a+b/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一个几何证明

(a+b)/2≥ab~(1/2)2/(1/a+1/b)(a>0,b>0)是平均数不等式——“算术平均最大,几何平均次之,调合平均最小”的最简单的情形。它有许多证法,在此介绍一个几何证法作圆,其圆心为A,从圆外一点O引切交OG,切点为G,OA的连线交圆于B、C两点,引GH⊥OB,垂足为H(如图) 令 OC=a,OB=b,则 OA=OC+BC/2=OC+(OB-OC)/2 =(OC+OB)/2=(A+B)/2; ∵ OG~2=OC·OB(切割线定理) ∴ OG=(OC·OB)~(1/2)=ab(1/2); 又 OG~2=OH·OA(射影定理) ∴OH=OG~2/OA=ab/((a+b)/2)=2/(1/a+1/b) 显然,在Rt△OGA中,OA>OG,即(a+b)/2>ab~(1/2);在Rt△OHG中,OG>OH,即ab~(1/2)     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2的应用

定理如果a,b是正数,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取=),这个定理适用的范围:a,b∈R~+;我们称(a+b)/2为a,b的算术平均数,称(ab)~(1/2)为a,b的几何平均数,即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

用 a+b/2≥a~(1/2)证明 a+b+c/3bc~(1/3)

高中代数教材在证明平均值不等式a+b/2≥ab~(1/2)和a+b+c/3≥(abc)~(1/3)时,各自采用了独立的证法。我们为强调基础知识的作用,采用二元平均不等式证明三元平均不等式的方法。设a,b,c∈R~+,求证a~3+b~3+c~3≥3abc.     

若4ab=4a~2 9b~2且a、b为正数

不少的资料上都有这样一道题: 若4ab=4a~2 9b~2,且a、b为正数,求证lg(2a 3b)/r=1/2(lga lgb)。同时还给出了如下的解答。请同学们认真审查一下,看有没有错误,并指出错在哪里?然后再看答案。解法1 ∵4ab=4a~2 9b~2,∴4a~2 12ab 9b~2=16ab,即(2a十3b)~2=16ab。便有2a 3b=4ab~(1/2),从而有(2a 3b)/4=ab~(1/2),故得lg(2a 3b)/4=1/2(lga lgb)。解法2 假定lg(2a 3b)/4=1/2(lga lgb)成立     

注意椭圆参数方程{x=acosθ y=bsinθ}中参数θ的意义

题目 A、B为椭圆b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2(a>b>0)上的两点,O为中心,OA⊥OB;求1/OA+1/OB的南的最大值和最小值。错解化椭圆的普通方程为参数方程x=acosθ y=bsinθ (θ为参数) 设A、B两点的坐标分别(acosθ_1,bs nθ_1),(cosθ_2,bsinθ_2)。由OA⊥OB得θ_2+θ_1±π/2,则B点坐标为(±asinθ_1,bcosθ_1)。可证 1/(OA)~2+1/(OB)~2=(a~2+b~2)/a~2b~2。则有 (1/OA)+(1/OP)~2=(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(OA·OB) =(a~2+b~2)/(a~2b~2)+2/(a~2b~2+(a~2-b~2)/2))~2sn~2θ_1     

重要不等式的变式在数学竞赛中的应用

将基本不等式a~2 b~2≥2ab(当且仅当a= b时等号成立)的两边加上a~2 b~2得:2(a~2 b~2)≥(a b)~2,即(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2,当且仅当a =b时等号成立.不等式(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2的左边为两个实数的平方的平均值,右边为此两个实数的平均值的平方.因而,我们称此不等式为     

不等式1/a+1/b≥4/(a+b)的应用

由不等式a2+b2≥2ab,我们可以得到(a+b)2≥4ab.当a,b∈R+时,容易得到a+b/ab≥4a+b,即1a+1b≥4a+b.这又是一个非常有用的基本不等式,下面我们用这个不等式来处理几个问题,看看它的威力。     

由两数差的平方公式引伸出来的一些重要不等式——中学数学课外活动资料

初中学生即知(a-b)~2=a~2-2ab b~2,且(a-b)~2≥0(a、b为实数),从而得出 ab≤(a~2 b~2)/2很多重要的不等式,都可由(A)得出。 在(A)中令a=x~(1/2)(x>0),b=y~(1/2)(y>0),得     

一类条件不等式探源

文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]分别介绍了下列不等式:若a,b>0且a+b=1则3/2<1/(a~3+1)+1/(b~3+1)≤(16)/9(1)若a,b,c>0且a+b+c=1则1/(1+a~2)+1/(1+b~2)+1/(1+c~2)≤(27)/(10)(2)     

基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

运用sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1进行代换解三角题

代数在三角和几何上的应用非常广泛,某些三角问题,如证三角恒等式、解三角方程、解三角不等式等,如能转化为代数问题来解,往往较之纯用三角知识来解会更顺利和简捷。如令sinx=a,cosx=b,则由 sin~2x cos~2x=1,得a~2 b~2=1。于是可得代换公式{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1}。本文拟用{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1} 进行代换,探索三角问题转化成代数问题的解法。现举例供参考。例1解方程1/(sinx) 1/(cosx)=2。解设sinx=a,cosx=b,则原方程化为方程组     

关于丢番图方程X~2+4Y~4=pZ~4

设p为素数,p=4A~2+1+2|A,A∈N~*.运用二次和四次丢番图方程的结果证明了方程G:X~2+4Y~4=pZ~4,gcd(X,Y,Z)=1,除开正整数解(X,Y,Z)=(1,A,1)外,当A≡1(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|p(a~2-b~2)~2-4(A(a~2-b~2)±ab)~2|,Y~2=A(a~2-b~2)~2±2ab(a~2-b~2)-4a~2b~2A,Z=a~2+b~2;当A≡3(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|4a~2b~2A-(4abA±(a~2-b~2))~2|,Y~2=4a~2b~2A±2ab(a~2-b~2)-A(a~2-b~2)~2,Z=a~2+b~2.这里a,b∈N~*并且ab,gcd(a,b)=1,2|(a+b).同时具体给出了p=5时方程G的全部正整数解.     

一元二次方程有根“1”的条件的应用续例

本刊1984年第二期发表了《一元二次方程有根“1”的条件的应用》一文,本文再举数例加以补充说明, 一、利用“若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,则有a+b+c=0”的结论证题。例1、若方程ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,求证:a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3证明:∵ax~2+bx+c=0(a≠0)含有根1,∴a+b+c=0, 即有c=-(a+b)。∴a~3+b~3+c~3=a~3+b~3-(a+b)~3=-3a~2b-3ab~2=-3ab(a+b)=-3ab(-c)=3abc两边同除以abc得a~2/bc+b~2/ac+c~2/ab=1/3。二、利用“若a+b+c=0,则方程ax~2+bx+c=0(a≠0)必有一根为1”的结论证题,     

Toader平均的二次与调和平均界

该文证明了双向不等式αQ(a,b)+(1-α)H(a,b)T(a,b)βQ(a,b)+(1-β)H(a,b)和λ/H(a,b)+(1-λ)/Q(a,b)1/T(a,b)μ/H(a,b)+(1-μ)/Q(a,b)对所有a,b0且a≠b成立的充分和必要条件是α≤5/6,β≥22~(1/2)π,λ0和μ1/6.其中Q(a,b)=((a~2+b~2)/2)~(1/2),H(a,b)=2ab/(a+b)和T(a,b)=2/π∫_0~(π/2)(a~2cos~2θ+b~2sin~2θ)~(1/2)dθ分别表示正数a和b的二次平均,调和平均和Toader平均.     

关于不等式链√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2/1/a+1/b 的函数与几何模型

在新课程高中数学教材(必修5)中,对基本不等式a+b/2≥√ab (a,b>0)的教学,提出了"探索并了解基本不等式的证明过程"的要求.几种版本的教材(如北师大版,苏教版)对这个不等式都给出了形象的几何模型.     

a~2+b~2≥2ab的一点引伸

众所周知,不等式a~2+b~2≥2ab是一个应用广泛的重要不等式,由此容易推出以下两个不等式: a~2+b~2+c~2≥ab+bc+ca; a~2+b~2+c~2+d~2≥ab+bc+cd+da。进一步推广可得更一般的如下: 定理当a_1∈R (i=1,2,…,n)时,     

算術運算定律在恒等式變形中的應用

高年级学生在代数变形中所犯的错误,有许多情形都是说明学生对于算术运算定律的忽视. 例如下列约分:(2a~2b+4c)/2=a~2b+4c;(a(a~2+b~2+b)~(1/2))/a=(a~2+b~2)~(1/2)+b等等     

Toader型平均与几种经典平均的确界

给出了最佳参数α_1,α_2,α_3,β_1,β_2,β_3∈R,使得双向不等式α_1Q(a,b)+(1-α_1)G(a,b)0且a≠b成立.其中A(a,b)=(a+b)/2,H(a,b)=2ab/(a+b),G(a,b)=(ab)~(1/2),Q(a,b)=((a~2+b~2)/2)~(1/2),C(a,b)=(a~2+b~2)/(a+b),T(a,b)=2/π∫_0~(π/2)(a~2cos~2t+b~2sin~2)~(1/2)tdt分别是两个正数a和b的算术平均,调和平均,几何平均,二次平均,反调和平均和Toader平均.