关于有限区间上二次函数的最大(小)值

先看一道问题的解答: 问题:x、y是实数,且满足等式3x~2 2y~2=6x,求x~2 y~2的最大值. 解由3x~2 2y~2=6x,得y~2=-3/2x~2 3x,从而K=x~2 y~2=x~2-3/2x~2 3x=1/2x~2 3x.故由-1/2<0,可知当x=3/2×(-1/2)=3时,有(x~2 y~2)_(max)=4(-1/2)×0-3~2/4(-1/2)=9/2. 这是一道在约束条件下可化为求二次函数最大值的问题.上述解题过程显然是错误的,而这种错误不易被学生所觉察,常常出现在作业中.错误的根源在于没有考虑到“约束条件”,而乱用二次函数y=ax~2 bx c的极值公式来求在有限区间上该函数的     

一道竞赛题的简解

题目试对一切不全为0的实数x,y,z,w,给出代数式(xy+2yz+zw)/(x~2+y~2+z~2+w~2)的一个上界,(你给出的上界越小,你得的分数越高)。 (1985年奥地利和波兰联合数学竞赛题),文中介绍了用爬坡式推理解决这道题的方法。下面我们给出这道题的一个简解: (2~(1/2)+1)x~2+(2~(1/2)-1)y~2≥2xy (1) 2(y~2+z~2)≥4yz (2) (2~(1/2)-1)z~2+(2~(1/2)+1)w~2≥2zw (3)     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

有关圆锥曲线的选择题

1.不论a取任何实数,方程x~2+2y~2sina=1所表示的曲线必不是__。 (A)直线;(B)圆;(C)抛物线;(D)双曲线。 2.曲线C与抛物线y~2=4x-3关于直线y=x对称,则C的方程是__。 (A)x~2=4y-3;(B)y=4x~2-3; (C)x=3y~3-3;(D)x=1/4(y~2+3)。 3.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y~2=2x的焦点,P点在抛物线上移动,若|PA|+|PF|取最小值,则点P的坐标是 (A)(0,0);(B)(1/2,1); (C)(1,1);(D)(2,2)。 4.方程y=|1-x~2|~1/2的图象是__。     

换元法在证明代数等式中的应用

在证明代数恒等式时,适当地运用换元法进行变量置换,有时能使思路清晰过程简捷,现举例说明於下。一、通过换元,把多项式的项数减少或次数降低,可简化证明过程。例1,求证(1 x x~2 x~3)~2-x~3=(x~2 x 1)(x~4 x~3 x~2 x 1) (证明)设1 x x~2=y,则左边=(y x~3)~2-x~3=y~2 2x~3y x~6-x~3 =y~2 2x~3y x~3(x~3-1)=y~2 2x~3y x~3(x-1)(x~2 x 1) =y~2 2x~3y x~3(x-1)y =y(y 2x~3 x~4-x~3) =y(y x~3 x~4)=(1 x x~2)(1 x x~2 x~3 x~4) =右边。例2。求证x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2     

因式分解方法小议

因式分解是中学数学中重要的基础知识之一,特别是初中阶段,重视因式分解的教学是很有意义的。因式分解也是一种比较复杂的问题,解题千变万化。本文想就这一问题发表一些意见,下面所讨论的问题均是在有理数集合中考虑的,并且只讲除常见的提取公因式法,应用公式法,十字相乘法,分组分解法以外的方法。一一元二次方程求根公式法例1 分解因式6x~2-7xy-3y~2-x+7y-2 解令6x~2-7xy-3y~2-x+7y-2=0。按x求出二根:x_1=(3y-1)/2,x_2=(-y+2)/3 得原式=6(x-(3y-1)/2)(x-(-y+2)/3) =(2x-3y+1)(3x+y-2)。这个方法分解的步骤是:     

对学生解题中五种病例的剖析

学生在平时的数学作业及考试中,常会产生各种错误.本文通过对学生在解題思维过程中常见的五种病例作一些剖析,并初步探索在教学中如何防止思维错误、提高解题能力的途径. 一、概念混淆的病例例1 已知直线{x=2-t/2 y=-1 t/2(t为参数)与圆:x~2 y~2=4交于B、C两点,求这两个交点到A(2,-1)的距离之积和线段BC的长.     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

问题与解答

一、本期问题 1 已知x~2-y~2-z~2=0,试将x~3-y~3-z~3分解为一次因式的积。 2 求证(3+7~(1/2))~n的整数部分是奇数。 3 已知x~2+y~2≤1,(x、y∈R)试证5-2~(1/2)≤u(x,y)=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7 宜昌市一中叶家振提供 4 解方程     

一类方程的几何解法

本刊1983年2期问题征解1说的是求解方程(x~2+y~2)~(1/2)+((2-x)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(2-y)~2)~(1/2)+((2-x)~2+(2-y)~2)~(1/2)=42~(1/2)。对此,我们讨论下列问题。问题一求下列各方程的实数解1. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-m)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-m)~2)~(1/2) +((x-m)~2+(y-m)~2)~(1/2)=2(2~(1/2))|m|;2. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-b)~2)~(1/2) +((x-a)~2+(y-b)~2)~(1/2)=2(a~2+b~2)~(1/2);3. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+ ((x-b)~2+(y-c)~2)~(1/2)+((x-a-c)~2+(y-c)~2)~(1/2) =((a-b)~2+c~2)~(1/2)+((a+b)~2+c~2)~(1/2)(m、a、b、c均为非零常数,且a(?)b) 不难发现方程左边表示几个距离的和,这就     

用三角函数定义解题

同角三角恒等式的证明及三角式的化简,人们往往习惯于利用同角的八个关系式解决,须知,利用三角函数的定义式,将这类三角问题转化为代数问题,不仅使人感到思路简捷、自然,而且有利于加深对三角函效概念的理解,增强运用定义解题的意识,培养灵活解题的能力。例1 求证(1-sin~2A)(sec~2A-1)=sin~2A(csc~2A-ctg~2A) 证明由三角函数定义,设sinA=y/r,secA=r/x,cscA=r/y,ctgA=x/y,且有x~2 y~2=r~2 则左边=(1-y~2/r~2)(r~2/x~2-1)=x~2/r~2·y~2/x~2=y~2/r~2 右边=y~2/r~2(r~2/y~2-x~2/y~2)=y~2/r~2 ∴左边=右边故原等式成立。例2 化简seca(1 tg~2a)~(1/2) tga(csc~2a-1)~(1/2)(其中     

运用联想证题一例

题目:设x、y∈R。求证(3x~2 3y~2-48x-18y 219)~(1/2) (3x~2 3y~2-12x 30y 87)~(1/2)>9 3~(1/2)。 本题条件单一,结论复杂。如果应用证明不等式的一般方法难以奏效。审察题目的表现形式,看不出有何特点。因此,可将题目的结论进行等价变形。     

妙求值域一例

题目求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.解y-x=(x~2 x 1)~(1/2) =((x 1/2)~2 3/4)~(1/2)≥3~(1/2)/2.又(y-x)~2=x~2 x 1(?)x=(y~2-1)/(2y 1),     

从(x±1)(x~2±x+1)=x~3±1谈起

乘法公式中有 (x+1)(x~2-x+1)=x~3+1,(x-1)(x~2+x+1)=x~3-1。等式两边互换,就得到因式分解 x~3+1=(x+1)(x~2-x+1),x~3-1=(x-1)(x~2+x+1)。进而有 x~4+1=(x+1)(x~3-x~2+x-1),x~4-1=(x-1)(x~3+x~2+x+1)。推广这些公式,可以得到定理1 (1)对任意正整数n,有 x~n-1=(x-1)(x~(n-1)+x~(n-2)+…+x+1)     

一类三次系统的极限环

本文讨论了一类三次系统 x=-y(1-αx~2)+δx-ιx~3,y=x(1-βx~2)和 x=-y(1-ax)(1-bx)+δx-ιx~3,y=x(1-cx)(1-bx)的极限环问题。     

由两数差的平方公式引伸出来的一些重要不等式——中学数学课外活动资料

初中学生即知(a-b)~2=a~2-2ab b~2,且(a-b)~2≥0(a、b为实数),从而得出 ab≤(a~2 b~2)/2很多重要的不等式,都可由(A)得出。 在(A)中令a=x~(1/2)(x>0),b=y~(1/2)(y>0),得     

构作棱锥解题两例

例1 x,y,z∈R~+,求证 ((x~2+y~2-2~(1/2)xy)~(1/2)+(y~2+z~2-yz)~(1/2) >((z~2+x~2-3~(1/2)zx)~(1/2) 证根据题目中的交叉项系数2~(1/2),1,3~(1/2)等效字特征,联想到余弦定理,而构作一     

求函数极值时值得注意的两点

判别式法和换元法,是求函数极值时常用的初等方法,解题过程中,往往由于忽视基本理论知识而导致错误。这里仅以求函数y=x+4+(5-x~2)~(1/2)的极值为例来阐明解题过程中应注意的两个问题。用判别式法求上述函数的极值时,先变形为y-x-4=(5-x~2)~(1/2),再两边平方整理,得 2x~2+(8-2y)x+(y~2-8y+11)=0 因为x为实数,所以其判别式△=4(4-y)~2-8(y~2-8y+11)≥0 (*) 即 y~2-8y+6≤0 解之,得 4-10~(1/2)≤y≤4+10~(1/2)。假若至此就得出 y_(maX)=4+10~(1/2),y_(mlx)=4-10~(1/2)。那将是错误的,因为事实上应为4-10~(1/2)0或△=0,并非要求两者同时成立,其次由(*)成立,并不能逆推出上一式的成立。因     

对一道高考数学试题的评析

一九九0年全国普通高等学校招生统一考试,数学试题的理科选择题(10)和文科填空题(20)是内容相同的一道题。现抄录如下: “如果实数x,y满足等式(x-2)~2 y~2=3,那么y/x 的最大值是( )(A)1/2(B)3~(1/2)/3(C)3~(1/2)/2(D)3~(1/2)(理科10) “如果实数x,y满足等式(x-2)~2 y~2=3,那么y/x的最大值是___”(文科20) 由于这道题在文理科试卷中设问角度和题型有差异,因而难度层次差别很大。在文科试卷中既要求考生了解y/x的意义,还必需掌握y/x的求法以及当x为何值时取得最大值.这样,鉴于“圆锥曲线的切线问     

值域内取不到的函数值

现行的参考书和许多数学刊物,都不时出现求值域的一种方法——根据反函数的定义域求原函数的值域,即:要求y=f(x)的值域,可先求出y=f~(-1)(x),y=f~(-1)(x)的定义域即为y=f(x)的值域。例求函数y=x+6(x-9)~(1/2)-1的值域。解 y=((x-9)~(1/2))~2+2·3·(x-9)~(1/2)+3~2-1=((x-9~(1/2))+3)~2-1 ∴ (y+1)~(1/2)=(x-9)~(1/2)+3, (x-9)~(1/2)=(y+1)~(1/2)-3,x=y-6(y+1)~(1/2)+19。所给函数的反函数为y=x-6(x+1)~(1/2)+19。其定义域[-1,+∞)即为所求值域。