

本人在数学通报(1991年第11期)上发表一篇短文(见[1])证明了正弦定理与余弦定理是等价的,但在从正弦定理导出余弦定理时,用了一个条件,即△ABC的内角和为π。因此有些读者就问这个条件能否去掉,若不能去掉就不能说正弦定理与余弦定理是等价的。问题提得好。首先我们要明确什么叫命题的等价性?所谓命题等价     

注重定理教学,优化数学课堂

定理的证明作为数学教学的中心活动,是学生学习数学知识与掌握基本技能的基础,亦是数学思维发展的重要载体.关注定理教学,具有开启教学里程碑的重要作用.笔者一直秉持:根据定理在数学教材中的地位,明确教学目标;通过新课标对定理的解读,确定学生的能力需求;依托定理教学过程,培养探究能力.     

正弦定理、余弦定理、射影定理的关系分析

三角形的正弦定理、余弦定理、射影定理之间有着内在的关系.在正弦定理不涉及外接圆半径的结论的情形下,三个定理是等价的.余弦定理与射影定理与包含外接圆半径的正弦定理等价.     

例谈“体验式学习”在数学定理教学中的应用

体验式学习就是强调以学生为主体的参与与体验,让学生在经历活动中体验,在观察与反思中体验,在归纳与抽象中体验,让思维活动在体验中循环反复,发展数学核心素养.本文中以“三角形全等的判定5”一课的教学为例,实践了体验式学习在数学定理教学中的应用.