一类根式的无理性研究

我们首先考虑一个简单的问题 :例 1　证明ｎ2 (ｎ≥ 2 ,ｎ∈Ｎ)为无理数 .证明　设ｎ2 =ｑｐ ,(ｐ ,ｑ) =1,ｐ ,ｑ∈Ｚ .则　 2 =ｑｎｐｎ,　　　 2 ｐｎ=ｑｎ (1)∴ ｑｎ 为偶数 ,∴ｑ为偶数 .设 ｑ =2 ｑ1,代入 (1)式 ,得2 ｐｎ=2 ｎｑｎ1,ｐｎ=2 ｎ - 1ｑｎ1,∴ 2 |ｐ .所以 ,2 |(ｐ ,ｑ) ,与 (ｐ ,ｑ) =1矛盾 ,故ｎ2为无理数 .以上的证明可以说是证明无理数的经典方法 ,在中学教材以及各种参考书中也都是采用这种方法 .但我们不难发现 :对于例 1这个比较简单的问题 ,其证明略显复杂 .于是 ,我们想 :能否找到比较简捷而又行之有效的方法…     

一类含根式的新不等式及应用

本文通过引入参数的方法发现了一类新的含根式的不等式 ,它们在不等式的证明以及处理一些非等变量的多元函数的极值问题中有着广泛的应用价值 .定理 1　设 0 ≤ｘ ≤λ≤ａ ,则ａ-ｘ≥ ａ-ｔｘ ,(1 )其中等号成立当且仅当ｘ=0或λ ;ｔ =1λ(ａ-ａ-λ) .证　∵ 0 ≤ｘ≤λ ,∴ｘ2 ≤λｘ(等号成立当且仅当ｘ=0或λ) ,于是 ,引入正参数ｔ,我们有(ａ-ｔｘ) 2 =ａ- 2 ａｔｘ ｔ2 ｘ2≤ａ (ｔ2 λ - 2ａｔ)ｘ ,①令ｔ2 λ - 2ａｔ =- 1 ,则方程λｔ2 - 2ａｔ 1 =0有正根ｔ =1λ(ａ -ａ -λ) .故①式两边开平方立得 (1 )式 ,由①取等号的条件知 ,…     

巧用公式解一类根式方程

公式 方程f（x）√h（x）-g^2（x）＋g（x）√h（x）-f^2（x）=h（x）与方程：f^2（x）＋g^2（x）=h（x）（满足,（x）≥0,g（x）≥O）同解．     

一类根式方程实根的存在性

对于方程二一5石下百一28二o,我们只须设,=币不飞就可以把它变换成二次方程犷一5,一24=0来求解。一般地.对于根式方程 *沪石下下+cx+甘==o(l)其中a、b、:和庵均是实常数,且a、c和介令均不为零。把方程“)两边同乘以号移项整理得 a乏、口工+b十—议么r十b ‘ ad十—一b二0(2)令,=诺石丁下把它代人(2)即得关于,的二次方程 ak ad矿十下y十下一b=O(3) }门“’门{专助方程(3)的解来讨论方程川的实使的,子在性。 情形(l。)方程《1)有两个不同的实数根。这时,』.巾卜有两个l卜负解,因此存在下列条件:划别式D一(丝)2一4(丝一b)>0,两根之和 ak_百=一…     

再谈一类根式的无理性研究

文献[1 ]给出了“定理2　设a,b,m ,n为正整数,则ma+ nb一定是一个首项系数为1的整系数代数方程的根”,并利用定理2讨论了形为ma + nb的数的无理性判别问题.本文对定理2进行了推广,并进一步讨论了形为n1a1 + n2a2 +…+ nsas(a1 ,a2 ,…,as;n1 ,n2 ,…,ns 皆为正整数)的数是否为无理数的判别问题.本文用到高等代数中的一个定理,在这里作为一个引理用.引理　设f(x) =anxn+an- 1 xn- 1 +…+a1 x+a0 是一个整系数多项式,而sr 是它的一个有理根,其中(s,r) =1 ,那么s|a0 ,r|an.特别地,若an=1 ,那么r=±1 ,sr 是它的一个整数根.定理1　设a ,b,c,m ,n…     

竞赛中二次根式的配方技巧

配方法在初中数学竞赛中有着极其广泛的应用.开阔学生视野、启迪学生思维、提高分析问题和解决问题的能力,丰富学生的课外学习内容.本文主要介绍配方技巧在二次根式中的应用.1 化简例1 (2010年全国初中数学联赛江西省初赛题)     

分式型根式化简的常用技巧

对于分式型根式的化简,若能注意运用恒等变形的技巧,往往能获得简捷、明快的解法,收到事半功倍之效.现举例说明常用的一些解题技巧.一、巧分解 例1 化简 分析此题直接分母有理化十分繁冗,仔细观察分母的根式, , ,这样便可因式分解后约分.     

谈竞赛题中根式运算的技巧

根式运算的技巧灵活多变,精彩叠层.因而在历届初中数学竞赛中频频登场.以下举例浅谈解这类问题的多种技巧,供同学们参考:     

一类无限的多重循环群

设Ｇ是无限的多重循环群，如果对Ｇ的每个有限商群Ｇ，Ｇ的所有Ａｂｅｌ子群都是３元生成的，那么Ｇ￣（７）＝１且Ｇ是４元生成的．     

浅谈二次根式化简求值的技巧

二次根式的化简求值是中学数学中培养学生的计算能力的一个极为重要的内容,但一般来说运算都比较繁复,在解答过程中,若能够根据要化简求值表达式的特点,巧妙综合运用所学的知识,可化繁为简,达巧夺天工之妙,本文介绍一些根据题目本身的特点解此类问题的方     

一类不定积分的无限多种解法

一类不定积分的无限多种解法林福我（河海大学）在高等数学课程中，培养学生熟练掌握和灵活运用初等求积方法，是一项基本而又重要的教学任务。在求解不定积分过程中，常常需要综合运用各种初等求积法，有时还会遇到一个题目有多种不同的解法。作者在讲授高等数学过程中，...     

一类无限矩阵拓扑代数

Let λ and μ be sequence spaces and have both the signed-weak gliding hump property, (λ,μ) the algebra of the infinite matrix operators which transform λ into μ. In this paper, it is proved that if λ and μ are β-spaces and λ^β and ,μ^β have also the signed-weak gliding hump property, then for any polar topology τ, ((λ,μ),τ) is always sequentially complete locally convex topological algebra.     

一类特殊无限方阵的逆

研究了除环上一类特殊无限方阵的逆方阵,用紧致性论证给出了除环上无限上三角阵具有左（右）逆和双侧逆方阵的充分条件。     

构造法解决一类二次根式问题

<正>1提出问题问题:求出代数式■的最小值.2分析问题问题中的二次根式让我们联想到了勾股定理,而勾股定理是连接代数知识点与几何知识点的桥梁,下面就以此为切入点来解决问题.勾股定理的代数形式:     

一类无限维半单李代数

研究了秩为2的Witt型的李代数W2的子代数g1,讨论其同态,同构,核的性质.证明了g1为无限维半单李代数.     

一类复合二次根式的三种化简方法

<正>形如(a■b^(1/2))(1/2))^(1/2)的根式叫做复合二次根式.复合二次根式的化简问题是各类竞赛中的热点和难点问题,本文结合竞赛题介绍一类复合二次根式化简的三种常用方法,供同学们参考.例(2009年北京市中学生数学竞赛     

一类半无限规划的最优性条件

给出一类广义ηs-凸函数的定义,在其基础上研究并确定广义ηs-凸规划的最优性条件．