三割线定理的一个新证及其推广

一、三割线定理如图1,PAB、PCD、PEF为⊙O的三条割线,其中割线PEF经过弦AD和BC的交点G,则1/PE+1/PF=2/PG.我们先证明如下引理:如图2,△ABC和△XYZ内接于⊙O,则△ABC/△XYZ=     

向量共线定理的几个推论及其应用

人教版《数学》(必修)第一册(下)P_(115)面介绍了一个定理:向量b与非零向量a共线(?)有且仅有一个实数λ,使b=λa。谓之向量共线定理。以它为基础,可以衍生出一系列的推论,而这些推论在解决一些几何问题(诸如三点共线三线共点等)时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。     

证明三点共线的方法

高中数学新教材 (数学 )第一册 (下 )第111页有一例题 5 :已知A( -1,-1) ,B ( 1,3 ) ,C( 2 ,5 ) ,求证 :A ,B ,C三点共线 .这是一道证明三点共线的典型例题 ,笔者经过这一章的系统学习后发现 ,此类问题至少存在如下四种典型的证法 .证明方法 1:∵AB =( 2 ,4) ,AC =( 3 ,6) ,∴AC =3 ( 1,2 ) ,AB =2 ( 1,2 ) ,从而AB=23 AC ,故AB∥AC .而直线AB ,AC有公共点A ,∴A ,B ,C三点共线 .注　此种证法的关键是寻找实数λ ,使AB =λAC .方法 2 :∵AB =( 2 ,4) ,AC =( 3 ,6) ,而2× 6-4× 3 =0 ,∴AB∥AC ,而AB与AC有公共点 ,∴A ,…     

巴卜斯定理的向量证法与六点共线问题

1　引言和预备知识向量是非常有用的一个数学工具 .它把许多几何学问题的研究从定性深入到定量 ,能够充分体现数学教学中的数形结合思想 .向量解决共线问题相当方便直接 ,它是解决共线问题的一种新途径 ,让人耳目一新 .本文用向量代数的方法证明了喻为古希腊几何的天鹅之歌的巴卜斯定理和给出了六点共线的一个充要条件 .引理 1　 (三点共线的充要条件 )设ａ =ＯＡ ,ｂ =ＯＢ ,ｃ =ＯＣ ,则Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点共线的充分必要条件是存在不全为零的实数α,β,γ ,满足方程组 :αａ+βｂ+γｃ=0 ,α +β+γ=0图 1引理 2　如图 (1 )所示 ,ａ=ＯＡ ,ｂ…     

借助三点共线定理解决向量中的双参数问题

对于向量中的双参数问题,如果借助三点共线定理来解决,往往能起到化繁为简的作用,并且体现出问题的本质,本文介绍三点共线定理及其在双参数问题中的应用.     

割线斜率取值范围问题再探究

在研究曲线割线的斜率取值范围的过程中,发现导函数的取值范围与割线斜率的取值范围之间存在密切的联系.本文通过两个具体问题的探究,得到了两者之间关系的两个有效结论.     

数学问题解答

2011年1月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1891在对边乘积相等的圆内接凸四边形AB-CD中,M为对角线BD的中点,T为劣弧BC上一点,则A、M、T三点共线的充要条件是CT//DB.     

三角形三顶点坐标定理

将△ＡＢＣ三内角及它们所对的边长 ,外接圆半径 ,内切圆半径分别记为Ａ、Ｂ、Ｃ ,ａ、ｂ、ｃ,Ｒ、ｒ并约定ｘ =ｃｔｇ Ａ2 ,ｙ =ｃｔｇ Ｂ2 ,ｚ =ｃｔｇ Ｃ2 ,那么　　ｘ ｙ ｚ=ｘ·ｙ·ｚ,(1 )　　ｒ=4Ｒｘｙ ｙｚ ｚｘ- 1 . (2 )如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,Ｉ是它的内心 ,ＩＯ ⊥ＢＣ ,垂足为Ｏ点 .以Ｏ为原点 ,ＢＣ(对直角三角形 ,ＢＣ是直角三角形的斜边 )所在直线作为横轴Ｘ ,ＯＩ所在直线作为纵轴Ｙ ,这样建立的平面直角坐标系称为特定平面直角坐标系 .本文在特定平面直角坐标系中 ,介绍用ｒ,ｘ ,ｙ ,ｚ表示△ＡＢＣ三顶点的坐标 .定理…     

再论圆周向量定积定理

文[1]中提出了“圆周向量定积定理”:设⊙C的半径为R,其同心⊙C′的半径为R′,R>R′,M是⊙C上的动点,AB是⊙C′的任一直径(如图)1),那么MA·MB=R2-R′2.文[2]将该定理改进为:设AB是半径为R的⊙O上的两点,M是平面上任意一点,如果AB是⊙O的直径,则MA·MB=MO2-R2.本文主要讨论该定理的逆定理是否成立,即:AB是半径为R的⊙O上的两点,M是平面上任意一点,如果MA·MB=MO2-R2,则AB是否一定是⊙O的直径呢?分析当M与A点或B点重合时,由于“MA·MB=MO2-R2”是一个恒等式,故AB一定是⊙O的直径.当M与A点及B点都不重合时,我们分M…     

梅涅劳斯定理的推广

在同一直线上的许多点称为共线点,或称这些点共线．研究多点共线问题可转化为研究三点共线问题,而证明三点共线最常用的方法就是利用三角形的梅涅劳斯定理．本文旨在将三角形的梅涅劳斯定理推广为多边形的梅涅劳斯定理．     

Ceva定理与Menelaus定理的逆定理的推广

Ceva定理:O为△ABC内一点,直线AO、BO、CO分别与BC、CA、AB交于D、E、F,则AFFB·BDDC·CEEA=1.注:AF FB是指有向线段AF的数量与有向线段FB的数量之比,下同.其逆定理是:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上一点,若AFFB·BDDC·CEEA=1,则直线AD、BE、CF三线共点.显然,若AFFB·BDDC·CEEA≠1,则直线AD、BE、CF三线     

三点共线的向量表示及其应用

三点共线是几何学研究的热点问题,在平面几何里,可以利用梅涅劳斯定理证明;在解析几何里,可以利用任意两点的斜率相等（斜率存在）证明;在立体几何里,可以利用公理2（若两平面有一个公共点相交,则他们有且仅有一条通过该点的公共直线）加以证明,足见三点共线问题在几何学中的地位.     

张角定理及其应用

<正>一、张角定理设A、C、B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA、PC、PB上的点,线段AC、CB对点P的张角分别为a、β,且a+β<180°,则A、C、B三点共线的充要条件是:(sin(a+β))/(PC)=(sinα)/(PB)+(sinβ)/(PA).     

从结论的特征入手 联想作辅助线

<正>学习数学离不开解题,通过解题培养分析问题、解决问题的能力.然而,不少同学遇到复杂问题需要作辅助线时,常不知从何入手,找不到解题途径,本文将举例说明线段a=b+c,射影定理、相交弦定理、割线定理结构及2倍线段关系联想作辅助线的方法,供同学们参考.例1如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,求证:BC+CD=AC.     

三谈相交两圆的性质及应用

本文再给出相交两圆的几条性质及应用的例子.性质1两圆⊙O_1与⊙O_2相交于P,Q两点,△PO_1O_2的外接圆分别交⊙O_1于R,交⊙O_2于S,则点Q为△PRS的内心或旁心.证明如图1(1),由∠PRQ=1/2∠PO_1Q=∠PO_1O_2及∠PO_1O_2=∠PRO_2,有∠PRQ=∠PRO_2,即知R,Q,O_2三点共线.     

非线性二阶三点边值问题正解的一个存在定理

利用锥拉伸与锥压缩型的Krasnosel’skii不动点定理建立了非线性二阶三点边值问题的一个正解存在定理.     

由相交弦定理、切(割)线定理想到的

大家知道,平面几何中有如下定理:1.相交弦定理过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两条线段长的乘积相等.2.切割线定理从圆外一点向圆引切线和任一割线,切线长的平方等于割线与它在圆外部分的乘积.     

平面向量三点共线定理的一个推论及其应用

中对三角形“四心”的向量统一形式从坐标法的角度给出了证明，笔者读后深受启发．经过探究，笔者发现还可以从面积法的角度证明三角形重心和内心的向量形式．