在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件

把椅子放在不平的地面上,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以使四只脚同时着地、放稳。本文指出,当且仅当椅子的四脚共圆时,才能在一般不平的地面上放稳,并对此建立了数学模型,给出了理论上的证明。     

关于“稳定的椅子”模型问题

本文试就“稳定的椅子”问题(参见[2]或[1]§2.1)的建模与证明作进一步的探讨,并在数学上给出了更为精确的模型和相对严格的证明,从而较完善地解决了这一问题。继续沿用[1]中的两个条件:1) 椅子四条腿一样长四脚连线为正方形。2) 地面函数z(x,y)(以铅垂线为Z轴)是数学上的连续面。除此外,再假定3)各椅腿与椅脚平面((?)ABCD)具有同值夹角γ(0<γ≤π/2)且椅腿为直线型。注意到地     

仅靠旋转未必能将“椅子”放稳

《数学学习》在1997年第3期上发表了“介值定理在数学建模中的应用”一文（见文[1]）。文[1]针对椅脚呈平行四边形时能否在地面上放稳问题作了讨论，该文建立了数学模型，证明了一个定理、给出了“符脚呈平行四边形的椅子总可以经适当旋转，把椅子放稳”的结论。文[1]给出的定理是：设为连续非负函数，，则一定存在。，使。本文指出，该定理的结论是不对的，反例如下：例1取，则满足定理的一切条件，但对一切氏都有，可见定理不真。文[1]中定理的证明过程也是不对的，究其主要原因是证明过程中引用了定理条件以外的假设，从而导致了证明过程…     

一类非线性模型的自适回归

§1.引言 Bickel在[1]中就线性模型Y=X~Tθ+ε当ε服从正则的对称分布时,给出了θ存在自适估计的构造性证明。本文将就如下一类非线性模型,给出θ存在自适估计的一个构造性证明。 考虑模型 Y_i=k(X_i,θ)+ε_i,i=1,2,…。 (1.1)θ∈(H),(H)是R~P中有界开子集。固定x,k(x,θ)是(H)((H)的闭包)上的非线性连续函数。固定     

多边形与多面体的优美定值

文[1],[2]分别给出了正三角形和正四面体、正方形和正方体的定值性质.文[3]将结论做了进一步推广,给出了平行四边形和平行六面体的类似定值性质.笔者在此将上述结论作更进一步推广,并就文[2]和文[3]性质的证明中笔者认为值得商榷的地方作一说明.     

涉及正方形的几个性质

1．问题的提出文[1]给出如下命题：如图1，已知四边形EFGH是正方形，E、F、G、H分别在四边形ABCD的四条边上，且AH=BE=CF=DG，则四边形ABCD是正方形．受这个问题的启发，笔者发现并证明了一组有趣的结论．     

对《一组优美的无理不等式》的再思考

文[1]中给出了3个无理不等式以及它们的推广．证明过程中利用了a^n＋b^n和口＋b，ab之间的关系来进行证明．如果a，b的次数再高一点，那么证明起来将会是相当烦琐．于是重新省查了3个不等式，形式确实非常优美，具有很强的对称性．因此笔者认为这三个不等式应该能用一个统一的方法来证明．     

一道几何题的推广和简证

<正>问题呈现^([1])如图1,设E、F分别是平行四边形ABCD的边AB和AD的中点,线段CE和BF相交于点K,点M在线段EC上,且BM∥KD.证明:△KFD和梯形KBMD的面积相等.本题系文[1]的例15.经研究,在BC∥AD的前提下,条件AB∥CD除了得到AD=BC外没有其他应用.如果把条件AB∥CD换成AD边和BC边之间具有某种数量关系,再把点E和F的位置一般化,就得到了下面的推广.     

对三角形的一个性质的再探究

文[1]提出了三角形的一个“性质”并给出了证明，文[2]又给出了“性质1”并且也给出了证明．受它们的启发，本文也将有关性质进一步探究推广．     

一个不等式的再质疑与另证

文[2]指出了文[1]的错误，并给出了证明，但文[2]的证明仍然是错误的．原因如下：     

二次曲线内接直角三角形斜边过定点的一个统一结论及推广

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件,文[2]给出了关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件,读后深受启发．经过研究,笔者把文[1]、文[2]中的三个定理进行了推广合并成一个定理,得到二次曲线内接直角三角形斜边过定点的一个统一的结论,并给出一个比较简洁的证明．     

曲线拐点充分条件证明中的常见错误

文[1]给出了判别曲线拐点的两个充分条件,文[2]给出了一个充分条件,但三个定理的证明都是错误的.同时,文[1]的两个推论也是错误的.本文通过反例分析了其错因,并给出了文[1]中一个拐点充分条件的正确证明.     

关于圆锥曲线与等比数列的一个性质的补充

文[1]给出了圆锥曲线与等比数列的一个性质． 作为文[1]的补充，本文再给出三个类似的结论．     

广义Taylor公式的几个简单证明方法

<正> 微分中值定理在高等数学中具有重要的理论意义。其中Taylor中值定理更具有一般性。文[1]给出了两个广义Taylor公式,文[2]对其中一个公式给出一个简单证明方法。本文对文[1]的两个公式再给出三个简单的证明方法。     

多维正态总体均值θ的一类广义Bayes minimax估计

本文给出了均值为θ,协方差矩阵为∑(∑正定未知)的P(P≥3)维正态总体均值θ在损失L(δ(x),θ)=((x)-θ)’∑~(-1)((x)-θ)之下的一类广义的Bayes minimax估计,推广了Berger[2]的结果。     

一个数学问题的探究

贵刊文[1]给出式①的一个简单的证明方法．笔者经过探究，给出式①的另几个简证，顺势获得了式①的几个优美的隔离．     

-个不等式命题的另证及推广

笔者认为：文[1]对上面两个不等式的证明方法具有一定的局限性，不易作多元推广．本文在此给出另一种证明．     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

一道三角不等式的两种证法

文[1]为文[2]的题：若α、βγ为正锐角，且sin2a＋sin2β＋sin2γ＝1，求证提供了一种巧妙的换元证法，其证明过程刊进繁杂，下面再给出纯三角证法及几何证法各一种．证明豆（三角法）证明2（几何法）构造一个长方体使a、p、y分别是对角线与相邻三个面所成的角（如图）ZCIAC“。，ZCIADI＝g，LCIABI＝y，在矩形Aer；A；中，设AC；与A；C交于O，有ZC；po＝ZI，同理LCIOBI＝Zy．又易证函OBICg凸MIA，即Lo刀l一上AOD＝。一邓．在三面角O—C；B；C中，两个两面角之和大于第三个面角，即Za＋Zy＞。－Zg．a十B＋y＞5．注1…     

关于Miloevi不等式的加强

1991年，D．M．Milosevic建立了一个关于三角形的不等式’[1]．其中表示对a、b、c循环求和·1992年，陈计建立了下面不等式D’；＞？cos‘AZ手．（2）注意到熟知的R．Kooistera不等式［‘1．＿．、A＿3．＿、3’Sin‘二）ML．（3周才凯在文［4j中给出了（2）的一个加强：＿，－＿2－＿、A、。＞’cos’AM；（＞Isin’Y）‘．（4）最近，杨晋在文［sj中对（l）、（2）进行了强弱比较，得到：针对（4）、（5），文［5］提出了如下猜测：本文证明（6）成立，且推广为：其中kMO．证明由公式及柯西不等式，得不妨设。＞b＞C，RO由等知，…