乘积的平方性

本文证明了乘积 (f(x)=ax²+bx+c∈Z[x]是二次不可约多项式)在n充分大时不是平方数.       

错在那里?

题 求自然数n,使2~8 2~(10) 2~n是一个完全平方数。 解法1 设2~4=x,则2~8=x~2,2~(10)=2~6·x原式化为x~2 2~6x 2~n,要使此式为完全平方数,应有△=(2~6)~2-4·2~n=0,n=10.     

枚举量词与谓词演算

<正> 枚举量词是指下列的量词:■_nxA(x)(n 级全称量词):除至多 n—1个 x 以外其余 x 全使 A(x)成立;■_nxA(x)(n级存在量词):至少有 n 个 x 使 A(x)成立;A_nxA(x)(n 级恰有量词):恰巧有 n—1个 x 使 A(x)成立.     

乘积∏_(k=1)~n(ak~2+bk+c)的平方性

本文证明了乘积∏_(k=1)~n(ak~2+6k+c)(f(x)=ax~2+bx+c∈Z[x]是二次不可约多项式)在n充分大时不是平方数.     

不定方程x4-y4=n的整数解之我见

文 [1]对不定方程　　　　　 x4- y4=n (1)的整数解求法作了探讨 ,笔者认为有必要作一些说明 .容易验证 :奇数的四次方除以 16余 1.n =(x - y) (x +y) (x2 +y2 ) ,n(n >1)必为合数 ;若 (x,y)满足方程 (1) ,则(± x,± y)也满足方程 (1) ,故仅需考虑正整数解 .容易得到 (以下字母为正整数 ) :定理 1　 n =a2 ,2 a2 ,pa2 (p为素数 ,p≡3(mod8) )时 ,方程 (1)无正整数解 [2 ] .定理 2　方程 (1)有正整数解的充要条件是 n =PQ(P 相似文献   

“二等分段平方数”初探

郑成生先生在文 [1]中研究了双色平方数的构造问题 ,很有情趣 .本文研究另一类平方数 .定义　若自然数 a1 a2 … anan 1 an 2 … a2 n 是一个 2 n位平方数 ,a1 ≠ 0 ,an 1 ≠ 0 ,且 a1 a2 … an与 an 1 an 2 … a2 n 也均为平方数 ,则称a1 a2 … anan 1 an 2 … a2 n 为二等分段平方数 .例如 ,2 2 5 62 5 =475 2 ,且 2 2 5 =15 2 ,62 5 =2 5 2 ,故 2 2 5 62 5是一个二等分段平方数 .设二等分段平方数a1 a2 … anan 1 an 2 … a2 n =H22 n,则　 a1 a2 … an =M2n,an 1 an 2 … a2 n =R2n.从而　 H22 n =10 n M2n R2n.定理 1　…     

连续完全平方数的一些有趣的性质

若a是整数,那么a~2就叫做a的完全平方数,例如:1,4,16,31,100,…若a为整数,n为自然数,那么a~2、(a+1)~2(a+2)~2、…、(a十n)~2叫做连续完全平方数。例如:1,4,9,16,25,36,49,64,…连续完全平方数有哪些性质呢? 我们知道,16= 4~2,25=5~2,在16和25之间的任意整数都不是完全平方数。这就是说:在两个连续正整数的平方之间不可能再有完全平方数。我们可以证明这个结论。证明: 设n和n+1是两个连续正整数。若有一个正整数a,使得a~2在n~2和(n+1)~2之间,即n~2相似文献   

数学问题解答

736.试证:任何四个连续自然数之积不是平方数。证.设四个连续自然数是n-1,n,n+1,n     

神奇的完全平方数

<正>如果一个自然数是某个整数的平方,那么这个自然数就叫做完全平方数.把一个整数平方以后得到的数记作n2,那么n2就是一个完全平方数.完全平方数有着奇妙的数字特征,完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9中的一个.除此以外,个位数字的特征还影响着十位数字的变化.下面就一个数平方以后得到的完全平方数的特征进行简单的分类.     

用判别式解2011年全国联赛初赛题(江西)

题目一试确定,对于怎样的正整数a,方程5x2-4(a+3)x+a2-29=0有正整数解?并求出方程的所有正整数解.解把原方程化为关于a的一元二次方程,得a2-4ax+(5x2-12x-29)=0.由于a是正整数,故Δ=-4x2+48x+116≥0,且是一个完全平方数,解得:6-65<1≤x≤14<     

Smarandache平方数列SP(n)和IP(n)的均值差

对任意正整数n,Smarandache最小平方数列SP（n）定义为大于或等于n的最小完全平方数;Smarandache最大平方数列IP（n）定义为小于或等于n的最大完全平方数．日本学者建议研究数列SP（n）和IP（n）的几个均值问题．最近,国内学者首次利用初等及解析方法对这些问题进行了研究,并给出了数列SP（n）及IP（n）的几个均值公式,同时解决了日本学者提出的几个问题．本文进一步对这些问题进行研究,获得了一个新的渐近公式．     

全轮换积的存在与判别法

n元集合Q上的一个靠次轮换称为一个Q-全轮换或n元全轮换,在不致混淆时简称全轮换。本文讨论的问题是:给了一个Q-全轮换σ及Q上的一个置换x,其乘积σx是否是全轮换,证明了对于任一个n元全转换σ及任一个n元偶置换型,总有一个以此为型的置换x,使得σx为n元全轮换(存在定理)。给出了对于给定的全轮换σ及偶置换x,判断σx是否是全轮换的一个方法(判别定理),并给出了计算机方法。     

竞赛综合能力训练(四)

1.计算: (1)12(1/7)×29×7/4-1.75×12(3/7)=__; (2)1/3 1/8 1/15 1/35 1/48 1/63 __。 2.n是比100小的自然数,且 8 8 …… 8 n个8是平方数,那么n的最小值是__;n的最     

说说平方数

<正>说起平方数(也叫正方形数),同学们都很熟悉,如1,4,9,16,…都是平方数.那么,平方数都有哪些性质呢?下面就归纳总结一下,供同学们赏析.(一)任何一个平方数都可以表示为两个相邻三角形数之和.如4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15等.那么,什么是三角形数呢?可以表示为1+2+3+…+n(n为正整数)的形式的数称为三角形数,如1,3,6,10,15,…都是三角形数,     

求一类勾股数组的公式

定义:如果正整数x、y、z能满足下列不定方程x~2+y~2+=z~2,那么,x、y、z叫做勾股数。观察下列各式: 这样,我们就得到了三组勾股数:4、3、5;12、5、13;24,7,25。按照此法,在数列1,3,5,7,…2k+1,…中找出一平方数,它前面的项数与项数加1再和这个平方数的平方根一起就构成一个勾股数组。如49=7~2=     

用求导法解2001年高考第20(Ⅱ)题

20 0 1年高考数学试卷理科第 2 0 ( )题为 :已知 r、m、n是正整数 ,且 1( 1 n) m .标答中是应用二项式定理来解 ,多数考生是用均值不等式法 (见本期 P4 2 ) .这里给出构造辅助函数和用求导的方法 .解∵　 11,∴　 f′( x) <0 ,则　 f( x)为单调递减函数 .又　 2≤ m ln( 1 n)n ,nln( 1 m) >mln( 1 n) .故…     

第19届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

9年级第一试1 如果自然数n使得2n+1和3n+1都恰好是平方数,试问5n+3能否是一个素数? 2 AB和CD是两条长度为1的线段,它们在O点相交,而且∠AOC=60°,试证:     

完全平方数的十位数字与个位数字的一种关系

完全平方数的十位数字与个位数字有着如下一种美妙的关系: 如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。下面我们先把这种关系证明一下,然后再看它的应用。先证前者,若已知m~2=(2k 1)。10 a,我们来证明a=6。因为完全平方数末尾数只可能是0,1,4,5,6,9,故这里的a只可能为0,1,4,5,6,9。当a=0时,m的末尾数为0,于是可设m=10n,那么(2k 1)。10=(10n)~2=100n~2,即2k 1=10n~2。     

费马数和默森数的方幂性

通常,把F_n=2~(2~n) 1(n=0,1,2,…)称为费马数,把M_p=2_p-1(p为素数)称为默森数。洪斯贝格曾证明了F_n非平方数也非立方数;也有人提出M_p也非平方数。本文拓广他们的工作。 引理1 ⅰ)方程x~2-1=y~p(p≥3为素数)仅有正整数解(x,y,p)=(3,2,3)。 ⅱ)方程x~2 1=y~n(n>1)无正整数解,     

关于丢番图方程b~x+(2~α)~y=(b+2~α)~z

结合初等和高等的方法研究丢番图方程b~x+2~(αy)=(6+2~α)~z,α≥3正整数解的问题,并得到了如下结论:1.若b为平方数,则方程只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1);若b+2~α为平方数,则x=1.2.若x1,则2■z.3.方程3~x+(2~(2k+1))~y=(3+2~(2k+1))~z,k■2 (mod 6),2k+1∈N,2k+11只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).