巧解方程

,盗,-立甲-孟甲-人,-五.甲-‘,. 解 方程丫:+万马万索万一二.. 广东中山一中高中部(528403)许少华提供 (答案在本期找) -‘.,-血VI‘已v-1.,-二.甲-‘甲- 本期智慧窗《巧解方程》参考答案 解若,<丫可干丁,则 拭v俪万<、厚石不万<丫5十、厅瓦库万 与原方程矛盾. 圣二 厂 同理,若x>甲写干丁也与原方程矛盾 于是二一了丽万,又由于,>o 训厄丁+1 1译工一—万一一一。 乙 麟翻.目峨礴溺略猫翅祖嘿麒藕蘸稚糟体趁麟裁魏百哪翻蹄粼褥魂姐奔漆庵淤编{嵘撬琳二枷一流孤 萝知护扮二豁Z沪岁巧解方程~~…     

智慧窗

1.巧求最值求函数y一打几云拜妥丽 丫赢不而 办二福丽的最大值(。镇口成动. 2.巧证不等式设a>。，b>。，。>o，求证丫(a e)(b 。)十了而二万丽二万镇2抓孤. -令-令-令.今t令.今-令-令-令-令、令-今-令-令-今.今-令.令-今.了本期智慧窗《巧求最值》参考答案构造向量了~(1，1，1)，万一(们下而丽干而歹，了co留 2则a，丫3一si叨). !了{一万，I万}~涯，万=丫1一cos夕 。in夕 丫eos夕 2 丫3一sin夕，而万·了簇}万{·}万!，所以y(万·派- 3在故y的最大值为3涯、r，。、、r，l一eos夕 sino eos口 23一51叨当且仅当二一带七巡一二针二一冬滞时取…     

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求最小值 在△ABC中,已知AB一AC一1,匕A一200,E、D分别是AB、AC上的动点.求BD DE EC的最小值.北京师大二附中(100088) 张鸿菊提供省 (答案在本期找).立已甲-人昌甲.‘.甲-盆舀甲-三V-渔.丫-人甲*人.丫-五口,-‘,-人甲-人甲-人,.人甲-么,-智慧窗《求最小值》 参考答案 作B关于AC的对称点B‘,作C关于AB的对称点C‘.则 BD十D它多 ,产户C‘比几__十EC一B,D DE EC’)B,C‘. 易知厂B恤C‘一60“,AB’一AC’一1, 得到B’c’一1. BD DE十EC的最小值为1.智慧窗@张鸿菊$北京师大二附中!(100088)…     

智慧窗

如图,是在一正方形中挖去一等腰直角三角形,请再画一正方形,使其面积恰为这图中正方形所剩余部分的面积.智慧窗《巧作图》参考答案 作一直角三角形,使其中一直角边等于挖去的那个等腰直角三角形底边的一半,令其斜边的长等于原正方形的一条边,则这直角三角形的另一边即为要作出的正方形的边长.为什么?请自证.口智慧窗@裴庄!北京     

智慧窗

“二00田”翅题三则 1.从2004减去它的合,再减去余下的合,再减去余下的奋,…,直到减去余下的赢,最后剩下的数是多少? 2.在平面上有2004个点,是否存在一个圆,使得这个圆内和圆外的点数各有一半? 3.已知方程(2003x)2一2002·2004x一1一。,较大根为a,牙 20o2x一2003一o,较小根为召,则a一召值为多少? 山西省汾西县第一中学(031500) 刘惠文提供 (答案在本期找)、自,·~一,.令·,一,.,.~”今.今.杏。~.~.~.~一~.~.~.智慧窗参考答案200‘(l一翎‘一t)(‘一扑·(‘一赢)一2。。4火合只普只补…x撇 2.对这2004个点中的任意两点,作它的垂直平分线,这有…     

巧用几何画板 探索优美等式

《中学生数学》杂志2001年11月下期的“智慧窗”栏目刊登过这样一道题目:如右图,E、F、G、H是正方形ABCD各边的中点,不用计算,你能看出四边形PQRS的面积是正方形的几分之几? 今用几何画板探究,得到正方形的又一完美的性质. 打开几何画板,利用旋转工具绘制好右图,同时,设置好以下按钮:     

智慧窗

怎样剪拼 ?　　把一个正五边形纸片剪开拼成一个正五棱柱模型 ,使五棱柱的全面积等于原正五边形的面积 ,怎样剪拼 ?北京师大二附中 ( 1 0 0 0 88)张鸿菊提供(答案在本期找 )智慧窗《怎样剪拼 ?》参考答案　　如图 ,沿所有虚线剪开 ,以其中小五边形为正五棱柱的下底 ,以五个小长方形为五棱柱的各侧面 ,再将余下的五个小四边形 (带阴影者 )拼成一个正五边形作为上底 ,即得正五棱柱 .智慧窗$北京师大二附中!100088@张鸿菊     

解“老师的生日”一题

《中学生数学》杂志,是中学生喜欢的杂志之一,今读到2003年9期《中学生数学》中智慧窗中的一题:算式中“今天我们老师的生日”九个汉字分别代表1～9.你能写出这个有趣的等式吗?     

直角三角形的一个性质推广及应用

在直角三角形中,我们知道有 定理I宜角三角形中,斜边上高的倒数的平方等于两直角边倒数的平方和。 将其向空间推广,可得 定班2已知三棱锥C一ABC,匕AOB。乙BOC。乙CO才二0.,棱O刁、OB、OC分别为Rt△OAB中, 1一二土 O力名。.由定理l得+公:.(,,今7Ca、b、c, 证明h为高,则 又在Rt△ODC中,OE土DC,E为垂足,则 止_,*七+J_- O万,一O方:’玉:·将(1)代入上式,得(图1)才:一泰+小+二一人+ 命-,.’刁刀上OC典;+1.‘若C.作OD土A刀交月刀于D,则OC上OD,在,通刀止OD,.、AB土面ODC,从 少33而AB上O君,又O百一DC,.’.OE一面汉BC,即O…     

智慧窗

一孟--孟一-人一一玉一 肠肠0瞬 下下下下 1.请你把13至21这九个数填人图 中方格内,使每个正方形内4个数的和均为 51. (山西省太谷县新旺街221号《030800)要二海) 2.图中是由。至19组成的(其中歇 1已填好).请你换一换,填一填,不但要求每 条直线上六个数字的和都相等,而且要求五 条直线上六个数字的和最小,那么,这个和最 小是,该如何填? 《山西要二海) 3.请在图中空格里填上适当的运算 符号,使得数为51,你能在一分钟内完成吗? 提示:+、一、X、十四种运算符号最少 出现一次. 51 51 51 51 }51 (山西要二海) 国内统一刊号 CNll一1531/01 国外…     

格点多边形简介

<正>本刊2018年5月下的智慧窗第4题为算面积:图1中16个小方格组成的正方形,其中间画了一个三角形,你能指出此阴影三角形的面积是多大吗?参考答案是7个小方格.因为16-(4+3+2)=7(小方格)笔者估计,计算方法是以1个小方格的面积为1,然后从正方形ADFE中减去三个三角形△ABD,△BCF和△ACE的面积后得到结果的.其实,这是典型的求格点三角形面积问题的方法.先说说什么叫格点:一张方格纸,上面画着纵横两组平行线,     

一类最值题的求解

设x,g,:是三个不全为零的实数,对于任意给定的三个正数a,日,丫,如何求解二、不,_,,,、_丫xy ag: 日。,、二函数才(x,夕,约二~上卫i舒毕升二毕兰的最大一一一”万‘十犷 扩值呢?这是一个有趣的难度比较大的最值问题.本文通过配方业实施巧妙替换来分步解决这一间题 定理1一1寻胃—十一~a‘十1 1日“十1 1YZ 1d“J万价入Z(a,日,Y〔R卜), 丫x万 a夕: 日-平下百恋干尹~一邓丫气,一 2==1,(1)当且仅当里召~一嘿并,二兰黔·成立时式(1)有等号 证对任意正数a,b,c,由 X: ;2 ·“一2(了公云斋雨·, 了;赢{蕊若脚·丫云漂高动 2、l乙甲a(白 c) 夕甲…     

谁先爬到终点?

人甲-么甲-‘甲-‘甲-人甲-人甲.人甲-人甲-么下-人甲-人甲-人甲-谁先爬到终点? 蚂蚁A和B分别从图中顶点A和B同时出发,比赛谁先爬过图上所有线段到达终点C,假设它们爬行的速度相同。 北京阿秋提供/\\/-么甲-人,-么甲-么V-直甲-‘甲-人甲-压甲-人甲-么甲-么甲-孟甲- 智葱窗《谁先爬到终点?)) 参考答案 蚂蚁B先到达.因为图上只有B和C是奇顶点.所以从B到C可以一笔画,而A是偶顶点,必须先从A爬到B,再从B开始一笔画到C.因此蚂蚁A比B要多爬从A到B的线段.口谁先爬到终点?@阿秋!北京…     

也谈“趣分正方形”

<正>贵刊在2015年3月下的智慧窗,刊登了王秉春老师的文章"趣分正方形":如图1,是一个8×8的正方形,请你从该图中去掉一个小正方形,将剩下的63个小正方形分成21个1×3的长方形.文中虽只有一个答案,但非常精彩,并很有启发.现进一步地探讨:在图1的64个小正方形中去掉了怎样的一个小正方形才符合题意,总共有几种去法?试一一列举.并阐明理由.为此,借贵刊一角,介绍出来,与     

小强穿越记——勾股史话

<正>剧中人表演者小强学生甲饰毕达哥拉斯——学生乙饰随从学生丙饰小强:这是什么地方?随从:别动,你闯入了古希腊数学圣地!报告宗主,我抓住了一个人.毕达哥拉斯:先把他看住,等我宣布一个伟大的发现之后,再来处置他!你看图1,这是什么?随从:直角三角形!毕达哥拉斯:在它的三条边上,各画一个正方形,如图2,我发现,大正方形的面积恰等于两个小正方形面积之和.     

介绍解几中的一个三角形面积公式

点c(:3刁3)到直线l:夕~肠十b(七一夕 b~奋1公式 设爪二,.夕,).川:2.,2)为直线l:夕一七 b上的两个不同点,以,3.夕:)为直线l外一点.则△A肥的面积是O)的距离:汀=}打:一夕3十川 丫l 护①、一合②“一合xZ一x:}·{衍3一y3 bl;所以s△一告}“。卜“一合,不2一。’们平PXZ一XI}川(当(二3.y3)为原点){无J:一夕3 b{ 丫l 无2┌─┐│斤│└─┘证明如图1日川一丫(二2一二,)2 (,2一,J)2 ,/1,,2一,l、2苏,一不“习‘宁场砰i万’一音‘一,·‘七厂“3 “’把,3一0.,3一0代入书式得J一l:2一:,}们不砰 S。一2应用李l:,一:1卜}。}艺’甲尹中学数学(湖…     

一道联赛题的两种新解法

题目必的最大值.若:井0,求解1(1992年全国初中数学联赛题)要使原式有最大值,必须:)0.(配偶法)令 力不尹泣石而一丫万下尹材:二二——一——,召互干乎不石万+了丁浮石飞矛,二二二则(、万不王丁平户)“拄矛、‘二一——一-一一—兰-心三鱼一i一1,一在不二+存石一价令一)2十3+在事藕当一圣一云二O,即x~l时砂.小~ 故当林.大--了了+抓牙.1时, l沂百十丫-百~丫万~一汀. 附:上述解法受本刊1991年第7期《配偶·运算·解题》一文启发而得.更值得一提的是,该文的例16:“设:>0,试求;~了下十介一沂再二。。大值一,与这道联赛题类似. 解2(解析法)但 一扛…     

破译密码

-三O丫.‘.丫-人甲l人V。盛甲-盛 有一密码3·ABCPQR一4·尸Q凡ABC,其中每个字母都表示一个十进制数字.试将这个密码破译成数字形式.-玉.,-人甲.盆二,二盆舀甲-人甲-人︸大丫扣VJ内一,﹄丫﹄﹄、人丫,︸丫石丫︺、去口、六卜,扒、八︸1丫J以,大﹄,八一,﹄ 将ABC与尸Ql之视为两个整体.设ABC一二,尸QR一y,则3(I000x+y)一4(1。。。y+二),于是可得428x一571y.因为x,y为三位数且428与571互质.所以x一571,y一428.所求密码为3·571428一4·428571岑签丫咨丫丫丫丫丫咨丫签丫岑签丫丫丫丫丫丫丫丫丫丫丫丫咨岑丫丫咨咨岑岑丫丫?((((((((((…     

一类递归数列的通项的求法——辅助等比数列法

力二一口占+一十 本刊1984年第五期介绍了形如“a:+:二扣·+:十尹的递归数列的通项的求法,在它乙。十:口。+,二丫工上二_口.+仪a。+口的启发下,‘我对形如“a。,:=丫·an+aa。+户其a。+1+q了’瓦不下中了寺。、a:+口“奔O”的求法进行了一番探讨,现将结果叙述如下 已知数列{a。}满足条件口:二a,a.,:=了·丫+P了十q .丫a+P夕“n-I-一 丫十,口n+a,+a云丁万,其中下寺0,a“+卢忍今0,求a:。丫a+叮口了+g 解设辅助数列{b.}的通项占。其中P,q为待定数,且夕寺q,则口,+乡a。+q.’.鱼」旦= 口n丫+夕了十qan+口.+=Z土兰. 了+q(·:十琴十罗)‘一‘”(…     

关于图的规范拉普拉斯特征值和的若干结果（英文）

对任意一个连通图G,记L(G)和L(G)分别为G的拉普拉斯矩阵和规范拉普拉斯矩阵.令μ_1≥μ_2≥…≥μ_n=0和λ_1≥λ_2≥…≥λ_n=0分别为G的拉普拉斯特征值和规范拉普拉斯特征值.本文给出了λ_1的三个新的下界.前两个下界优于Das等在[Ars Cormbin.,2015,118:143-154]中给出的下界,第三个下界优于张晓东在[Ars Combin.,2004,72:191-198]中给出的下界.另一方面讨论了规范拉普拉斯特征值与G的度序列之间的关系.同时也讨论了图的拉普拉斯特征值和规范拉普拉斯特征值之间的关系.