矩阵方程的最小二乘解

1　引言与引理设 Rm× n表示所有 m× n阶实矩阵的集合 ,ORn× n为所有 n阶实正交矩阵的全体 ,In 是 n阶单位矩阵 .AT、A+、rank A分别表示矩阵 A的转置、MP逆及秩 ;‖·‖是矩阵的Frobenius范数 .此外 ,对于 A =(αij)∈ Rs× s,B =(βij)∈ Rs× s,A * B表示 A与 B的Hadamard积 ,其定义为 :A* B=(αijβij) 1≤ i,j≤ s,现考虑如下问题 :问题 P　给定 A∈Rn× m,B∈Rp× m,D∈Rm× m求 X∈Rn× p,使得Φ =‖ ATXB - BTXTA - D‖ =m in　　我们知道 ,矩阵方程 ATX B- BTXTA=D在自动控制理论中有很重要的作用[1 ,2 ] .…     

矩阵不等式约束下矩阵方程最小二乘问题的增广Lagrangian方法

称X∈R~(m×n)为实(R,S)对称矩阵,若满足X=RXS,其中R∈R~(m×m)和S∈R~(n×n)为非平凡实对合矩阵,即R=R~(-1)≠±I_m,S=S~(-1)≠±I_n.该文将优化理论中求凸集上光滑函数最小值的增广Lagrangian方法应用于求解矩阵不等式约束下实(R,S)对称矩阵最小二乘问题,即给定正整数m,n,p,t,q和矩阵A_i∈R~(m×m),B_i∈R~(n×n)(i=1,2,…,q),C∈R~(m×m),E∈R~(p×m),F∈R~(n×t)和D∈R~(p×t),求实(R,S)对称矩阵X∈R~(m×m)且在满足相容矩阵不等式EXF≥D约束下极小化‖∑_(i=1)~qA_iXB_i-C‖,其中EXF≥D表示矩阵EXF-D非负,‖·‖为Frobenius范数.该文给出求解问题的矩阵形式增广Lagrangian方法的迭代格式,并用数值算例验证该方法是可行且高效的.     

加权广义逆、加权最小二乘和约束最小二乘问题

本文采用如下记号:记C~m×n是具有复数域的m×n长方矩阵的集合,C~m=C~m×1是m维向量的集合.对A∈C~m×n称A~H∈C~m×n是A的共轭转置矩阵,rank(A)表示A的秩,R(A)和N(A)分别为A的值域和零空间,||·||=||·||2和||·||F分别为2-范数和Frobenius范数;I表示恒等矩阵.人们在研究数学规划、数值分析、数据处理,散射理论和电磁学等领域中都将问题归纳为如下的最小二乘问题:     

一类线性约束矩阵不等式及其最小二乘问题

本文主要考虑一类线性矩阵不等式及其最小二乘问题,它等价于相应的矩阵不等式最小非负偏差问题.之前相关文献提出了求解该类最小非负偏差问题的迭代方法,但该方法在每步迭代过程中需要精确求解一个约束最小二乘子问题,因此对规模较大的问题,整个迭代过程需要耗费巨大的计算量.为了提高计算效率,本文在现有算法的基础上,提出了一类修正迭代方法.该方法在每步迭代过程中利用有限步的矩阵型LSQR方法求解一个低维矩阵Krylov子空间上的约束最小二乘子问题,降低了整个迭代所需的计算量.进一步运用投影定理以及相关的矩阵分析方法证明了该修正算法的收敛性,最后通过数值例子验证了本文的理论结果以及算法的有效性.     

解等式约束加权线性最小二乘问题的矩阵校正方法

1 引言 在实际应用中常会提出解等式约束加权线性最小二乘问题 min(b_2-A_2x)~TW(b_2-A_2x) x∈R~n (1) s.t.A_1x=b_1,其中A_1∈R~(p×n),A~2∈R(q×n),b_1∈R~p,b_2∈R~q,W∈R(q×q)为对称正定矩阵. 对于问题(1),目前已有多种数值求解方法,如Paige利用(1)的对偶公式给出了一个向后稳定的数值方法.Gulliksson和Wedin利用加权QR分解技巧给出了解(1)的一个直接解法.作者利用广义Cholesky分解构造了解(1)的矩阵分解方法.     

双反对称矩阵反问题的最小二乘解

1 引 言Rn×m表示所有n×m阶实矩阵集合,Rrn×m表示Rn×m中秩为r的子集;ORn×m表示所有n阶正交阵的集合;A+表示A的Moore-Penrose广义逆;Iκ表示κ阶单位阵;||·||表示Frobenius范数;ASRn×m表示n阶实反对称阵的全体;A＊B表示A与B的Hadamard乘     

子矩阵约束下矩阵方程组的双对称最小二乘解

矩阵方程组l∑j=1在控制与系统领域中具有广泛应用.该文构造了一种算法求解这个矩阵方程组,其中X_j∈R~(n_j×n_j)(j=1,2,…,l)为带有特殊中心主子矩阵约束的双对称矩阵.在没有舍入误差的情况下,该算法经过有限步迭代得到[X_1,X_2,…,X_l],使得t∑i=1||l∑j=1A_(ij)X_jB_(ij)-C_i||=min.实例表明这种方法是有效的.     

一类双对称矩阵反问题的最小二乘解

１．问题的提出近年来,对于矩阵反问题ＡＸ＝Ｂ的研究已取得了一系列的结果［１］,获得了解存在的条件,但由于实际问题中Ｘ,Ｂ由实验给出,很难保证满足解存在的条件,因此研究问题的最小二乘解是有实际意义的．本文就结构设计中用到的一类双对称矩阵的最小二乘问题进行探讨．令Ｒ~(ｎ×ｍ)表示所有ｎ×ｍ阶实矩阵集合,Ｒ~n=Ｒ~(n×1)　表示其中秩为ｒ的子集;ＯＲ~（ｎ×ｎ）　表示所有ｎ阶正交阵之集;Ａ~（ ）表示矩阵Ａ的Ｍｏｏｒｅ－Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆;Ｉ_ｋ表示ｋ阶单位阵;||·||表示Fｒｏｂｅｎｉｕｓ范数;表示ＳＲ~(ｎ…     

一类对称正交对称矩阵反问题的最小二乘解

1 引言 本文记号R~(n×m),OR~(n×n),A~+,I_k,SR~(n×n),rank(A),||·||,A*B,BSR~(n×n)和ASR~(n×n)参见[1].若无特殊声明文中的P为一给定的矩阵且满足P∈OR~(n×n)和P=P~T. 定义1 设A=(α_(ij))∈R~(n×n).若A满足A=A~T,(PA)~T=PA则称A为n阶对称正交对称矩阵;所有n阶对称正交对称矩阵的全体记为SR_P~n.若A∈R~(n×n)满足A~T=A,(PA)~T=-PA,则称A为n阶对称正交反对称矩阵;所有n阶对称正交反对     

线性流形上矩阵方程BTXB=F的双对称最小二乘解

1引言令R~(n×m)、OR~(n×n)、SR~(n×n)(SR_0~(n×n))分别表示所有n×m阶实矩阵、n阶实正交阵、n阶实对称矩阵(实对称半正定阵)的全体,A~ 表示A的Moore-Penrose广义逆,I_k表示k阶单位矩阵,S_k表示k阶反序单位矩阵。R(A)表示A的列空间,N(A)表示A的零空间,rank(A)表示矩阵A的秩。对A=(a_(ij)),B=(b_(ij))∈R~(n×m),A*B表示A与     

线性流形上两类矩阵反问题的最小二乘解

给定广义自反矩阵R,S,即R=R=R-1,S=S=S-1,若复矩阵X满足条件RXS=X（或RXS=X）,则称其为（R,S）-对称矩阵（或（R,S）-斜对称矩阵）.分别讨论了线性流形上（R,S）-对称矩阵和（R,S）-斜对称矩阵约束下矩阵方程MZN=E的最小二乘问题,得到了通解表达式.     

线性流形上次反对称矩阵逆特征值问题的最小二乘解

讨论了线性流形上次反对称矩阵逆特征值问题的最小二乘问题及其最佳逼近，给出了这些问题解的通式；并就这些问题的特殊情况进行了讨论，得到了一些结果。     

广义次对称矩阵反问题的最小二乘解

讨论了广义次对称矩阵反问题的最小二乘解,得到了解的一般表达式,并就该问题的特殊情形:矩阵反问题,得到了可解的充分必要条件及解的通式.此外,证明了最佳逼近问题解的存在唯一性,并给出了其解的具体表达式.     

一类反中心对称矩阵反问题的最小二乘解

给定矩阵Y, X和B,得到了矩阵方程YAX=B的反中心对称最小二乘解.利用矩阵的标准相关分解给出解存在的充要条件及其解的一般表达式.     

矩阵方程A~TXA=D的双对称最小二乘解

１．引 言 本文用 Ｒｎ×ｍ表示全体 ｎ×ｍ实矩阵集合，用 ＳＲｎ×ｎ（ＳＲ０ｎ×ｎ）表示全体 ｎ× ｎ实对称（实对称半正定）矩阵集合，ＯＲｎ×ｎ表示全体 ｎ× ｎ实正交矩阵集合，ＢＳＲｎ×ｎ表示全体ｎ×ｎ双对称实矩阵集合．这里，一个实对称矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ被称为双对称矩阵，如果对所有的 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　用Ａ×Ｂ表示矩阵 Ａ与 Ｂ的Ｈａｄａｍａｒｄ乘积，Ｉｋ表示 ｋ× ｋ阶单位矩阵，Ｏ表示零矩阵，Ｓｋ＝（ｅｋ，…，ｅ２，ｅ１）∈ Ｒｋ×ｋ，其中ｅｉ表示Ｉｋ的第ｉ列． 矩阵方程…     

一类矩阵方程的埃尔米特自反最小二乘解

利用埃尔米特自反矩阵的表示定理和矩阵的拉直方法,研究了矩阵方程$AX+BY=C$的埃尔米特自反最小二乘问题,进一步,给出了方程在埃尔米特自反矩阵集合中可解的充分必要条件,得到解的一般表达式,最后,对任意给定的一对复矩阵,得到了其相关最佳逼近问题解的表达式.     

两种块校正最小二乘问题的代数关系

1 引言 在求解工程问题中,我们常常应用最小二乘方法 min‖Ax-b‖_2,A∈R~(m×n),m≥n (1.1) x∈R~n去得到问题的数值近似解或估计系统的未知参数.我们常常已知(1)的解,而希望求解修改问题     

具最小二乘谱约束的结构矩阵逼近问题及其扰动分析

从两个方面讨论具有最小二乘谱约束的对称斜哈密尔顿矩阵的逼近问题:(Ⅰ)研究使AX-XA的Frobenius范数最小的n阶实对称斜哈密尔顿矩阵A的集合C,其中X,A分别是特征向量和特征值矩阵, (Ⅱ)求(A)∈c使得‖C-(A)‖=min ‖C-A‖,这里‖·‖是Frobenius范数.给出了C的元素的一般表达式和(A)的显示表达式,分析了该最佳逼近矩阵A的扰动理论,并给出了数值实验.     

反对称偏对称矩阵反问题的最小二乘解

该文研究了反对称偏对称矩阵反问题的最小二乘解,得到了该问题解的表达式以及该问题有解的充分必要条件.证明了其最佳逼近解的存在性和唯一性,建立了其最佳逼近解的表达式,并给出了求最佳逼近解的数值算法和算例.