组合学的一个新概念--圆组合

1962年笔者在《数学通报》指出下述结果[1 ] :设n ,k为自然数 ,a ,b为实数或复数时 ,就有等价恒等式(a b) n =∑nk=0nk an-kbk,(二项式定理 )an bn =∑[n2 ]k=0( - 1 ) k nk (a b) n- 2k(ab) k,(等价二项式定理 )其中记号nk =n(n- 1 ) (n- 2 )… (n -k 1 )k!,nk =n(n -k- 1 ) (n -k- 2 )…(n- 2k 1 )k!.同时还发现等价恒等式的数字表、证明、性质以及应用上具有相似之处 .由于 nk 是组合记号 ,推测 nk 可能是另一组合记号 ,于是猜想 nk 中蕴藏着组合学的一个新概念 .40年韶光弹指过 ,近年笔者探讨孪生组合等式的问题[2 ,3,4] ,才能清楚地…     

不等式sum from k=1 to n(1/(a_k))≥(n~2/(sum from k=1 to n))(a_k∈R~+)的应用

近年来 ,在国内外数学竞赛及《数学通报》数学问题中 ,常出现一些高难度的分式不等式的证明问题 .这些问题若用柯西不等式的一个推论 nk =11ak ≥ n2 nk =1ak(ak ∈R+) ,(注 )可巧妙地得以证明 ,而且方法通俗易懂 .注 :( 1 )文中英文字母都是小写的( 2 )字母右下角的数字为下标( 3)字母右上角的数字都是幂指数题 1　设正数a1 ,a2 ,… ,an 之和为S .求证 nk =1akS-ak ≥ nn- 1 (n≥ 2 )( 1 976年英国竞赛题 )证明　 nk=1akS -ak = nk=1( akS -ak + 1 ) -n = nk=1SS -ak-n=S nk=11S -ak-n≥S· n2nS- (a1 +a2 +… +an) -n= n2n- 1 -n…     

一个重要极限多种证法的教学反思

在数学分析教学中,曾经用＂ε-N＂语言证明了数列极限limn→∞n/na=0（a〉1）,但是在许多具体的计算或者证明中又需要将该极限推广到limn→∞nk/an=0（a〉1,k为正整数）,怎样引导高年级学生对推广后的极限进行证明,成为了课堂教学的重点和难点.     

自由随机变量和的凹Φ不等式

设(M,τ)是非交换的概率空间,(xk)nk=1是L0(M)中的一个自由的随机变量序列.设Φ是[0,∞)上递增的凹函数,满足Φ(0)=0.本文主要研究当xk,1 k n是正随机变量时,τΦ(∑nk=1xk)与这个随机变量序列不交和的Φ-距(τ⊕tr)Φ(∑nk=1xk⊕ek)之间的关系.     

二元Bernstein—Durrmeyer算子的若干性质

对于[0,1]上的实值可积函数 f,J.L.Durrmeyer 引进一种新型的 Bernstein 算子M_n(f,x)=(n 1)P_(nk)(x)∫_0~1P_(nk)(t)f(t)dt,其中 P_(nk)(x)=x~k(1-x)~(n-k),其中 P_(nk)(x)=x~k(1-x)~(n-k),这里 0≤x≤1,n=0,1,2,…在文[2]中,M.M.Derriennie 又进一步讨论了它的逼近性质.在本文中,我们把 M.M.Derriennie 的某些结果推广到多元的情形,得到了一系列结果.     

用随机方法证明一类组合恒等式

在组合恒等式∑sk1=0Ck1n1Cs- k1n2 =Csn1+ n2 　　　　 s=0 ,1 ,2 ,… ,n1+n2 ( 1 )的各种证法中 ,最简捷的要数概率方法的证明。恒等式 ( 1 )的一种概率方法证明是 :考虑如下的随机试验 ;设有一批产品 ,其中 n1件是次品 ,n2 件是正品 ,现从中随机地取 s件 ,则这 s件中的次品数“ξ=k”的概率是 P(ξ=k) =Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2由于在 S件产品中次品数可能是 0 ,1 ,2 ,… ,s。共 s+1种 ,它们彼此互不相容 ,且这 ( s+1 )个事件之并为必然事件 ,故有∑sk1=0p(ξ =k) =∑sk1=0Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2=1　　　　　即 ( 1 )得证　　由等式 ( 1 )…     

一类积式不等式新证

1引言文[1]提出了一个猜想:设xi>0(i=1,2,…,n),且ni=1xi=1,k∈N,则有ni=1(1xi-xi)≥(n-1n)n.文[2],[3],[5]用不同的方法给出了证明.文[5]还给出了一类积式不等式的证明方法,并在文末提出了如下猜想:设ai>0(i=1,2…,n),ni=1ai=1,k∈N,则有∏ni=1(1aik-aik)≥(nk-1nk)n.本文利用     

例谈导数法证明不等式

中学数学引入导数 ,使相应的数学方法、数学工具和数学语言更加丰富 ,应用形式更加灵活多样 .新课程试卷将导数与传统的不等式证明有机结合在一起设问 ,这是一种新颖的命题模式 ,它体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法 .以下介绍几道运用导数方法证明不等式的例题 ,供大家参考 .例 1　 (2 0 0 3年江苏新课程高考试题 )已知 a >0 ,n为正整数 .( )设 y =(x - a) n,证明 :y′=n(x - a) n-1 ;( )设 fn(x) =xn- (x - a) n,对任意 n≥ a,证明 :f′n+1 (n +1) >(n +1) fn′(n) .证明　 ( )因为(x - a) n =∑nk=0Ckn(- a) n-kxk,所…     

待定系数法求自然数幂和

利用待定系数法求∑nk=1km,通过建立一个组合公式,得到了一个确定各级自然数幂和公式系数的方法,并结合Matlab软件加以实现.     

待定系数法求自然数幂和

利用待定系数法求∑nk=1km,通过建立一个组合公式,得到了一个确定各级自然数幂和公式系数的方法,并结合Matlab软件加以实现.     

一类加强不等式的推广

本文给出了 n个正数 x1 ,x2 ,… ,xn 的如下不等式 :∏nk=1( xαk+x-αk )≥ ( Aαn( x) +A-αn ( x) ) n ,每个 xk≤ xα,∏nk=1( xαk+x-αk )≤ ( Aαn( x) +A-αn ( x) ) n ,每个 xk≥ e.其中 α>0 ,xα=[4α2 +1 +2 α]12α ,常数 e=2 .71 81 82 81 8… ,An( x) =1n∑nk=1xk.     

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

两两NQD阵列加权和的收敛性

令{X_(nk)；1≤k≤m_n↑∞,n∈N}为零均值的行两两NQD阵列,{a_(nk)；1≤k≤m_n↑∞,n∈N}为非负(或非正)实数阵列,研究两两NQD阵列加权和S_(nm_n)= (?) a_(nk)X_(nk)的收敛性．     

Strong Convergence for Weighted Sums of Negatively Associated Arrays

Let {Xni} be an array of rowwise negatively associated random variables and Tnk=k∑i=1 i^a Xni for a ≥ -1, Snk =∑｜i｜≤k Ф（i/nη）1/nη Xni for η∈（0,1],where Ф is some function. The author studies necessary and sufficient conditions of ∞∑n=1 AnP（max 1≤k≤n｜Tnk｜〉εBn）〈∞ and ∞∑n=1 CnP（max 0≤k≤mn｜Snk｜〉εDn）〈∞ for all ε 〉 0, where An, Bn, Cn and Dn are some positive constants, mn ∈ N with mn /nη →∞. The results of Lanzinger and Stadtmfiller in 2003 are extended from the i.i.d, case to the case of the negatively associated, not necessarily identically distributed random variables. Also, the result of Pruss in 2003 on independent variables reduces to a special case of the present paper; furthermore, the necessity part of his result is complemented.     

完全多部图的树划分数的直观证明

r-边染色图G的树划分数tr(G)定义为最小的正整数k,使得只要用r种颜色对图G进行边染色,则存在至多k个顶点不交的单色树覆盖图G的所有顶点.K aneko等确定了t2(K(n1,n2,…,nk))的精确表达式.本文给出了该表达式的一个直观证明.     

关于Euler常数的一个不等式

利用Γ函数的对数微商的渐近公式,我们建立了下面双边不等式:12n+∑2p+1k=1(-1)kBk2kn2k<∑nk=11k-lnn-γ<12n+∑2pk=1(-1)kBk2kn2k,这里γ=0.57721566…是Euler常数,Bk(k=1,2,…)是Bernoulli数,p0和n1是整数.     

Symmetric balanced ternary designs with ϱ1 = 1 or 2

Summary We prove the following two non-existence theorems for symmetric balanced ternary designs. If ₁ = 1 and 0 (mod 4) then eitherV = + 1 or 4₂ – + 1 is a square and (4₂ – + 1) divides ² – 1. If ₁ = 2 thenV = ((m + 1)/2) ² + 2,K = (m ² + 7)/4 and = ((m – 1)/2)² + 1 wherem 3 (mod 4). An example belonging to the latter series withV = 18 is constructed.     

A Note on the Difference Equation x n +1 = ∑ i =0 k α i x n − i p i

In this note we improve Theorem 2 in Ref. [3] , about the difference equation x n +1 = ~ i =0 k f i x n m i p i , n =0,1,2,..., where k is a positive integer, f i , p i ] (0, X ) for i =0,..., k , and the initial conditions x m k , x m k +1 ,..., x 0 are arbitrary positive numbers.     

关于Hardy不等式的加强改进

对 Hardy不等式 ,建立如下结构的加强不等式 :∑∞n=11n∑nk=1akp 1 ,an≥ 0 (n∈ N) ,0 <∑∞n=1apn<∞ ,Cp=1 -(1 -p- 1) p- 1,p≥ 2 ;1 -p- 1,1 相似文献   

On a Difference Matrix and Its Properties

In the present paper, a new difference matrix via difference operator D is introduced. Let x =(xk) be a sequence of real numbers, then the difference operator D is defined by D(x)n= ∑nk=0(-1)k(n n-k)xk, where n = 0, 1, 2, 3, ···. Several interesting properties of the new operator D are discussed.