盈不足术

“盈不足术”是我国古人独创的一种很古老很先进的算法,它的起源是很早的,《周礼·大司徒》篇云：“保氏掌谏王恶而养国子以道,乃教之六艺：一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭、五曰六书、六曰九数。”     

盈不足术

<正>盈不足术是我国古人独创的一种很古老很先进的算法,它的起源是很早的,《周礼·大司徒》篇云:"保氏掌谏王恶而养国子以道,乃教之六艺:一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭、五曰六书、六曰九数."汉代郑玄(127——200)注《周礼》时,引郑众(?——83)所说:"九数:方田、粟米、差分、少广、商功、均输、赢(盈)不足、旁要;今有重差,夕桀、勾股     

《九章算术》中的盈不足问题赏析

<正>(我国当代著名数学家吴文俊先生指出1):"《九章算术》是我国古代流传下来的一部数学巨著,不仅指导着我国数学的发展达两千年之久,而且对世界数学的发展,也有不可估量的巨大影响.""《九章算术》和《几何原本》东西辉映,无疑是数学史上的两大传世名著,也是现代数学的两大源泉."《九章算术》⁽¹⁾中的卷第七介绍盈不足,盈即多余,不足即缺少,通过多余和缺少,求出正     

关于五家共井问题的推广

关于五家共井问题的推广王三福（甘肃省天水市第一师范学校７４１０００）中等师范学校课本《代数与初等函数》中（Ｐ２９５）有一道题是“五家共井问题”，此题出自于《九章算术》，是世界数学史上最早的不定方程组问题．原题是：今有五家共井，甲二绠不足，如乙一埂；乙...     

从“勾股容方”到均值不等式

均值不等式是中学数学的重要主题,迄今为止,人们已经给出了很多种证明或推导方法,人们耳熟能详的弦图模型和半圆模型实源于古代中国和希腊的数学史.展卷阅读古代数学文献,我们常常会有新的收获.本文从《九章算术》"勾股容方"问题出发,对均值不等式进行了粗浅的探究.1勾股容方汉代数学名著《九章算术》勾股章中设题:"今     

“五家共井”问题

《九章算术》是我国现存最早的数学专著.它的第八章《方程》的第13题是著名的"五家共井"问题,题是这样的:"今有五家共井,甲二绠不足如乙一绠,乙三绠不足如丙一绠,丙四绠不足如丁一绠,丁五绠不足如戊一绠,戊六绠不足如甲一绠.如各得所不足一绠,皆逮.问井深、绠长各几何?"(题中:"绠"是汲水桶上的绳索,"逮"是到达井底水面的意思.)     

门厅高广

<正>今有门厅一座,不知门广高低.长竿横握使归室,争奈门狭四尺.随即竖竿过去,亦长二尺无疑.两隅斜去恰方齐,三角各该有几?——引自吴敬《九章算法比类大全》(1450年)简介此题系据《九章算术》勾股章第12题改编,这题原文是:今有户不知高广,竿不知长短.横之不出四尺;从之,不出二尺;邪之,适出.问户高、广、袤各几何?     

“印度莲花”与“中国芦苇”

“中国芦苇问题”与“印度莲花问题”都是著名的数学问题. 一、中国芦苇问题“中国芦苇问题”出自我国古代的数学著作《九章算术》,原题如下: 今有方池一丈,葭(芦苇)生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与水齐.问水深葭长各几何?     

中国剩余定理对几道赛题的应用

《孙子算经》是我国最古老的三部数学名著(即《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》之一,其中“物不知其数”所作的是世界上公认的古老的重要贡献.原文如下: “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?” 用现代数学语言表述,该问题就是:求自然数n,使得     

(Ⅱ)极限与无穷小量的来历(连载)

<正> 极限极限思想的萌芽,早在公元前五世纪出现,当时的依夫德克斯所发明的穷举法,实际上是数学上极限过程的某种类似。约在公元前四世纪,我国《庄子》一书《天下篇》中所说的“一尺之棰,曰取其半,万世不竭”也是极限思想的体现。刘徽在《九章算术》的“割圆术”中也已用极限思想来考虑问题。大约也在这段时期里,在欧几里德与阿基米德的著作中,对于极限方法就已给出了引人注目的结果。十五     

对勾股容圆题编排的意见

勾股容圆题是我国古代的名题,载在“九章算术”内.三国时,魏刘微(263年)在该题下所作的注解,是应用面积割补法来证明的.新编高中平面几何1956年1月第二版才将这个题编进习题6去,将原来的第16题抽掉.这个练习是在第三章第一节三角形中各线段相互关系之后,在第四章多边形面积之前.这样编法是值得商榷的.这个题一般用下面二个比较简便的证法.设直角三角形勾为 a,股为 b,弦为 c,内切圆直径为 d.求证:     

“勾股容圓”問題的解法

“設直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,使切圓的直徑为d,求証:d=(2ab)/(a+b+c)是我国有名的勾股容圓問题,記載在“九章算术”内。这个問題的解法很多,一般用延長斜边c或一条直角边(a或b),使之等于此直角三角形三边之和;然后用相似三角形來解。現在我提出另一种解法:因为od为此直角形的內切圓,所以斜边c和內切圓直徑d之和一定等于二直角边a与b之和;用代数的恒等变形和勾股定理即可解出如下:     

孙子问题及巧解

一、孙子问题《孙子算径》是我国唐初的“算学”教科书,分上、中、下三卷.其下卷第26题是一个闻名世界的数学问题.这个问题有人称为“孙子问题”.即“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”用现代话来说是:今有一堆东西.不知它的数量.如果三个三个地数最后剩二个,五个五个地数最后剩三个,七个七个地数最后剩二个.问这一堆东西有多少个?     

对教参中几道习题答案的质疑

新版九年制义务教育初中代数第一册《教师教学用书》是初中数学教师正确把握新教材的重要参考资料 .本人在讲授“列不等式解应用题”时发现 ,《教师教学用书》和教材对几道配套练习题的参考答案和旁注有多处值得商榷 ,我们不揣浅陋 ,把一些不成熟的意见提出来 ,供广大同仁参考 .其一　教材第 80页 B组第 3题 :“把一堆苹果分给几个孩子 ,如果每人分 3个 ,则余 8个 :如果前面每人分 5个 ,则最后一个人得到的苹果数不足 3个 ,求小孩的人数和苹果的个数 .”教参答案 :“孩子的人数和苹果的个数分别为 5 ,2 3;6,2 6;7,2 9;8,32 ;9,35 .设有 x个…     

古代的一些近似方法

数学来自生产实践,古代劳动人民在农业生产中所创造的近似計算公式,在今天有些还有它的实用意义。九章算术方田章內所举的圆面积求法,“又术曰:周自相乘十二而一”。这現在仍为我国农民所掌握的一种近似方法,这里是取π=3,九章算术注文内还提到可以“周自乘以七乘八十八而一”,卽取π=22/7。π=3,古代叫“周三径”,同样的还举出“方五斜七”和“正六面七”等容易記忆的辞句。“方五斜七”指正方形的边为5,則对角綫为7,这相当于2~(1/2)=7/5。“正六面七”指等边三角形的边是7,則高是6,这相当     

《九章算术》的形成与先秦至西汉时期的儒法斗争

本文试以马克思主义关于阶级和阶级斗争的观点、阶级分析的方法,围绕先秦至西汉时期的儒法两条路线的斗争,对于《九章算术》形成的历史过程和反映的社会内容作一个概要的分析.论证了:一、《九章算术》是在春秋末年至西汉中期我国历史由奴隶社会进到封建社会的社会大变革中,由于社会生产发展和儒法斗争的推动而产生,是革新、前进的法家路线战胜复辟、倒退的儒家反动路线的产物;二、《九章算术》是两千年前我国劳动人民智慧的结晶,并非一人一时之作,它产生于先秦,经历了好几个世纪、许多人的加工整理,最后成书大约在公元前一世纪的前半期;三、西汉时期的法家、数学家张苍、耿寿昌适应新兴地主阶级推行法家路线的政治需要,在实际斗争中认真总结人民群众在数学方面的创造,曾对《九章算术》的删补作出重大贡献.     

如何让解题简捷些

华罗庚在《从神奇妙算谈起》一书中有句名言:“神奇化易是坦道,易化神奇不足奇”.让难题简解,让繁题捷解,一直是数学解题中众多师生追求的较高境界.为此非培养较高的数学思维能力不可.本文从以下几方面探求之.     

珠算算理浅论

(二)《易经》表示空间的理论探讨魏晋时代刘徽为《九章算术》作注中说:“暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历记,协律吕,用稽道原,然后两仪四象精微之气可得而效焉。”刘徽这句话是本部分的指导思想。这句话告诉我们《易经》的八卦图是直角坐标。遗憾的是《九章算术》里对这个问题没有进行讨论。但从中也可以看到,《九章算术》里的正负数是和《易经》的阳阴理论有着密切的关系。不尽人意的是《九章算术》关于正负数的论述也只是谈了一些加减运算方法,无形中也看出该文论述的比较浅显,同时也看出该文没有涉及到正负坐标的问题。在数学里,表示空间的手段就是坐标,而较高级的坐标就是正负数坐标。关于远古时代有正负数直角坐标系列问题,我们在《珠算与珠心算》中曾多次举出大量的事实。可是现代算史研究人员多数不敢承认这个问题。甚至认为承认了《九章算术》的正负数,在世界上已经是最早的了。我们认为这种认识根本不是科学的态度,而只是一种感情上的满足。由于这种满足,下一文其客观效果必然掩盖了中华古代很多文明的事实。这是一种极其严重的思维屏障。本文的目的就是要举出很多数学的事实,还古代数学的一个原貌。1.远古的阳阴含义之一是正负的引力模式(1)阳阴理论已应用到正负坐...     

中国——最早认识并应用负数的国家

华罗庚说:“数学是中国人民擅长的学科”. 东汉初(公元1世纪),我国第一部有名的数学书《九章算术》中出现了“正负术”.我国魏晋时期著名数学家刘徽为“正负术”作注解释说:“今两算得失相反,要令正负以名之,正算赤,负算黑,否则邪正为异”.这里的“算”是指小竹棒,表示数.注释的大概意思是:两个得失相反的数,要用正负来表示,规定正数用红色小竹棒,负数用黑色小竹棒;若用同色小竹棒的话,则正数正放,负数斜放,用以区别.     

妙趣横生的歧中易数列——数学建模一例

中国古环已有两千余年的历史,《战国策》齐策六记述:秦王遣使入齐,出玉连环,对齐君王后曰:“齐多知,能解此环不?”王后以示群臣,莫能解者,王后随引椎椎破之,谢秦使曰:“谨以解矣”.南宋临安(今杭州)市上,有专售“解玉板之类”的玩具,民间俗语云“解不开,歧中易,卸不下,九连环”