Dominant critical eigenfunction and Neumann series convergence for inhomogeneous slabs and spheres in integral neutron transport

Summary In this paper many properties of the solutions of the monoenergetic neutron transport stationary integral equation are investigated for slabs and spheres in which the macroscopic cross sections depend on the position and the scattering is isotropic. Such an equation in spherical geometry is derived from the third form of the Boltzmann equation. It is proved that in the Hilbert space L₂ the kernels, though asymmetric and discontinuous, are bounded and continuous in the mean and the associated integral operators are of finite double norm. This implies the boundedness and continuity of the total fluxes and the existence of a dominant positive eigenfunction, which represents the critical total flux. Finally the connection between the existence of the dominant eigenfunction and the convergence both in the mean and point-wise uniform and absolute of the Neumann series in all subcritical cases is shown.

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Sommario In questo lavoro vengono esaminate molte proprietà delle soluzioni dell'equazione integrale del trasporto stazionaria per neutroni monoenergetici nel caso di lastre piane e sfere, in cui le sezioni d'urto macroscopiche dipendono dalla posizione e lo scattering è isotropo. Tale equazione in geometria sferica è ricavata dalla terza forma dell'equazione di Boltzmann. Si prova che nello spazio di Hilbert L₂ i kernel, pur essendo asimmetrici e discontinui, sono limitati e continui in media e gli operatori integrali ad essi associati sono di doppia norma finita. Ciò implica la limitatezza e continuità dei flussi totali e l'esistenza di una auto funzione dominante positiva che rappresenta il flusso totale critico. Viene infine mostrata la connessione tra l'esistenza dell'auto funzione dominante e la convergenza sia in media che punto per punto uniforme ed assoluta della serie di Neumann in tutti i casi sottocritici.

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Work performed under C.N.R. contract.     

Strict solution of a nonlinear particle transport problem

Summary We show that an evolution problem arising from particle transport with quadratic nonlinearities has a unique positive strict solution in the Banach space UCB.

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Sommario Facendo uso della teoria dei semigruppi si prova che un problema di trasporto di particelle con non-linearità quadratiche ha un'unica soluzione forte nello spazio di Banach UCB.

     

Boundedness,continuity, positivity and dominance of the solution of the neutron boltzmann equation

Summary In this paper the behavior of the solution of the integral form of the neutron transport Boltzmann equation is investigated for slab and sphere geometry. The study of the properties of the integral transport operator K leads to interesting results concerning the following subjects: boundedness, continuity and positivity of the total flux; existence of a dominant critical eigenfunction; spectral properties of K; dependence of the critical eigenvalue on the dimensions of slab and sphere; uniform convergence of the Neumann series in subcritical conditions; approach to the criticality; summability of the solutions and neutron conservation.

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Sommario In questo lavoro viene esaminato il comportamento della soluzione della forma integrale dell'equazione di Boltzmann del trasporto dei neutroni nel caso di una lastra piana e di una sfera. Lo studio delle proprietà dell'operatore integrale del trasporto K porta ad interessanti risultati riguardanti i seguenti argomenti: limitatezza, continuità e positività del flusso totale; esistenza di una autofunzione dominante critica; proprietà spettrali di K; dipendenza dell'autovalore critico dalle dimensioni della lastra piana e della sfera; convergenza uniforme della serie di Neumann in condizioni sottocritiche; avvicinamento alla criticità; sommabilità delle soluzioni e conservazione dei neutroni.

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Work performed under contract C.N.R.     

Solution to the boltzmann equation for monoenergetic neutrons in a slab

Summary This paper presents a physical solution to the linear integro-differential Boltzmann equation, which governs the stationary distribution of the flux of monoenergetic neutrons in the interior and at the boundary of an infinite slab of finite thickness. Results for both the angular and the total fluxes are obtained by properly accounting for the boundary conditions of the problem and by a Fourier transform of the original Boltzmann equation. An integral linear Fredholm equation for the Fourier transform of the total flux is thus derived. The solution of such an equation is given two different representations according to the two decompositions devised for the given Fredholm kernel. The solution obtained in each case is finally inverted termwise to yield the sought total flux in the original space. The result for the angular flux follows, then, directly from the result for the total flux.

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Sommario In questa nota viene costruita una soluzione fisica dell'equazione integro-differenziale lineare di Boltzmann, che, in regime stazionario, regola la distribuzione del flusso di neutroni monoenergetici all'interno di una lastra piana di spessore finito. Risultati per la distribuzione sia del flusso angolare che totale vengono ottenuti tramite una trasformazione di Fourier dell'equazione integro-differenziale di partenza, in cui le condizioni al contorno del problema vengono opportunamente incorporate. Si perviene in tal modo ad una equazione integrale lineare di Fredholm per la trasformata di Fourier del flusso totale. Della soluzione di questa equazione vengono date due diverse rappresentazioni, che corrispondono a due possibili decomposizioni del nucleo dell'equazione stessa. In ciascuno dei due casi la soluzione ottenuta viene quindi antitrasformata termine a termine per riprodurre il flusso totale nello spazio originale. Dal risultato per il flusso totale segue poi direttamente quello del flusso angolare.

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Work performed under contract C.N.R.     

Integral form of the Boltzmann equation for the forced diffusion of charged particles in anisotropically scattering media

Summary According to a recently proposed integral formulation of the Boltzmann equation for test particles in an external force field, the present paper shows how it is actually possible to reduce the original transport problem to the solution of a system of linear integral equations in one variable for a wide and physically meaningful class of interaction laws between test particles and host medium. The feasibility study deals mainly with anisotropic scattering, and provides the kernels of the final integral system to be solved. The explicit analytic form of such kernels has been explicitly worked out for some interaction models of particular interest.

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Sommario Sulla base di una recente formulazione della teoria del trasporto di particelle in presenza di una forza esterna, il presente lavoro mostra come il problema considerato sia riconducibile, per varie e significative leggi di interazione tra le particelle e il mezzo in cui diffondono, a un sistema di equazioni integrali lineari in una variabile indipendente. Viene studiato soprattutto lo scattering anisotropo, e sono ricavati in forma esplicita i kernel del sistema integrale per alcuni modelli di interazione di maggiore interesse.

     

On the stability of the solutions to an integral evolution equation of the non linear particle transport theory

Summary In this paper we study the stability, with respect to the initial data, of the solutions to a non linear integral equation arising in particles transport theory.

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Sommario In questo lavoro si prova la stabilità, rispetto ai dati iniziali, delle soluzioni di un'equazione integrale non lineare che si incontra in teoria del trasporto di particelle.

     

Transients of current density in linear particle transport theory

Summary Transients of current density, that follow sudden variations of both electric and magnetic fields as applied to a mixture of two different species of particles, are studied via an application of the linear integral transport equation.

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Sommario Sulla base di una esplicita applicazione dell'equazione integrale lineare del trasporto si studiano transienti di densità di corrente, che seguono brusche variazioni di campo elettrico e magnetico agenti su una miscela di due differenti specie di particelle.

     

Energy and radiation transfer in a finite convex body with general boundary conditions

Summary We consider a nonlinear system of equations describing the interaction of radiation with matter through a balance of the specific intensity of radiation and the specific internal energy in a convex bounded body.The boundary conditions are not homogeneous. However, suitable additive decompositions of the unknown functions lead to systems with homogeneous boundary conditions and known source terms. We give two such decompositions: one of these, suggested by physical considerations, arises from the study of a nonhomogeneous linear integral equation in a convenient Banach space. The system is studied by using the theory of semigroups of linear operators and nonlinear perturbations in an L ₁ setting. We prove the existence and uniqueness of a positive differentiable solution, which is global in time.

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Sommario Si considera un sistema non lineare di equazioni che descrivono l'interazione della radiazione con la materia e rappresentano il bilancio dell'intensità specifica di radiazione e dell'energia specifica internu in un mezzo finito convesso. Le condizioni al contorno sono di tipo generale e non omogenee; l'introduzione di opportune scomposizioni della funzione incognita permette di ricondurci a sistemi con condizioni al contorno omogenee; ciò comporta l'introduzione di termini di sorgente noti. Si presentano due esempi di scomposizione, uno dei quali, suggerito da considerazioni fisiche, scaturisce dallo studio di un'equazione integrale lineare non omogenea in un opportuno spazio di Banach. Si riduce quindi il problema ad un'equazione di evoluzione non lineare in uno spazio di Banach di norma L ₁.Si prova l'esistenza di un'unica soluzione forte non negativa, utilizzando la teoria dei semigruppi e delle perturbazioni non lineari; tale soluzione risulta inoltre globale nel tempo.

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Work performed under the auspices of C.N.R. (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica) and partially supported by M.P.I.     

Weighted residuals as a basis of a general solution method in elasticity

Summary It is shown that the general integral form of the elastic equilibrium equations obtainable through the weighted residuals agrees with the variational formulation given by the extremum conditions of the Washizu functional allowing a complete relaxation of the interelement continuity requirements.

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Sommario Si mostra che la forma generate integrale del sistema di equazioni dell'equilibrio elastico a cui conduce il metodo dei residui con fattori ponderali concorda con la formulazione variazionale fornita dalle condizioni di estremo del funzionale di Washizu che deriva da quello di Hellinger-Reissner mediante sblocco completo dei vincoli di continuità fra regioni contigue.

     

Tensorial formulation of neutron diffusion theory

Summary In this paper a tensorial formulation of monoenergetic neutron diffusion theory is presented as can be derived starting from the integral form of the Boltzmann equation. A result of this tensorial approach is that, as a consequence of a spatial variation of the macroscopic cross sections or of the finite dimensions of the body under examination, the diffusion coefficient is no longer a constant scalar quantity, but a second order symmetric tensor, whose components are functions of both the position and the properties of the material the body is made of. The components of the diffusion coefficient tensor are explicitly evaluated in the case of some homogeneous convex bodies.

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Sommario In questa nota viene presentata una formulazione tensoriale della teoria della diffusione di neutroni monoenergetici, quale può essere dedotta a partire dalla forma integrale dell'equazione di Boltzmann. Nell'ambito di questa formulazione si precisa che il coefficiente di diffusione, in conseguenza di una variazione regolare delle sezioni d'urto macroscopiche con la posizione o delle dimensioni finite del mezzo in esame, non è più una quantità scalare costante, ma un tensore simmetrico del secondo ordine, le cui componenti sono funzioni della posizione e delle proprietà del materiale. Queste componenti vengono calcolate esplicitamente per alcuni mezzi omogenei convessi.

     

Influence of some characteristic parameters on the low frequency instability in bi-propellant rocket engines

Summary In the present report, it is examined low frequency oscillations built up in a bi-propellant rocket engine equipped with pressurized feeding system.Some of the main parameters having a predominant effect on the phenomenon are investigated and the obtained criteria is found useful for the engine design purposes.All graphs are presented in a non-dimensional form which leads to a generalized use of the above mentioned method.Numerical results were processed by means of a high speed digital computer of the calculation center of Politecnico di Milano.

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Sommario Nel presente articolo si studiano le oscillazioni a bassa frequenza nei motori a razzo bi-propellente, con sistema di alimentazione e pressurizzazione.Si sono rilevati i parametri fondamentali che influenzano il fenomeno e si sono ottenuti dei criteri di calcolo utili in sede di progettazione.Tutti i grafici sono riportati in forma adimensionale in modo da rendere generale il metodo di calcolo.I risultati numerici sono stati ottenuti con il calcolatore elettronico IBM7040 in dotazione del Centro di calcolo del Politecnico di Milano.

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Some remarks on neutron transport in homogeneous slabs and spheres

Summary In this work we are concerned with the stationary neutron transport Boltzmann equation (in its integral form) in plane and spherical symmetry; both the study of the properties of the exact and approximate solution are based on functional analysis. We have taken advantage of the fact that the kernel of the integral equation is even, to semplify the general discussion; among the results, we quote that relating to the continuity of the solution with respect to the optical thickness. Moreover we emphasized that the Ritz method seems the most convenient one for the approximate evaluation of the solution; in this connexion, some observations have been made about the convergence of the approximate solutions to the exact one.

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Sommario In questo lavoro consideriamo l'equazione stazionaria di Boltzmann (nella forma integrale) in simmetria piana e sferica; l'uso di alcuni metodi dell'analisi funzionale ci consente di studiare sia le proprietà della soluzione esatta che di quella approssimata. La semplice osservazione che il nucleo dell'equazione integrale è pari, ci ha permesso di semplificare la discussione generale; tra i risultati segnaliamo quello riguardante la continuità della soluzione rispetto allo spessore ottico. Inoltre abbiamo sottolineato che il metodo di Ritz ci sembra il più opportuno punto di partenza per il calcolo approssimato della soluzione; in relazione a ciò, vengono fatte alcune osservazioni a proposito della convergenza delle soluzioni approssimate verso quella esatta.

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Work performed under contract C.N.R.     

L1 -stability of the solutions to an integral evolution equation of the non-linear particle transport theory

Summary The problem of L ¹-stability of the solutions to a non linear integral equation arising in particles transport theory is studied. This equation can represent the standard spatially homogeneous Boltzmann equation in the case of Maxwellium particles with cut off.

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Sommario Si studia la stabilita non lineare nella norma di L ¹ delle soluzioni di un'equazione integrale non lineare della teoria del trasporto di particelle, cui si riduce l'usuale equazione di Boltzmann nel caso spazialmente omogeneo e per particelle Maxwelliane con cut-off.

     

On the formal structure of continuum mechanics Part I: Deformation theory

Summary The purpose of this and of following papers is to give an operator form to the equations of statics of continuous media in the case of small deformations (linear case) and of large deformations (non linear), aiming to obtain a unitary view of many known results in linear and nonlinear mechanics. In this paper an operator version of compatibility equations for large deformations, is given introducing a nonlinear operator that will be shown to be of the potential type. Some new results follow, namely a variational formulation of compatibility conditions extending a similar result obtained by the author in the small deformation theory. This formulation in three-dimensional space is similar to that of Einstein describing the gravitational field in space-time. An operational version of Bianchi's identities and a construction of boundary compatibility conditions are also given.

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Sommario In questa nota e in altre che seguiranno ci si propone di dare una versione operatoriale delle equazioni della statica dei continui deformabili sia a piccole deformazioni (caso lineare) che a deformazioni finite (non lineare), al fine di ottenere una visione unitaria di molti risultati noti nella meccanica lineare e non lineare. In questa nota si dà forma operatoriale alle condizioni di congruenza per deformazioni finite, introducendo un operatore nonlineare che sarà mostrato essere di tipo potenziale. Di qui seguono alcuni risultati nuovi: la formulazione variazionale delle condizioni di compatibilità che estende un risultato precedente dell'autore nella teoria delle piccole deformazioni. Questa formulazione nello spazio geometrico tridimensionale è del tutto identica a quella di Einstein che descrive il campo gravitazionale nello spazio-tempo. Si da altresì interpretazione operazionale alle identità di Bianchi e una costruzione delle condizioni di congruenza al contorno.

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This work has been supported by C.N.R.     

Reflection and refraction of rays in pre-stressed solids

Rays in viscoelastic, pre-stressed solids are considered. The eikonal equation and the transport equation are derived for both transverse and longitudinal polarizations. The analogue of the standard Snell's law is established. Then the amplitudes of reflected and transmitted rays are determined. The pre-stress is shown to affect the geometry of reflection-refraction processes and the amplitudes of the rays emanating from the interface. Pre-stress effects are also found on traction-free surfaces.

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Sommario Si considerano raggi in solidi viscoelastici soggetti ad uno stress iniziale. L'equazione dell'iconale e l'equazione del trasporto sono dedotte sia per polarizzazione trasversale, sia per polarizzazione longitudinale. Stabilita la forma appropriata della legge di Snell, si determinano le ampiezze dei raggi riflessi e trasmessi. Si mostra che lo stress iniziale interviene sia negli angoli sia nelle ampiezze dei raggi reflessi e trasmessi. Effetti dello stress iniziale si presentano persino nel caso di riflessione sulla superficie libera di un semispazio.

     

The stability boundary of systems with one degree of freedom (Part II)

Summary This paper is designed as a supplement to Part I with a view to adding to the practical value of the theory presented there. Singular critical points which may arise under certain circumstances, and the effect of their presence on the shape of the stability boundary are investigated. It is shown that such points, if they exist, will generally lie on planes in the loading space, and that a simple linear eigenvalue approach will readily yield their location. An example is solved for illustration, and the results of an experiment are reported.

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Sommario Questa nota rappresenta un'integrazione ad una precedente (Parte I) e si propone di accrescere il valore applicativo della teoria ivi sviluppata. Si studiano punti critici singolari che possono presentarsi in certe circostanze, e le conseguenze della loro presenza sulla forma del dominio di stabilità. Si dimostra che se tali punti esistono, appartengono in generale a piani nello spazio dei carichi e che la loro ubicazione può essere facilmente determinata con un semplice procedimento fondato sulla considerazione degli autovalori. La risoluzione di un esempio e risultati sperimentali illustrano le conclusioni raggiunte in sede teorica.

     

Identification of rain cells from radar and stochastic modelling of space-time rainfall

We discuss two problems related to the utilization of weather radar: the automated identification of rain cells and the extension of cluster models to include the random variability of space-time rainfall within and between cells. The need for such extension emerges from visual inspection and formal analysis of radar reflectivity images. The algorithm proposed for the identification of cells is based on statistical techniques for the estimation of probability density mixtures. The algorithm does not assign pixels to cells deterministically; rather, it calculates the probability with which each pixel belongs to the different cells. Through an iterative procedure, the cell parameters and pixel probabilities are updated until the final identification of cells is reached. The second part of the paper deals with a generalization of cluster rainfall models in space and time. The models studied here combine an arbitrary birth point process with arbitrary random fields generated by the cells. Second-moment properties of these processes are derived.

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Sommario Vengono descritti i primi risulati di un lavoro in corso su due problemi legati all'uso del radar meteorologico: l'identificazione automatica delle celle di pioggia e l'estensione dei modelli a cluster per includere la variabilità casuale delle precipitazioni nello spazio e nel tempo all'interno e fra le celle. La necessità di tale estensione sorge sia dall'esame visivo, sia da un'analisi formale delle immagini della riflettività radar. L'algoritmo proposto per l'identificazione delle celle è basato sulle tecniche statistiche per la stima delle miscele di distribuzioni di densità di probabilità. L'algoritmo non assegna in maniera deterministica i singoli pixels alle celle, bensì calcola la probabilità con cui ogni pixel appartiene alle diverse celle. Attraverso una procedura iterativa si calcolano di volta in volta i parametri delle celle e le probabilità dei pixels, fino a che si raggiunge un assetto finale e le celle vengono identificate. Nella seconda parte del lavoro si tratta della generalizzazione dei modelli a cluster nello spazio e nel tempo. I modelli qui studiati combinano un processo arbitrario di occorrenza delle celle con un campo casuale arbitrario generato dalle celle. In particolare, sono derivate le proprietà generali dei secondi momenti di tali processi.

     

On induced discontinuities in a class of linear materials with internal state parameters

Summary The governing differential equations of induced discontinuities behind longitudinal and transverse shock waves are derived for a class of linear materials with internal state parameters. These equations indicate that the behavior of the induced discontinuities depends, in particular, on the behavior of the shock amplitudes and non-linearly on the wave surface geometries. Solutions for the case of plane waves with initially flat profiles are obtained, and they indicate that the global behavior of the induced discontinuities need not be monotone depending on the interpretation of the material responses.

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Sommario Le equazioni di evoluzione per discontinuità indotte da onde d'urto longitudinali e trasversali sono ricavate per una classe di materiali lineari con parametri di stato interni. Tali equazioni indicano che il comportamento delle discontinuitá indotte dipende, in particolare, dall'ampiezza dell'onda d'urto e, non linearmente, dalla seconda forma fondamentale della superficie. Le soluzioni, ottenute in corrispondenza di onde piane con profilo iniziale piatto, mostrano che il comportamento delle discontinuità indotte non è monotono ed é legato ai parametri che caratterizzano il materiale.

     

The multiple collision method in solving the Boltzmann equation for time-dependent test particle transport

Summary The multiple collision method is applied to solve a time-dependent problem of test particle transport as governed by the Boltzmann equation in the frame of the scattering kernel formulation for the collision term. Several features of the solution found are discussed. Curves representing the approach to the steady state are presented.

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Sommario Il metodo delle collisioni multiple è applicato per risolvere un problema temporale di trasporto di particelle «cavia», problema che è descritto dall'equazione di Boltzmann nell'ambito della formulazione, secondo un nucleo di «scattering», del termine di collisione. Alcuni casi particolari della soluzione trovata vengono discussi. Vengono infine presentate curve rappresentanti l'approccio allo stato stazionario.

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presently on leave of absence from the Department of Nuclear Engineering, University of Arizona, Tucson.     

The shakedown load boundary of an elastic-perfectly plastic structure

In the hypothesis of small displacements and combined time-variable/steady loads, the geometrical-mechanical properties of the shakedown load boundary are investigated. It is shown that, in the load space, the shakedown load boundary plays the role of yield surface, and that a certain plastic strain accumulation vector—characterizing some impending inadaptation collapse mechanism—obeys the normality rule, whereas a specific form of the maximum plastic work theorem constitutes an effective tool for the evaluation of the shakedown limit load corresponding to a specified inadaptation collapse mode. The equations governing the state of the structure at the shakedown limit are provided and the related collapse mechanism is shown to specify the shape of the steady-state response of the structure to a periodic load enveloping the load domain with an intensity slightly above the shakedown limit.

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Sommario Nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di plasticità perfetta, si studiano le proprietà geometrico-meccaniche della frontiera del dominio dei carichi di adattamento. Si mostra come, nello spazio dei carichi, la suddetta frontiera giuoca il ruolo di superficie di plasticizzazione ed un particolare vettore di deformazione plastica accumulata—che caratterizza il meccanismo di non adattamento—segue la legge della normalità, mentre una forma specifica del teorema del massimo lavoro plastico costituisce un valido strumento per la valutazione del carico limite corrispondente ad un dato meccanismo di non adattamento. Si forniscono altresì le equazioni che governano lo stato della struttura al limite di adattamento, mostrando la capacità del relativo meccanismo di collasso a rappresentare la risposta a lungo termine della struttura a dei carichi periodici inviluppanti il dominio dei carichi con una intensità un poco al di sopra del limite di adattamento.