2000年高考数学试卷Ⅱ解法集锦

理科 ( 1 7( ) )题别解甘肃秦安　张月顺　江苏东海　李跃学河北正定　吴怀杰　山东宁阳　程若礼湖北浠水　程贤清　贵州道真　冉福现河南陕县　李严军　刘栓龙　黄石　杨志明试题　已知函数y =12 cos2 x 32 sin xcos x 1,x∈ R,当函数 y取得最大值时 ,求自变量 x的集合 .解法 1y =cos x( 12 cos x 32 sin x) 1=cos x .sin( π6 x) 1=12 [sin( 2 x π6) sin π6] 1=12 sin( 2 x π6) 54.以下同参考解答 .解法 2　当 cos x =0时 ,y =1;当 cos x≠ 0时 ,y =12 cos2 x 32 sin xcos x sin2 x cos2 xsin2 x cos2 x=tg2 x 32 tg x…     

研究三角函数性质的法宝——“三个一”

高一学生分析问题时最缺乏的就是目标意识,有的同学拿到三角函数性质的题目,想半天都没有一个明确的解题方向,其实所有这类问题都是首先将目标三角函数化为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式,即一个角的一种函数名称的一次式的形式,因为课本中三角函数的每一种性质都是由“三个一”型三角函数而展开讨论的,我们只有将目标三角函数化归成这种模型,才能使用课本结论灵活解题·例1求函数y=sin3xsin3cxos+22cxos3xcos3x+sin2x的最小值.分析只需将目标三角函数化简为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式即可·解法1因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=21[(cos2x-cos4x)]sin2x+21[(cos2x+cos4x)cos2x]=21[cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x]=21(cos2x+cos2xcos4x)=21cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=cos32xcos22x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+4π).当sin(2x+π4)=-1时,y...     

函数性质选择题四则

1 函数y=ax~2 bx c的单调性:(A)分别有一个增区间和减区间,(B)有一个增区间或减区间;(C)不能确定。 2 f=(x)为奇函数的必要条件是:f(x)的(A)定义域关于原点对称;(B)图象关于原点对称;(C)恒有f(-x)=-f(x)。 3 下列函数中的周期函数是(A)y=cos2|x|;     

一类含三角函数的初等函数取值范围问题的图象解法

一类求在给定条件下三角函数式的取值范围问题 ,已有多篇文章论及 (参见文〔1〕〔2〕〔3〕) ,但美中不足的是文中未给出如何揭示隐含条件以避免误解 .笔者发现这类问题通过构造合适的直线或圆锥曲线能充分揭示隐含条件 ,正确求解 .例 1　已知 sinα 2 cosβ=2 ,求 2 sinα cosβ的取值范围 .解　设 x=sinα,y=cosβ,t=2 sinα cosβ则有 x 2 y=2 ,2 x y=t( |x|≤ 1,|y|≤ 1) .t的取值范围即线段 x 2 y=2与平行线段 2 x y=t( 0≤ x≤ 1,12 ≤ y≤ 1)相交时 ,2 x y=t在 y轴上截距的取值范围 .由图 ( 1)易得 :当 2 x y=t通过点 B( 1,12 )时 ,t…     

数学问题解答

20 0 0年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 4 1 .求函数 y=sinnx cosnx ( n∈ N )的最值 .解　 ( 1 )当 n=1时 ,y=sinx cosx=2 sin( x π4)∴　 ymax=2 ,ymin=- 2 .( 2 )当 n=2 k 1 ( k∈N)时 ,| y| =| sinnx cosnx|≤ | sinnx| | cosnx|≤ | sinx| 2 | cosx| 2 =1∴　 - 1≤y≤ 1∴　 ymax=1 ,ymin=- 1 .( 3)当 n=2 k( k∈N)时 ,y=sinnx cosnx≤sin2 x cos2 x=1 ,∴　ymax=1 ;∵　 sin2 x cos2 x=2× 12 ,∴　设 sin2 x=12 - d,cos2 x=12 d.∴　 y =sinnx cosnx=( sin2 x) k ( cos2 x) k=( 12 - d) k ( 12 d…     

函数的周期性与图像对称性的相互关系

全文约定:函数y=f(x)的定义域为R．结论1 若函数y=f(x)的图像关于x=a 和x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)为周期函数．证明∵函数y=f(x)的图像关于x= a和x=b对称, ∴ f(-x)-f(x 2a), 且 f(-x)-f(x 2b)．∴ f(x 2a)=f(x 2b)．∴ f(x)=f[x (2a-2b)]．∴函数y=f(x)是周期函数,2a-2b是     

最值问题的六种解法

<正>题目(2014年浙江省高中数学竞赛试题)设实数x,y满足方程(x+2)²+y2+y²=1,则y/x的最大值为.解法1令x=-2+cosθ,y=sinθ,θ∈[0,2π),y/x=k.则y/x=sinθ/-2+cosθ=k,即kcosθ-sinθ=2k,     

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第Ⅰ卷　　参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) ｜x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) ｜x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3…     

函数y=|sinx|的周期问题

对于函数 y =| sinx|的周期 (最小正周期 )问题 ,我们常用图像法来分析 .这里介绍用解析法分析它的周期问题 .由于y =| sinx| =sin2 x =1 - cos2 x2 ,函数值的重复取得 ,等价于 cos2 x值的重复取得 ,故函数的周期为π.例 1　求函数 f( x) =| sinx cosx| ,　 ( x∈ R)的周期 .解　由 f( x) =| sinx cosx|　 =| 2 sin( x π4 ) | =2 sin2 ( x π4 )　 = 1 - cos( 2 x π2 ) ,函数 f ( x)值的重复等价于 cos( 2 x π2 )的值的重复 ,而 cos( 2 x π2 )的周期为π,所以函数 f ( x)的周期为π.例 2　求函数f( x) =1 - cos2 x 1 …     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

新二元三角插值多项式的构造

设Ω=[-πxπ,-πyπ],C(Ω)表示关于x,y均以2π为周期的连续函数空间.若f(x,y)∈C(Ω),取结点组为(xk,yl)=(2k+2n 1)π,(2l 2+m 1)πk=0,1,2,…,2n,l=0,1,2,…,2m,则我们获得一个二元三角插值多项式Cn,m(f;x,y)=M1N∑k=2n0∑l=2m0f(xk,yl).1+2∑nα=1cosα(x-xk)+2∑mβ=1cosβ(y-yl)+4∑nα=1∑mβ=1cosα(x-xk)cosβ(y-yl)其中M=2m+1,N=2n+1.为改进其收敛性,本文构造一个新的因子ρα,β,使得带有该因子ρα,β的二元三角插值多项式Ln,m(f;x,y)可以在全平面上一致地收敛到每个连续的f(x,y),且具有最佳逼近阶.     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷)数学(理工农医类)

一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.如果(3x2-x23)n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为()A.3B.5C.6D.102.将y=2cos(3x 6π)的图象按向量a=(-4π,-2)平移,则平移后所得图象的解析式为()A.y=2cos(3x 4π)-2B.y=2cos(3x-4π) 2C.y=2cos(3x-1π2)-2D.y=2cos(3x 1π2)-23.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于()A.{|x|0相似文献   

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

新题征展(34)

A.题组新编1 .( 1 )函数 f ( x) =2 x - 3x 1 的图像的对称中心为　　 ;( 2 )函数 f ( x) =ax cx b 的图像的对称中心为 ( 1 ,2 ) ,则 a =　　 ,b =　　 ;( 3)函数 f( x) =ax - 1x 1 在 ( -∞ ,- 1 )上是减函数 ,则 a的取值范围是　　 .2 .　 ( 1 )在锐角△ ABC中 ,sin A、cos B的大小关系是　　 .( 2 )在锐角△ ABC中 ,设 x =sin A sin B sin C,y =cos A cos B cos C,则 x、y的大小关系是　　 .( 3)在长方体中 ,一条对角线与一个顶点的三条棱所成角分别为α、β、γ.1　设 p =tanα tanβ tanr、q=cotα cotβ …     

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

新题征展(63)

A　题组新编1 .( 1 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 1 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 2 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 3)动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =2 | xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 4 )动点 M( x,y)满足2 ( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 .2 .( 1 )过点 P( 1 ,2 )的直线与 x、y轴的正半轴分别交于点 A、B,试求 S△ AOB 的最小…     

求三角函数的周期

“问题:确定下列函数的周期: 1) f_1(x)=cos 3x/2-sin x/3 2) f_2(x)=cos 2x-tgx。解:用P表示函数f_1(x)的周期,那末根据周期函数的定义有: cos 3x/2-sin x/3==cos 3/2(x+P)-sin 1/3(x+P)……(1)等式(1)对任何x值都成立。当x=0,就得到: 1-0=cos 3/2P-sin P/3……(2)可知当P=12π时,适合等式(2)。所以函数f_1(x)的周期为12π。类似地可求出f_2(x)的周期。”对于这样的解答,不能使我们满意。第一。“猜测”方程(2)的最小正数解和求出函数f_1(x)最小正周期是同样困难的(或容易的)。因此求出方程(2)来,不能使解答容易。