On the degree of approximation by the operators of de la Vallée Poussin

In this paper we study the degree of approximation of functionsf inC ₂ andC ₂ ¹ by the operatorsV _n ofde la Vallée Poussin. The quality of approximation is measured in terms of the modulus of continuity off andf respectively. Forn so-called exact constants of approximation are determined. Furthermore, the asymptotic behaviour of these constants is investigated asn.     

Propriétés relatives des processus de Markov récurrents

Summary For a Markov process recurrent in the sense of Harris, we study the recurrence between two sets A and B. We show the existence of a finite measure _B ^A invariant for the operator P _A P _B and prove some ergodic theorem. When there exists a dual process, _B ^A is the equilibrium measure of B corresponding to the dual process killed when entering in A.

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Equipe de Recherche n 1 «Processus stochastiques et applications», dépendant de la section n 2 «Théories Physiques et Probabilités», associée au CNRS.     

Perturbation of orthonormal bases inL 2-spaces

The paper improves and generalizes a classical result from Paley and Wiener in their book on Fourier transforms. Paley and Wiener gave conditions on functionsh _n that imply that the sequence (1+h _n (x))e ^inx is a Riesz basis forL ²[–,]. These conditions involve theL ²-norm of the second derivativesh _n . The new results replace the differential operatoryy by more general differential operators inL ²-spaces, in particular, by the Hermite differential operator inL ²(R), ande ^inx by arbitrary orthonormal bases.     

Sur le théorème de Berry-Esseen pour les suites faiblement dépendantes

Résumé Nous étendons la méthode de démonstration du théorème de Berry-Esseen proposée par Bergström aux suites de variables aléatoires faiblement dépendantes. En particulier, nous montrons que, pour les suites stationnaires de variables aléatoires réelles bornées, la vitesse de convergence dans le théorème limite central en distance de Lévy est de l'ordre den ^–1/2 dès que la suite ( _p)p>0 des coefficients de mélange uniforme satisfait la condition _p>0 p _p <

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About the Berry-Esseen Theorem for weakly dependent sequences

We extend the method of Bergström for the rates of convergence in the central limit theorem to weakly dependent sequences. In particular, we prove that, for stationary and uniformly mixing sequences of real-valued and bounded random variables, the rate of convergence in the central limit theorem is of the order ofn ^–1/2 as soon as the sequence ( _p)p>0 of uniform mixing coefficients satisfies _p>0 p _p <.

     

Hypercontractivité pour des systèmes de spins de portée infinie

Résumé Nous considérons un système de spins sur ^d . Nous prouvons l'équivalence entre premièrement une condition faible de mélange deuxièmement le contrôle du trou dans le spectre et troisièmement celui de la constante de Sobolev logarithmique pour des potentiels de Gibbs de portée non nécessairement finie. Nous en tirons des conséquences sur la vitesse de convergence des semi-groupes dansL ² et sur la décroissance des corrélations: il n'y a pas de régime intermédiaire entre un taux algébrique ent ^–2d (resp. |j-k|^–2d) et un taux exponentiel. Les résultats généraux sont montrés pour des spins à valeur dans une variété riemannienne compacte ou dans un espace fini.

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Summary We consider a spin system on ^d . We prove the equivalence between first a weak mixing condition, secondly the controle of spectral gap and thirdly the controle of logarithmic Sobolev constants for non necessarily finite range Gibbs potentials. Hence we draw consequences concerning theL ² decay to equilibrium and the correlations decay: there is no transitory rate between an algebraic decay ast ^–2d (resp. |j-k|^–2d)and exponential decay. The general results are obtained for both continuous and discrete compact spins.

This article was processed by the authors using the LATEX style filepljour Im from Springer-Verlag     

Note on Joseph's inequalities in stability theory

Résumé Pour la stabilité linéaire d'un écoulement parallèle, le premier théorème de Joseph [1] a donné le domaine de la stabilité à l'aide de deux courbesM ₁ etM ₂. Nous avons amélioré ce théorème en employant l'enveloppe d'une famille de courbes à laquelle appartiennentM ₁ etM ₂. Nos résultats ci-dessus et ceux de Joseph ont été améliorés encore à l'aide de l'inégalitéI ₂ ² 4I ₁ ² au lieu de .Les simples inégalités nous permettent de faire une limitation plus forte pour la vitesse de l'amplification de la perturbation que celles connues jusqu'à présent en stabilité hydrodynamique.     

Classes caractéristiques d''une π-algèbre et suite spectrale en K-théorie bivariante

Résumé Pour tout groupe discret et pour toute -algèbre D, la C ^*-algèbre D(E) (dont la définition exacte est donnée dans la section 4) est la version équivariante de la C ^*-algèbre C(B, D) des fonctions continues sur B, le classifiant du groupe, à valeurs dans D et qui s'annulent à l'infini. Si D désigne une autre -algèbre, nous définissons une suite spectrale en K-théorie bivariante dont les premiers termes sont donnés par les groupes H ^p (B, KK(D, D)) et qui converge (lorsque B est de dimension finie) vers KK(B; D(E), D(E)). Cette suite spectrale généralise celle de Kasparov mais est obtenue de manière différente: en étendant la définition des quasihomomorphismes aux C(X)-algèbres (X est une espace topologique localement compact), on a recours à des méthodes homotopiques telles les décompositions de Postnikov et le calcul des groupes d'homotopie des espaces d'équivalences d'homotopie. Sous certaines hypothèses, ces mÊmes constructions nous permettent de définir, pour toute -algèbre D, une obstruction, appelée classe secondaire de la -algèbre D, qui détermine la différentielle d ₂ de la suite spectrale de Kasparov.

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For all discrete group and all -algebra D, the C ⁺-algebra D(E) (whose exact definition is given in Section 4) is the equivariant version of the C ^*-algebra C(B, D) of continuous functions from B (the classifiant of the group) to D, vanishing at infinity. If D is another -algebra, we define a spectral sequence in bivariant K-theory whose first terms are given by the groups H ^p (B, KK(D, D)) and which converges (if B of finite dimension) to KK(B; D(E), D(E)). This spectral sequence generalises the spectral sequence given by Kasparov but it is obtained in a quite different way: by extending the definition of quasihomomorphisms to the C(X)-algebras (where X is a locally compact topological space), we use homotopical methods, like Postnikov decompositions and the calculus of homotopy groups of spaces of homotopy equivalences. Furthermore, under certain hypotheses, with these constructions, we define an obstruction, called the secondary class of the -algebra D, which determines the differential d ₂ of the Kasparov spectral sequence.

     

Interpolation Methods for the Evaluation of 2π-Periodic Finite Baire Measure

We discuss the definition and effectiveness of a Padé-type approximation to 2-periodic finite Baire measures on [-,]. In the first two sections we recall the definitions and basic properties of the Padré-type approximants to harmonic functions in the unit disk and to L ^p -functions on the unit circle. Section 3 deals with the extension of these definitions and properties to a finite 2-periodic Baire measure. Finally, section 4 is devoted to a study of the convergence of a sequence of such approximants, in the weak star topology of measures.     

On a theorem of G. Szegö

It is shown that the precise result of G. Szegö on the asymptotic behavior of the Toeplitz determinants D_n(f), generated by the nonnegative summable function off() holds if Inf L₁ (–, ).Translated from Matematicheskie Zametki, Vol. 3, No. 6, pp. 693–702, June, 1968.     

On the extreme spectral properties of Toeplitz matrices generated byL 1 functions with several minima/maxima

In this paper we are concerned with the asymptotic behavior of the smallest eigenvalue ₁ ⁽ⁿ⁾ of symmetric (Hermitian)n ×n Toeplitz matricesT _n (f) generated by an integrable functionf defined in [–, ]. In [7, 8, 11] it is shown that ₁ ⁽ⁿ⁾ tends to essinff =m _f in the following way: ₁ ⁽ⁿ⁾ –m _f 1/n ^2k . These authors use three assumptions:A1)f –m _f has a zero inx =x ₀ of order 2k.A2)f is continuous and at leastC ^2k in a neighborhood ofx ₀.A3)x =x ₀ is the unique global minimum off in [–, ]. In [10] we have proved that the hypothesis of smoothnessA2 is not necessary and that the same result holds under the weaker assumption thatf L ¹[–, ]. In this paper we further extend this theory to the case of a functionf L ¹[–, ] having several global minima by suppressing the hypothesisA3 and by showing that the maximal order 2k of the zeros off –m _f is the only parameter which characterizes the rate of convergence of ₁ ⁽ⁿ⁾ tom _f .     

L 2-approximation by the translates of a function and related attenuation factors

Summary Let be thek-dimensional subspace spanned by the translates (·–2j/k),j=0, 1, ...,k–1, of a continuous, piecewise smooth, complexvalued, 2-periodic function . For a given functionfL ²(–, ), its least squares approximantS _kf from can be expressed in terms of an orthonormal basis. Iff is continuous,S _kf can be computed via its discrete analogue by fast Fourier transform. The discrete least squares approximant is used to approximate Fourier coefficients, and this complements the works of Gautschi on attenuation factors. Examples of include the space of trigonometric polynomials where is the de la Valleé Poussin kernel, algebraic polynomial splines where is the periodic B-spline, and trigonometric polynomial splines where is the trigonometric B-spline.     

Vitesse de convergence du théorème de la limite centrale pour des champs faiblement dépendants

Résumé Nous étudions la vitesse de convergence du théorème de la limite centrale pour des champs de ^d, faiblement dépendants: m-dépendant ou -fortement mélangeant. Dès que le champ est dans L ²⁺, >0, la vitesse de convergence obtenue est _n ^{– (1)} avec un facteur (log _n ) ^a qui intervient quand est à décroissance exponentielle et dans le cas m-dépendant quand 1. Le cas où est à décroissance puissance est aussi étudié. Ces résultats ne font intervenir ni la stationarité, ni la géométrie des domaines sur lesquels le T.L.C. est étudié.     

Polytopes which are orthogonal projections of regular simplexes

We consider the polytopes which are certain orthogonal projections of k-dimensional regular simplexes in k-dimensional Euclidean space R ^k . We call such polytopes -polytopes. Every sufficiently symmetric polytope, such as a regular polytope, a quasi-regular polyhedron, etc., belongs to this class. We denote by P _m,n all n-dimensional -polytopes with m vertices. We show that there is a one-to-one correspondence between the elements of P _m,n and those of P _m,m–n–1 and that this correspondence preserves the symmetry of -polytopes. Using this duality, we determine some of the P _m,n 's. We also show that a -polytope is an orthogonal projection of a cross polytope if and only if it has central symmetry.     

Opérateurs différentiels associés à certaines représentations unitaires d'un groupe de Lie résoluble exponentiel

Soient G = exp g un groupe de Lie résoluble exponentiel et H = exp h un sous-groupe connexe de G. Soient un caractère unitaire de H et = Ind_H ^G. Soit D(G/H) l'algèbre des opérateurs différentiels G-invariants sur G/H. Une question posée par Duflo et Corwin-Greenleaf consiste à voir si la finitude des multiplicités de est équivalente à la commutativité de D (G/H). Nous répondons positivement à cette question quand H est normal dans G. Lorsque H n'est pas normal, nous préparons le terrain pour d'espaces homogènes nilpotents et nous répondons à la question dans différents cas. Nous étudions finalement l'algèbre D (G) ^H , des opérateurs différentiels qui laissent l'espace des vecteurs C de invariant et qui commuttent avec l'action de H sur cet espace.     

Punkt- und Geradenabbildungen,die das volumen 1 vonn- dimensionalen simplices im ℝn erhalten

A mappingf of ⁿ ,n3, into itself such thatf(x ₁),f(x ₂, ...,f(x _n+1 ) are the vertices of a simplex of volume 1 ifx ₁,...,x _n+1 are the vertices of a simplex of volume 1, must be equi-affine. (This theorem is also true in casen= 2 as it was proved by Gil Martin, see W. Benz [4].)LetM ⁿ be the set of lines of ⁿ . A mapping: M ⁿ M ⁿ ,n3 such that(a ₁ ),...,(a _n(n+1)/2 ) are the edges of a simplex of volume 1 ifa ₁,...,a _n(n+1)/2 are the edges of a simplex of volume 1, must be induced by an equi-affine mapping of ⁿ .     

Freudenthal-invariante

In 1937 Freudenthal defined for a nullhomotopy of a suspension of a map f from the (2r-1)-sphere to the r-sphere a pair of integers. He proved that the difference of them is equal to the Hopf invariant of f. This definition is generalized for maps from SK to L, where K and L are CW-complexes. If in addition L is a twofold suspension similar relations with the generalized Hopf invariant are proved. As an application it is shown that if [_n,l_n] á _2n (Sⁿ) is non-zero, so is the image of it in _2n (Sⁿ _4s eⁿ⁺¹).     

On depth first search strees inm-out digraphs

We consider depth first search (DFS for short) trees in a class of random digraphs: am-out model. Let _i be thei ^th vertex encountered by DFS andL(i, m, n) be the height of _i in the corresponding DFS tree. We show that ifi/n asn, then there exists a constanta(,m), to be defined later, such thatL(i, m, n)/n converges in probability toa(,m) asn. We also obtain results concerning the number of vertices and the number of leaves in a DFS tree.     

Steady-state temperature distribution in a finite spherical cone

A Naylor transform is employed to determine the axisymmetric steady-state temperature distributions in finite spherical cones where the boundary conditions include a variety of conditions at the spherical surface (insulation or heat loss in accordance with Newton's law) and an assigned temperature variation on the conical surface (in particular,f(r)=r ^m ,m0). Solutions are obtained in terms of inversion integrals and in Fourier-Legendre expansions. Computations based on the inversion integrals are carried out for cones of half-angles, =/6 and /2, and with several combinations of parameters relating to the boundary conditions.

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Résumé Une transformation de Naylor est employée afin de déterminer les distributions axisymétriques stationnaires de la température dans les cônes sphériques finis où les conditions aux limites comprennent une variété des conditions à la surface sphérique (isolation ou perte de chaleur conformément à la loi de Newton) et une variation de la température assignée à la surface conique (en particulierf(r)=r ^m ,m0). Les solutions sont obtenues sous forme d'intégrales d'inversion et de développements en série de Fourier-Legendre. Les calculs fondés sur les intégrales d'inversion sont accomplis pour les cônes de demi-angles, -/6 et /2, et pour différentes combinaisons de paramètres qui apparaissent dans les conditions aux limites.

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Acknowledgement. This research was supported in part by Grant AFOSR-69-1779 at North Carolina State University at Raleigh, Raleigh, North Carolina. 27607.     

Processus d'Ornstein-Uhlenbeck et ensemblesW 2,2—polaires

Résumé Nous démontrons que, dans un espace de Fréchet gaussien (E,), les ensembles dec _2,2-capacité nulle sont les ensembles que le processus d'Ornstein-Uhlenbeck à deux indices à valeurs dansE ne rencontres pas. Afin de prouver ce résultat, nous établissons une inégalité entre la probabilité de rencontre d'un ensemble et la capacité de celui-ci. Nous établissons également une représentation de lac _2,2-capacité d'un ensemble par une mesure aléatoire à deux indices.

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We show that, on a Fréchet gaussian space (E,) thec _2,2-capacity null sets are those which cannot be hit by the two-parameterE-valued Ornstein-Uhlenbeck process. In order to prove this result, an inequality between the hitting probability of a set and itsc _2,2-capacity, as well as a representation of thec _2,2-capacity of a set by a two parameter random measure, is established.

     

Sur la convergence des processus ponctuels

Summary We give a necessary and sufficient condition for the convergence in law of simple point processes on ₊, for Skorokhod topology, in terms of their predictable compensatorsA ⁿ andA. The assumptions are thatA _t() is continuous in (,t) and meets some mild integrability condition. The condition is thatA ⁿ converges weakly toA in a suitable sense.