关于N≡3(mod 4)的最优秤重設計

1.引言我们假定用无偏离的天平去秤量N个个体的组合N次,并且假定Y=X_(Nω)+ε,秩(X_N)=N,E(Y)=X_(Nω),■_Y=σ~2I_N, (1.1)其中E(Y)与■_Y分别是Y的均值和协方差矩阵.我俩知道N×N的矩阵X_N=(x_(ij))是设计矩阵,其中元素x_(ij)是1,若第i个个体在第i次秤量组合时放在天平的左边托盘内;或是一1,若第i个个体在第i次秤量组合时放在关平的右边托盘内;或是0,若在第i次秤量组合中不秤量第i个个体.     

不对号入座问题的一个递推公式

在高中数学排列组合问题中,有一类不对 号入座问题,其讨论解法相当复杂.例如:现有 1、2、3、4、5五个编了号的小球和五个编了号的 小箱.现要将五个球放入五个箱中,且1号球不 能放在1号箱中,2号球不能放在2号箱中 ……5号球不能放在5号箱中,每个箱中只能 放一个小球.问有多少种不同解法?答案是44     

一道概率题的拓展与证明

问题1设有标号为1,2,3的三个盒子和标号为1,2,3的三个小球,将这三个小球任意地放入这三个盒子,每个盒子放一个小球．若j（j=1,2,3）号球放入j号盒子,则称该球放对了,否则称放错了．搴表示放对了的球的个数,求ξ的数学期望．     

几道内切外切球的典型例题

例题1 四个半径为R的球两两外切,其中三个球放在水平桌面上,第四个球放在这三个球之上,在这四个球的中央放一个最大的小球,求这个小球的半径。分析五个球的相互位置是十分对称的图形,因此不必作球,只要联结所有的球心考虑.     

例说与其它学科密切相关的数学问题

随着高考综合科目的确定 ,与各学科联系的试题将不断出现 ,作为工具性学科的数学 ,与理化生及日常生活更是息息相关 ,因此若能将理化生知识与数学知识结合讲解、训练 ,一方面使学生深刻理解数学知识 ,更重要的是使学生在应用中产生对数学的浓厚兴趣 ,促使数学成绩的提高 .一、与物理知识密切相关的数学问题【例 1】　使一原来带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触 ,分开后小球获得电量q,今使小球与大球反复接触 ,在每次分开后 ,都给大球补充电荷 ,使其带电量恢复为Q ,求小球能获得的最大电量 .解 :小球与大球接触后 ,两球所带电量之…     

关于“天平”数列的构造——梅齐里亚克问题研究

法国数学家梅齐里亚克１６２４年出版的《组合数学游戏》一书中,有一则问题：一个商人有一个４０磅的砝码,由于跌落在地面而碎成４块．后来,称得每块碎片都恰是整数磅,并可用这４块来称从１到４０磅之间的任意整数磅的重物．问各块碎片的重量．提供的解法是：例如有一系列砝码Ａ、Ｂ、Ｃ,…把它们适当地分放在天平两个托盘上,能称出１至ｎ所有整数磅重物．设有一块砝码,它的重量ｐ（磅）超过原有砝码的总和,其超过量为ｎ＋１磅,即　ｐ－ｎ＝ｎ＋１,则　ｐ＝２ｎ＋１,那么,原来所有砝码,再加ｐ所组成的砝码组,便能称出从１到ｐ…     

组合问题的两个模型

有些组合问题 ,如果研究的元素数目较小 ,用加法原理和乘法原理是可以求得结果的 ;如果元素较多 ,则较为困难 ,因此必须构建模型 ,才能较快地解决 .例 1　现有 10个相同的小球和编号分别为 1、2、3的三只盒子 ,要求每只盒子所放的球数不少于它的编号数 ,共有多少种不同的放法 ?解　首先在各盒子中分别放入与其编号数相同个数的球 ,共用去 6个 ,还有 4个小球可以分为以下四组 (0 ,0 ,4)、(0 ,1,3)、(0 ,2 ,2 )、(1,1,2 ) ,由加法原理得不同的放法有C1 3 +P33 +C1 3 +C1 3 =15种 .变题　例 1中若将 10个小球改为 10 0个小球 ,其它条件不变 ,…     

小球何时能坠到杯底

这是一个有趣、颇具启发性的话题.一次自己在教学中这么问学生:“一个半球面状的酒杯,内部半径为R,放入一个半径不大于R的球,毫无疑问,球可坠到杯底.但若取一个内部为某圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)施转面的酒杯,杯口足够大,小球何以能坠底?”,学生们议论纷纷,但一时无以对答,我又具体给出小球半径若等于圆锥面焦点到相应顶点的距离时小球能坠底吗?经计算、考虑后,有的同学说能,有的说不能.我请了几位同学说一说理由,说不能的同学举了抛物面的例子,如旋成抛物面的抛物线方程为y2=2px(p>0),若小球能坠入杯底,相应小球被抛物线的面截成的…     

构造不定方程模型巧解几类组合问题

本文探究不定方程模型在几类组合问题中的简单应用,不定方程模型有下面两种情形.模型1不定方程x1 x2 … xm=n(其中m,n∈N ,且m≤n)有Cnm--11组正整数解.证明将n个相同小球排成一排,从球与球之间形成的n-1个空隙中,插入m-1个隔板,则把这n个小球分成m份,规定由隔板分成的从左至右     

排序问题

写些短文的动机是想用一个更浅显的例子(跟组合群试比较 )解释“优化问题”中的组合概率论方法 ,包括不确定性的数量刻画、信息下界等概念 ,顺便纠正组合群试一文中的打印错误 .问题的提法 :ｎ个重量互不相同的球 ,通过在天平上比较可以确定两个球谁轻谁重 ,问立足于最坏可能 ,把它们按从最轻到最重的次序排列出来 ,需要使用几次天平 ?一个完整的方案遇到不同的中间结果 ,所需要使用天平的次数可能是不同的 ,但我们只关注这个方案遇到最倒霉的情形所需要的使用天平的(最大 )次数 .两个不同的方案 ,当然是那个这一(最大 )次数小的方案好 .问…     

例谈分球入箱问题的解法

将n个球放入k个箱子中,有多少种不同的放法?此类问题我们称之为分球入箱问题。它含有多种情形：n个球是否相同?k个箱子有无差异?箱子允许空否?解决此类问题的关键是分辨在什么情况下与顺序有关,在什么情况下与顺序无关。现举例说明如下。例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中。 (1)每个箱子中至少有一个小球(箱子不空)有多少种不同的放法? (2)若箱子允许空又有多少种不同的放法? 分析箱子相同时不需考虑箱子的顺序,球相同也无需考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的多少。可用穷举法求解。解 (1)箱子不空有3种放法：     

利用多面体解多球相切问题

多球相切问题在各类竞赛中经常出现 ,但由于作图复杂 ,给分析解决问题带来困难 .如果能透过现象 ,抓住问题的本质 ,将其转化为多面体问题 ,常能顺利解决 ,请看以下几例 .例 1　 (2 0 0 2年“希望杯”试题 )将 3个半径为 1的球和一个半径为 2 -1的球叠为两层放在桌面上 ,上层只放一个较小的球 ,四个球两两相切 ,那么上层小球的最高点到桌面的距离是 (　　 ) .(Ａ) 3 2 + 63 　　 (Ｂ) 3 + 2 63(Ｃ) 2 + 2 63 　　 (Ｄ) 2 2 + 63分析　两球相外切时 ,球心连线通过切点 ,球心距等于两球半径之和 .不妨设下层三个大球球心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,…     

方程x_1 x_2 … x_m=n的正整数解的个数及其应用

在近几年的高考试题中,出现了可化为求方程x1 x2 … xm=n(m,n∈N ,m≤n)的正整数解的个数的问题,下面就这个问题谈几点看法,供大家参考.上述正整数解的个数问题可以转化为下列数学模型:把n个相同的小球排成一行,请将这一行n个球分成m段,每一段至少一个小球,有几种分法?解因为将     

数学知识在物理学习中的应用

你注意到了吗?物理学习中要用到许多数学知识,请看下面一些例题.例1现有一不等臂天平,物体放在左盘称,质量为0.4kg,放在右盘称,得质量为0.9kg,那么该物体的真实质量为多少?     

错号排列的又一个公式

问题：有编号为1，2，...，n的n个小球，将其装人编号为1，2，...，n的n个盘中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种．邓廷元老师在文[1]中给出了这类"一对一错号排列"问题的公式解法该公式是用排除法得到的，并且文[1]中指出，n的值增大后，仍用常规法解，难度将随之增大，事实上，不论n的值多大，都可用常规法解，且难度并不大。设SR为一对一错号排列时K个小球装入K个盒子的不同装法种数．按题设要求把n个小球装入n个盒子可分两步完成：（Ⅰ）给编号为1的盒子装球，有种装法（Ⅱ）给其它n－1个盒子装球，若1号…     

排列组合中的分组问题

排列组合一章的习题中,常常涉及到对元素进行分组的问题.题目有对相同元素分组和对不同元素分组,有组的位置确定和不确定多种情况,学生弄不清这些题目的区别和联系,解答时很容易重复或者遗漏.本文编拟口诀并举例介绍巧妙解决分组问题的方法.1相同元素的分组问题(口诀:同元分组用挡板)例1将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的放法有多少种?解本题是将12个球分成四组,每组必须有球的问题.将12个球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中任意选出3个插入挡板,把球分成4组,例如○○○|○○○○|○○|○○○…     

阿拉丁神灯

阿拉丁平衡天平 从前,有一个叫做阿拉丁的少年,是裁缝穆司塔发的独生子.老俩口一心一意盼着儿子学缝纫,阿拉丁却贪玩成性,从不愿意呆在缝纫机前. 一天,阿拉丁碰见了一个自称是他叔叔的法师,就央求他说:"好叔叔,你带我到外面见见世面吧!"法师说:"行啊,不过外面的世界很复杂,没有一点能力就会四处碰壁的.让我来考考你吧!"阿拉丁说:"只要你能带我远走高飞,让我做什么都行!"法师立刻变出一架天平,一个装满水的容器和一个重物.他把容器和重物分别放在天平的两端,使之保持平衡,然后对阿拉丁说:"把重物移到左端,浸入容器的水里,如果天平还能保持平衡,右端应该放上多重的物体呢?"阿拉丁不解地问:"可是你并没有说水有多重,重物有多重呀!""你问得很有道理.你只要回答出右端的物体是现有物体重量的多少倍就行了."     

巧构几何体速解多球相切题

多球相切问题在高考和各类数学竞赛中经常出现,但由于学生对这类问题的感性认识比较少,因此在脑子中难以想象出题目的立体模型画出直观图,这样给分析问题解决问题带来困难,如果能透过现象,抓住问题的本质,巧构几何体画出直观图,常常能使问题得到快速解决,如何来构造几何体画出直观图呢?下面举例说明,供参考.1用“剥皮”法构造几何体画出直观图对半径相同的多球两两相切并与外面一个几何体相切的组合问题,根据多个相同半径的小球与外面几何体相切的特点,只要把外面的几何体向内收缩一个小球半径长,画出直观图,从而能使问题得到巧解.此法好像…     

摸球问题 有型可循

<正>在古典概率问题中,有一类物品抽取问题,其概率的计算较为困难,如抽签、随机取数、次品抽取等.但如果能建立某种模型,将要解决的概率问题通过适当的转化,让它适用于该模型,往往能使问题更清楚,更容易看出问题本质.引例 一个袋子内有6个大小一样的小球,其中4个是黑球,2个是白球.(1)从中任意取出3个球,求既有黑球又有白球的概率;(2)从中不放回地依次取出3个球,求第三次摸到白球的概率;(3)从中有放回地依次取出3个球,     

一个砝码问题的数学证明

1　砝码问题　有一家村店 ,店里有一架天平 ,四个砝码 ,店主人夸口说 :用这四个砝码 ,我能称出所有从 1两到 4斤的物品 .村里人不信 ,有人报了几个数字 :1斤 2两、3斤 8两、7两、2斤6两… ,店主人一一把这些重量的物品称了出来 ,没人能难住他 .那么 ,这四只砝码本身分别有多少重呢 ?2　问题的解答　这四个砝码的重量分别是 1两、3两、9两、2斤 7两 ,并且是唯一的 .3　数学模型的建立　下面构造此类问题的数学模型 .设Ａ为 -ｎ个自然数的数列 :ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｉ,… ,ａｎ;ａｉ 为Ａ的一般项 .设Ｂ为一整数有限集 ,元素个数为ｍ .我们用…