由"为什么好"想到的——也谈数学归纳法新课引入案例的选择

1 引言 在今年第一期的数学通报上刊登了一篇题为"新课引入案例的选择原则--以数学归纳法新课引入为例"[1]的文章.文[1]认为,对于数学归纳法一课,"案例2"(出自人教版教材)是最理想的教学设计案例,同时援引了陶维林教授的话"这部分教材是写得比较好的".但是,为什么好呢?笔者认为,文[1]在引入原则中所给出的理由并不能完全说明问题.本文就从对数学归纳法自身的思考出发,来讨论其引入案例的选择.     

一数学证明题引出的思考

<正>求证:C1n/1-C2n/2+C3n/3+…+(-1)n-1Cnn/n=1+1/2+1/3+…+1/n(n∈N*).这是文[1]中给出的一道数学题,此文中指出本题"入手一做感觉棘手,很繁杂,与同组老师研讨时,一致认为要用数学归纳法证明",后给出了具体的证明过程,几乎用到了组合数性质的所有常用公式,可以说是一道高三复习组合数性质和数学归纳法的好题.笔者读完此文后,对"一致认为要用数学归纳法证明"有些疑问,难道此题不用数学归纳法就很难证明吗?于是,对此题的非数学归纳法证明作了思考.     

也谈子不等式从何而来

文[1]介绍了用“子不等式法”证明与自然数n有关的不等式的方法.针对文[1]的遗留问题,文[2]介绍了“子不等式从何而来?”文[2]认为:“一旦证明了子不等式,就……改为非数学归纳法的证明.”但从所举例题来看,“子不等式”均系由数学归纳法的第二步并通过分析法得出,其实质仍为数学归纳法.若要“改为非数学归纳法的证明”,即用“子不等式法”,直接得出“子不等式”并予以证明方可.但子不等式是否存在?能否直接得出?成为解决问题的关键.笔者研究发现,子不等式完全可直接由欲证之不等式直接得出.下面介绍给读者.     

"众口"不能"铄金"——关于数学归纳法加强命题的再思考

关于用数学归纳法证明一些含有自然数的命题,已有许多文章给予了详细的论述,特别是用数学归纳法证“f(n)相似文献   

从《数学归纳法》再看课堂有效性

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的无限问题正确性的数学方法.由于自然数的个数是无限的,因此与自然数有关的命题是不可能通过有限次检验去证明.这需要通过在有限的情况下,去证明无限的情形.而数学归纳法正好提供了一种从有限到无限,保证命题结论正确可靠的数学方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.应当强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.在设计时,更注重教学引入的选取照顾学生的接受性,重视学生的学习规律,有意识地提高学生的综合能力.     

“数列的概念”的教学反思

在一次教研员教学实践活动中,笔者到一个数学基础相对薄弱的班级上课,课题是"数列的概念".围绕数列的概念,师生进行了"长时间"的数学活动,可谓是历经"九九八十一难"修得"正果",其间有一些精彩的意外生成,也留下诸多遗憾.课后评课中,听课教师提出了很多宝贵的意见.之后,笔者静下心来,回顾教学设计、     

基于HPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计

《数学通报》2011年第4期上的文章"关注教学法表征的数学归纳法教学设计"在上海引发了高中学数学教师对数学归纳法教学的热烈讨论,这些讨论引发笔者从HPM视角对数学归纳法教学进行了思考.     

数学归纳法新授课教案设计

课题数学归纳法教学目的与要求①使学生了解学习数学归纳法的必要性,理解数学归纳法的意义,掌握数学归纳法的基本证题格式。②让学生知道数学归纳法是人类通过有限认识无限的重要工具,从而对他们进行辨证唯物主义教育。     

着力于数学归纳法原理理解的教学设计

一、数学归纳法原理教学的重新构想1.传统的数学归纳法教学的弊端.传统的数学归纳法教学,常常是先说明不完全归纳法的可误性,再举些多米诺骨牌游戏之类的例子作引子,然后就直接“抛”出了数学归纳法的证明步骤,接着通过大量的例子操作,使学生掌握数学归纳法的步骤.这样的教学处理,学生只是死记了数学归纳法步骤,机械地套用,尽管教师反复讲解,结果学生还是觉得方法出来得突然,不能深刻理解数学归纳法中蕴涵着的数学递推证明思想.2.设计的意图是寻求突破对数学归纳法原理的理解.本设计的做法是创设问题情景,在问题的解决过程中,让学生体验递推…     

用超级画板探究圆锥曲线的斜足曲线——获取数学活动经验的一则案例

1引言数学是"做"出来的.数学教学是数学活动的教学,让学生在探究活动中获取数学活动经验,是数学教学的应有之义.文[1]用超级画板探究了圆锥曲线的垂足曲线.进一步地,若两直线的夹角是一个锐角,在保持这个夹角不变的情况下,让其中一条直线运动,那么这两条直线的交点(斜足)的轨迹又是怎     

归纳公理与数学归纳法探究

数学归纳法是一种重要的证明方法.许多文献通过证法分析探寻数学归纳法的逻辑基础、证明方法等[1]-[5].本文试图从归纳公理出发,分析归纳公理在皮亚诺公理体系中的地位以及与数学归纳法之间的关系,由此进一步探讨数学归纳法的本质.     

理解“三个理解” 凸显数学思想

人民教育出版社中数室章建跃先生提出的"三个理解"是指"理解数学、理解学生、理解教学",其具体要义详见文1.理解数学是提高教学质量的前提,只有理解数学,才能准确地确定教学目标与任务,从而在目标的驱动下,准确解析教学任务中所蕴含的数学思想;理解学生是实现有效教学的基础,只有理解学生,才能立足于学生的"最近发展区",用学生的眼光对待数学教学,向学生有机渗透数学思想和方法;理解教学是实施有效教学的关键,只有理解教学,才能有效实现教与学的和谐     

关于数学有效教学的几点思考

最近我校举行了一次数学青年教师的评优课,课题是"直线与平面垂直的判定",作为评委,连续听、评了多节课,感触颇多.本文结合这几节课,对在实施数学有效教学过程中应注意的几个问题谈几点看法,和大家交流. 　　1 一堂课的引入该怎样设计 　　良好的开端是成功的一半,课题引入是一堂课的重要一环.由于中学数学一般都有一定的实际背景,为了让学生感到"数学是有用的",当前非常流行"从学生周围的生活中挖掘教学情境,引入学习内容"的做法.……     

数学教学设计的取向与定位

行动心理学和教育实践告诉我们"脑袋决定手脚",人们在不同的思想观念和价值取向下,对同一问题会产生不同的定位,产生不同的行动方式,得到不同的结果.数学教学设计也是如此,同一课题在不同的教学取向下,会有不同的定位,从而选择不同的设计路径,导致不同的教学效果.1数学教学设计的取向与定位1.1数学教学设计的取向教学设计的取向一般指知识取向与文化取向(这里的知识是"与时俱进的双基",包括一般意义上的基础知识与基本技能).知识取向的教学设计是以知识为中心的教学     

如何引导学生探究性质——以“对数运算性质”的教学为例

在参加一次地市级中学"赛课"活动中,笔者对其中课题为"对数的运算性质"的两节课给予了特殊关注.活动结束之后,笔者收集了相应的课堂视频实录,进行了深入研析.1指导教学的基本思想数学教学首要的问题是"教什么"和"怎样教",具体而言是指教学生"学什么"和教学生"怎么学"以     

教案一则

课题:数学归纳法的应用举例之三——解决与自然数有关的几何问题教学目的:1.使学生学会“综合运用不完全归纳法和数学归纳法来解决与自然数有关的问题”的方法,能较好地运用这一方法解决有关的几何问题。 2.培养学生观察问题、探寻规律、归纳结论的抽象概括能力和几何证明中的数学语言表述能力。教学重、难点:从n=k时命题成立到n=k 1时命题也成立的证明叙述。教学用具:投影仪和教学图片。教学过程: 一、复习导入: 请学生口述使用数学归纳法证明与自然数有关的命题的步骤,随之投影显示这一步骤。强调:(1)证明中二步缺一不可;(2)从n=     

数学归纳法──教案一则

数学归纳法──教案一则徐毅克（安徽省枞阳中学２４６７０２）课题数学归纳法（第一课时）．课型新授课．重点、难点数学归纳法的基本思想及其科学性．教学方法启发式．教具准备小黑板一块．教学目标１．应知应会内容：①了解归纳法的意义；②初步理解数学归纳法的实质；...     

四个重要数学概念判断的模块化思考

概念教学历来是数学教学中的一个难点,先是有文[1]提出的“淡化形式、注重实质”影响甚为广泛,成为指导概念教学的经典性文献,后有文[ 2 ]把数学概念分成三类:描述性概念、发展性概念和基础性概念,并分别提出了以“形”取“意”、重“意”轻“形”和形意兼备、循序渐进的创新教学策略,让我们的概念教学更具宏观性和可操作性.     

一类求和公式发现过程的再探究

<正>《中学生数学》2017年1月下"数苑纵横"栏目刊登了《解析一类求和公式的发现过程》一文,其编后语:本文(2),(3),(4),(5)中归纳的一步是不完全归纳,得到的是猜想,因此最后的结果也只是猜想.本文展现了发现1~k+2~k+3~k+…+n~k求和公式的探索过程.至于发现的公式是否正确,尚须用数学归纳法证明.正是这段编后语引发了笔者对这类求和公式推导的再思考:对于未学习数学归纳法的     

让探究成为数学课堂的“常态”——一节基于课本习题的探究式教学的实践与思考

看了文[1]对当前数学课堂教学中"探究缺失"的分析,笔者作为一位一线教师,对此感同身受.《普通高中数学课程标准(实验)》明确提出:"学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿、和练习,高中数学课还应倡导自主探索,动手实践,阅读自学等学习方法的转变".笔者感到,要真正改变学生的学习方式,提高学生的探究能力,确应将数学探究教学植根于日常教学活动中去,让探究成为数学课堂的"常态",而不只是靠每