二元函数条件极(最)值的几何解法

有些学生在求二元函数条件极(最)值时,由于对二元函数条件极(最)值的几何意义全然不知,因而在解答这类问题时,思路不清,方法单一,甚至无从下手。而对于求解结果不会用几何方法加以验证,也经常漏洞百出,本文仅就中学数学中常见类型的二元函数条件极(最)值的几何解法作一归纳整理,以供参考。一、函数f(x,y)=ax~2 by~2型的条件极(最)值例1 已知|x-1| |y-1|≤1,求x~2 y~2的极值解条件|x-1| |y-1|≤1区域如图1所示,x~2 y~2在此条件下的几何意义是在阴影区域中求出的点使该点到原点的距离最小或最大,由图不难知:     

不等约束条件下二元函数最值问题的解法

在高中新教材中多次出现不等约束条件下的二元函数最值问题 ,在多种学习资料和各类考试中 ,这类问题也屡见不鲜 .该类问题一般来说难度较大 ,解法灵活 ,是学习上的难点 .本文介绍几种常用的求解方法 ,供参考 .1　利用基本不等式基本不等式是求最值问题的重要工具 ,灵活运用基本不等式 ,能有效地解决一些不等约束条件下的二元函数最值问题 .例 1　已知x ,y∈R+,且满足xy≥x + y + 3,求u =x + y的最小值 .解　∵xy≥x + y + 3,∴xy -x - y - 1≥ 4 ,(x - 1) (y - 1)≥ 4 .∴x + y =(x - 1) + (y - 1) + 2≥ 2 (x - 1) (y - 1) + 2≥ 6 .故当…     

一类二元条件最值题的特殊解法与统一解法

本文通过对几道有共同特点试题的特殊解法和统一解法的比较,提高学生解决这类二元条件最值题的能力.     

二元最值问题的简单解法

二元最值问题是高考、联考和竞赛中的常见考点,但由于传统解法非常麻烦且涉及知识点太多,导致很多同学对这类题目无能为力．笔者在教学过程中发现了一种求解此类问题的使用面广且简单易行的好方法,现通过例题介绍给大家．     

二元二次函数最值的初等解法

<正>一、提出问题(2015年高考浙江理科数学第15题)已知e_1、e_2是空间单位向量,e_1·e_2=1/2,若空间向量b满足b·e_1=2,b·e_2=5/2,且对于任意x,y∈R,|b-(xe_1+ye_2)|≥|b-(x_0e_1+y_0e_2)|=1(x_0,y_0∈R),则x_0=_____,y_0=     

多元函数的条件极(最)值求法

近年来,求多元函数的条件极(最)值问题已多次在数学竞赛中出现,而解决这类问题又往往需要运用多种思想和方法,学生在这些问题面前显得信心不足.本文在此介绍几种这类问题的初等解法,或许能帮助学生克服这一障碍。一、消元法消元法的指导思想是把求多元函数的条件极(最)值问题化归为求单元函数的条件极(最)值问题。     

一类二元函数最值的求法

文[1]利用不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则x21y1 x22y2≥(x1 x2)2y1 y2(1)(当且仅当x1y1=x2y2时等号成立)给出了一类二元函数最值问题的一种解题策略.受此启发,本文给出另一类二元函数最值的求法.定理设x,y∈R,a,b∈R ,则(1)当a>b时,有x2a-y2b≤(x-y)2a-b(2)(2)当a相似文献   

一类二元最值问题的极坐标解法

我们知道,以直角坐标系中的坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.那么,点P的直角坐标(x,y)与它的极坐标(ρ,θ)之间有一组互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ(ρ≠0,θ∈R).利用这一组互化公式我们可以将点的直角坐标化为极坐标,将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程,近年来此类问题在新课改区的高考试卷中屡屡出现,其重要性不言而喻.     

关于二元函数最值的一个注记

在求一元函数最大、最小值问题时 ,有一个被各类高等数学教材广泛使用的性质 :设函数 y=f( x)在区间 I上可导 ,如果 y=f( x)在区间 I上有唯一的驻点 x0 ,而且 f( x0 )是函数 y=f ( x)在 I上极大值 (或极小值 ) ,那么 f ( x0 )就一定是函数 y=f ( x)在区间 I上的最大值 (或最小值 )。证明并不难 ,几何意义也很明显。以极大值为例 ,在极值点 x0 左边的导数将保持正值 ,而右边的导数值将保持负值 ,因此 f ( x)的函数值只能从 x0 往两边下降直到区间 I的边界。当函数 y=f( x)在 I上只有一个极值点时 ,用这个性质非常方便 ,因此 ,近年出版的各…     

例谈二元函数的最值问题

<正>求解二元函数的最值,涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何、向量等高中数学重点知识,更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用.所以它是函数问题中的一大综合点,也一直是高考的热点.但二元函数的最值在中学没系统讲述,考生对这类问题求解比较困难,本文试图通过一道考题来探求二元     

一个条件最值的构造解法

近年来,构造法解题已越来越为人们所重视和运用。因为它可以启迪人的思维,激发人的想象力的创造性,对于培养思维品质,提高解题能力都有重要的作用。本文以求一个多元函数的条件最值为例,说明构造法的奇妙作用。例已知x,y,z∈R~ ,且 x y z=1 ① x~2 y~2 z~2=1/2 ②求υ=xyz的最大值。求多元函数最值的一个基本的方法是消元,尽可能转化为一元函数来求解。不难求得该函数的定义域为x,y,z∈(0,2/3]。且x,y,z不能同时超过1/2,鉴于x,y,z的对称性,我们只需要求函数υ当其中任意一个     

一个二元最值问题简单解法的完善

文[1]利用y=kx代换简单地解决了一类二元最值问题,笔者发现其解法存在一定的问题,在本文对其进行完善．下面举文[1]中的例2进行分析．     

一类函数最值问题的解法分析

<正>近年来,一类形如|f(x)-(ax+b)|(a,b∈R)的函数最值问题在模考、高考、自主招生及竞赛题中多次出现,由于该类最值问题涉及两个参数,难度较大,常规的分类讨论很难解决,本文通过实例,利用数形结合的方式从"形"的角度去研究"数",揭示这类问题的几何意义,从更直观的角度解决问题.     

一道函数最值问题的多种解法

<正>一题多解是指对同一个问题,由切入点不同,思维层次不同等原因呈现出风格各异的不同解法,一题多解的训练,有助于学生开拓解题思路,优化思维品质,加强知识间的联系,提升分析问题和解决问题的能力.在高三复习中曾遇到一道与函数有关的最值问题,我们发现此题解法多样,内涵丰富,凸显数学思想方法的应用,不失为一道"好题".     

一类函数最值的数形结合解法

本文用数形结合的方法,求解形如：ｆ（ｘ）＝ｍ＋ｎｘ－ｘ２－ｐ＋ｑｘ－ｘ２（ｎ２＋４ｍ＞０,ｑ２＋４ｐ＞０）的函数的最值,此函数的定义域非空．设方程ｍ＋ｎｘ－ｘ２＝０的两根为ａ、ｂ,且ａ＜ｂ;设ｐ＋ｑｘ－ｘ２＝０的两根为ｃ、ｄ,且ｃ＜ｄ．则ａ＝ｎ－ｎ２...     

根式函数最值问题解法例析

求根式函数的最值问题是一个古老而又充满活力的问题,也是高考和竞赛中的热点问题.这类问题具有灵活性强、解题方法巧、应用知识面广等特点,能考查学生的观察、迁移、综合、创新等多种能力.但因学生解决这类问题常感到非常棘手,故本文就根式函数最值问题的解法作一些探讨,供大家参考.1 分步复合法求最值     

有条件二元函数最值问题的解题策略

问题1（苏教版必修5,P96）已知正数x,y满足x＋2y=1,求1/x＋1/y的最小值．     

一类二元最值问题的代数换元解法

文[1]用极坐标法求解一类二元最值问题,具有普遍性,给人一种统一美的感受.但客观地讲,对于许多二元最值问题而言,用极坐标法并非最好,而用代数换元法效果会更佳.实际上,有的代数换元往往更能触及到问题的本质,从而就比三角换元法更简捷.本文通过文[1]、文[2]中的几个例题为例介绍如下,供同学们参考.     

一类二元最值问题的三角换元解法

文[1]介绍了利用极坐标求解一类二元最值问题的方法,确实有其可取之处,对于例1、例2这类问题,求解起来极为简便,但对于后面的几道例题,求解过程并不简便,求解过程中还用到了正切代换,有一些不太严密的地方,下面以文[1]例5为例加以说明,其他例题的求解也存在类似情况,不再一一指出.     

函数最值的常见解法举隅——与三角函数相关的函数最值的求法

与三角函数相关的函数最值问题,具有综合性强、灵活性要求高等特点,是三角函数性质的一个非常重要的应用,它也是学生学习数学的一个难点.本人结合多年的教学体会,发现把它与学生熟悉的代数、几何等知识进行有效的结合,解决起来就比较容易,学生也比较容易理解.……