不等式证明的常用方法

不等式在数学中的地位十分重要，证明不等式的方法和技巧也很多，本文介绍一些常用方法及其在数学竞赛中的应用。     

构造数列证明一类不等式

证明与自然数有关的一类不等式的常规方法是数学归纳法和放缩法，但数学归纳法的证明过程比较繁琐，而放缩法的技巧性很强，难度较大，笔者运用构造数列的方法证明此类不等式，可使证明过程思路清晰、简捷明快．     

证明不等式的几种特殊方法与技巧

不等式的证明是高中数学的重要内容之一。由于不等式的证明灵活多样，技巧性强，因此有必要掌握几种特殊的证明方法或技巧，以提高证题能力．     

一类关于三角形不等式的证明方法

文[1]借助两个特殊不等式并应用代数变换证明了一类三角形不等式.本文给出这类不等式的三角证法.为行文方便,约定△ABC的三边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、,s,R,r;其中例题的证明要用到下列熟知的三角形恒等式:abc=4Rrs,∑bc=s2 4Rr r2,∑a2=2(s2-4Rr-r2)     

证明不等式的基本方法

证明不等式的基本方法主要有以下几种 :1)比较法 .根据实数的有序性 ,在证明不等式A>B或A 相似文献   

含绝对值不等式的证明

含绝对值不等式的证明，方法灵活多样，难度较大．既要重视综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法等基本数学方法的应用，还要善于运用配凑、拆项、换元、构造、特殊化、等分区间、分类讨论等一些常用的解题技巧与策略．此外，绝对值不等式还有如下两个重要性质：     

一个不等式的初等证明

本刊文 [1]利用微分法证明如下不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x +y +z =1,则　　 (1x -x) (1y - y) (1z-z)≥ (83) 3 (1)该文刊出后 ,收到福州二十四中学杨学枝 ,武汉市第六中学刘大岱 ,江西广丰中学朱水龙 ,长沙电力学院数学与计算机系梅宏 ,湖北监利新沟中学杨美璋 ,重庆市武隆县中学李来敏、杨小林等人的初等证明 ,限于篇幅 ,下面选登一种初等证法     

证明不等式的常用技巧

文[1]介绍了证明不等式的四种基本方法，下面将介绍证明不等式的三种常用技巧．     

几个有趣的三角不等式的简证

文[1]作者给出了一组有趣的三角不等式，笔者在本文利用琴生不等式给出较为简单的证明．     

一类数列不等式的证明方法

与数列有关的不等式证明题,一直是高考的热点,也是学生学习的难点.本文通过对两道试题的解法探究,介绍证明这类数列不等式的方法和策略,供大家参考.问题1(2009年山东卷理科第20题)等比数     

改进一个不等式的思考过程

设ａｉ≥ 0 ,ｂｉ≥ 0 ,ａｉ+ｂｉ=1 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 .记Ｓｎ =∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1 ,规定当ｉ>ｎ ,ａｉ =ａｉ-ｎ,当ｉ<1 ,ａｉ =ａｉ+ｎ.文 [1 ]证明了命题 1　Ｓｎ ≤ ｎ4ｓｉｎ2 πｎ图 1证法颇为巧妙 :如图1 ,Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 是边长为 1的正ｎ边形 ,在ＡｉＡｉ+1 上取Ｂｉ,使ＡｉＢｉ =ａｉ,则ＢｉＡｉ+1=ｂｉ.显见 ∑ｎｉ=1Ｓ△ＢｉＡｉ+1 Ｂｉ+1 ≤ＳＡ1 Ａ2 …Ａｎ,也就是12 ｓｉｎ(ｎ- 2 )πｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1　≤ ｎ2 · 14ｓｉｎ2 πｎ·ｓｉｎ2πｎ整理即得 (1 ) .在图 1中作正ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的对角线Ａ1 …     

一类数列不等式证明的新思路

数列不等式如果一边是和或者积的形式,常用放缩法或者数学归纳法来证明．但是放缩法技巧性较强,学生难于把握;而数学归纳法操作上比较机械,学生熟悉方法后对优化思维无太大好处．这里介绍另外一种证明此类不等式的思路．     

浅谈不等式证明中的“变形计”

不等式的证明是高考和竞赛中重要的内容,证明的方法丰富多彩,其中变形的技巧更是精彩纷呈．合理而有效地变形经常能化难为易,化繁为简,优化解题过程,展示数学美．     

不等式的证明

本单元重、难点分析 1)实数的两个特征：①x∈R←→x^2≥0；②任意两实数均可比较大小．由此得到的两实数差的符号与两实数大小比较的关系是证明不等式和解不等式的理论基础和主要依据．     

不等式的性质与证明

不等式的基本性质贯穿于不等式的证明、求解和实际应用中，因此它是学习的重点．运用不等式的基本性质解决不等式问题时，应注意性质成立的条件．     

一个三角不等式的部分加强

第19届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题：     

构造几何模型证明不等式

数学学习过程离不开解题,美国数学家哈尔莫斯也曾说过：“数学真正的组成部分应该是问题和解,问题才是数学的心脏．”在数学教育中,解题活动可以说是最基本的活动形式．一个好的问题的解决方式往往有多种,用构造法解题是一种既古老又年轻的科学方法．     

不等式证明问题的思考方法

不等式的证明是中学数学中的一个难点．如何寻求不等式的证明思路是中学生常感到困惑的问题,本文通过对一道不等式证明问题的多角度思考来说明不等式证明中一些常用的思想方法．     

一个代数不等式的再推广

文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理　设ｘ =ｘ(ｔ) ,ｙ =ｙ(ｔ) ,ｔ∈Ｄ Ｒ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ,ｙ是Ｄ上单调函数 (可不严格 ) ,Ａ =ｘ(ｔ1)·[ｙ(ｔ1) - ｙ(ｔ2 ) ]+ｘ(ｔ2 )[ｙ(ｔ2 ) - ｙ(ｔ3) ]+… +ｘ(ｔｎ -1) [ｙ(ｔｎ -1) -ｙ(ｔｎ) ]+ｘ(ｔｎ) [ｙ(ｔｎ) - ｙ(ｔ1) ],ｎ >1 ,ｎ∈Ｎ .则1 )若ｘ ,ｙ增减性相同 ,得Ａ≥ 0 ,且当且仅当ｘ(ｔ1) =… =ｘ(ｔｎ)或 ｙ(ｔ1) =… =ｙ(ｔｎ)时 ,Ａ =0 ;2 )若ｘ ,ｙ增减性相反 ,得Ａ≤ 0…