不等式1/a+1/b≥4/(a+b)的应用

由不等式a2+b2≥2ab,我们可以得到(a+b)2≥4ab.当a,b∈R+时,容易得到a+b/ab≥4a+b,即1a+1b≥4a+b.这又是一个非常有用的基本不等式,下面我们用这个不等式来处理几个问题,看看它的威力。     

从等号成立的条件探讨不等式的证明

不等式的证明是中学数学中的难点,方法灵活多样,技巧性强,没有固定的证题模式。有些不等式,如果我们挖掘出其等号成立的条件,则常使我们觅得解决问题的途径,为了说明问题,先看下面的题目: 例1 a,b为正实数,且a b=1,求证: 因观察以上证明过程,虽然推理没有错误,但没有达到证明原不等式的目的,不难发现使用的不等式ab 2/ab≥2(ab·2/ab)~(1/2)中,等号不能成立,这说明这一不等式还需进一步加强,那么如果使用平均不等式,如何使等号成立呢?所证不等式中,易知a=b=1/2时等号成立,此     

习题的加强推广与应用

<正>习题已知a,b∈R+,求证:(a+b)/2≥a+b(abba)～(1/2).这是高中新课程选修教材《不等式选讲》中的习题2.2的第5题,该不等式左右两端结构差异较大,直接证明有一定难度.而(a+b)/2是两正数a、b的算术平均数,联想到均值不等式(a+b)/2≥ab～(1/2)并尝试着代入几组特殊数值,验证后发现(ab)～(1/2)≥a+b(abba)～(1/2)是成立的,于是将此习题所要求证的结论加强如下:加强1已知a,b∈R+,求证:(ab)^(1/2)≥a+b(abba)(1/2)≥a+b(abba)^(1/2).解析由于(ab)(1/2).解析由于(ab)^(1/2)和a+b(abba)(1/2)和a+b(abba)^(1/2)的结构相同,     

幂权平均数不等式及其几何解释

在不等式理论中,平均数不等式应用广泛.在新教材中,已涉及著名的高斯不等式链1/1/2(1/a+1/b)≤√ab≤a+b/2≤√a2+b2/2(a,b∈R+,当a=b时等号成立)……     

基本不等式应用

<正>基本不等式如果a,b都是非负数,那么(a+b)/2≥(ab)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s²/4;(2)若ab=p(积为定值),则当a=b时,和a+b取得最小值     

例谈一个不等式的证明与推广

1 问题呈现 设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2≥100/3. 2思路探索 方法1(基本不等式): 首先,借用基本不等式a2 +b2≥2ab,对不等式左边放缩.     

活跃在不等式证明中的一个常用不等式

本文由一个恒等式得到一个常用的不等式,并举例说明其在证明不等式中的应用.设a,b,c为正实数,则有(a+b)(b+c)(c+a)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca).①证明因为(a+b+c)(ab+b十ca)≥9abc,所以(a+b)(b+c)(c+a).=(a+b+c)(ab+be+ca)-abc.≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-1/9(a+b+c)(ab +bc+ca)=8/9(a+6+c)(ab+b+ca).     

利用一个简单结论解题

众所周知:若a0时,原不等式的解集为〔-a/4,0〕.2　证明不等式例2　设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a b c abc1 ab ac bc<1.证明　记x=a b c abc1 ab ac bc,则原不等式|x|<1-1相似文献   

一道世界数学团体锦标赛试题的探究

<正>1问题呈现(2017年世界数学团体赛不等式试题)已知a,b>0满足a+2b=1,求a+ab(1/2)的最大值.因为ab(1/2)=((6(1/2)-2)/2*a·(6(1/2)+2)b)(1/2)≤((6(1/2)-2)/2*a+(6(1/2)+2)b)/2.     

运用基本不等式的三原则七策略

谈到基本不等式ab（1/2）≤a＋b/2,虽说其结构简洁,易懂好记,但由于其内涵丰富,使用条件苛刻,运用方法灵活,想要熟练驾驭它,还需要懂得运用它的三原则七策略. 一、运用基本不等式的三原则 对于基本不等式,有如下三点：1a,b为正实数;2当和a＋b为定值时,积ab有最大值;当积ab为定值时,和a＋b有最小值;3a=b时,不等式中的等号成立,a≠b时,不等式中的等号不成立.     

利用梯形性质证明不等式

<正>（2ab）/（a+b）≤（ab）^1/2≤（a+b）/2≤（（a²+b²）/2）^1/2（a>0,b>0）是不等式中最著名的不等式,也是最基本最重要的不等式,其中（2ab）/（a+b）=2（（1/a）+（1/b））^-1称为调和平均值,（ab）^1/2称为几何平均值,（a+b）/2称为算术平均数,（（a²+b²）/2）^1/2称为平方平均数,当且仅当a=b时式中等号成立,它的代数证法并不难,笔者发现,通过构造梯形,利用几何的方法亦可通俗易懂地证明这个不等式。     

一个有理型不等式的类比

文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,若ab≥1/2,则1/(1+a2)+1/(1+b2)≤1+1/(1+(a+b)2)当且仅当a=b=2～(1/2)/2时等号成立.本文给出不等式①的一个类比.     

应用均值不等式的“技巧”

均值不等式槡(ab)～(1/2)≤a+b/2(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号)是高中数学中的一个重要不等式,应用广泛,是求解某些函数最值问题的有效工具.应用均值不等式有三个必要条件:一正二定     

利用均值不等式巧解三角问题

<正>均值不等式是中学数学的一个重要不等式,是证明不等式及各类最值问题的一个重要依据和方法.均值不等式的形式有多种,其中最基本和最常用的是:1当a>0且b>0时,a+b≥2(ab)^(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a(1/2)(当且仅当a=b时等号成立);2a²     

应用基本不等式求最值的“代换”技巧

<正>基本不等式已知a、b∈R⁺,则a+b/2≥ab+,则a+b/2≥ab^(1/2).基本不等式是高中数学的一个重要内容,具有广泛的应用,而且非常灵活,在解决有关多元变量的代数式(可看作是多元函数)的最值问题快捷有效.应用基本不等式求最值要求     

一个经典问题的直接证明

<正>经典问题求证a,b,c为正实数的充要条件是a+b+c>0,且ab+bc+ca>0和abc>0.证法一设A=a+b+c,B=abc,则a+b=A-c,ab=c/B,将两式代入ab+bc+ca>0,整理得c/B+c(A-c)>0,即c(1/B+A-c)>0,解关于c的二次不等式,得0相似文献   

均值不等式的几何证法

如果a、b∈R+ ,那么a +b2 ≥ab .(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .这是高中数学课本中的一个重要不等式 ,很容易用综合法证明 .如果稍加研究 ,这个不等式还有巧妙的几何证法 .图 1证法 1　如图 1所示 ,SABCD≥ 4SAA1 B2 D1 (a+b) 2 ≥ 4ab a +b2 ≥ab .(a =b SA2 B2 C2 D2=0 a+b2 =ab)证法 2　如图 2所图 2示 ,设DA =a ,AB =b ,则有OC =a +b2 ,AC =ab a +b2 ≥ab .(a=b AC与OC重合 a +b2 =ab)图 3　　证法 3　如图 3所示 ,设AB =a ,AC=b ,则有AO =AB+BC2 =a +b -a2 =a +b2 ,AT =ab ,AO≥AT a +b2 ≥ab .(a =b …     

课外练习

高一年级1.已知集合M={3-a,a2 1,a 1}中的三个元素总能构成等差数列,求所有可能的a的值及对应的公差之值. (湖南平江七中(414501)张大授)2.已知等比数列{a2-(3/2)a,a,b,ab},使得不等式0< logm|ab|<2成立.求m的取值范围.     

例谈应用(a+b)~2≥4ab解取值范围的问题

<正>众所周知,不等式a²+b2+b²≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)2≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)²≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)²≥4ab,     

不等式的性质与证明

1　重、难点分析1)不等式的基本性质是学习的重点 .运用不等式的基本性质解决不等式问题时 ,应注意不等式成立的条件 ,否则会出现错误 .2 )下面是有关基本不等式的重要结论 :若a ,b ,c∈R+ ,则 21a + 1b≤ab≤ a +b2 ≤a2 +b2 (当且仅当a =b时取等号 ) .31a + 1b + 1c≤ 3 abc ≤ a +b +c3≤a2 +b2 +c23(当且仅当a =b =c时取等号 ) .另外由基本不等式可得到下列结论 :① 4ab≤ (a +b) 2 ≤ 2 (a2 +b2 ) (a ,b∈R ,当且仅当a =b时取等号 ) ;② 3(ab+bc +ca)≤ (a +b +c) 2 ≤ 3(a2 +b2 +c2 ) (a ,b ,c∈R ,当且仅当a =b =c时取等号 ) ;③ a…