欧拉不等式的六层隔离——几何画板用于初等数学研究一例

1问题的提出人们熟知:9r≤(1)ha hb hc≤(2)ia ib ic≤(3)ma mb mc≤(4)92R(Ⅰ)式中a,b,c表示△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,ha,hb,hc;ia,ib,ic;ma,mb,mc分别表示过A、B、C三点的高线,角平分线及中线的长.最初笔者猜想,有以下不等式链:3r≤(1)31ha 1hb 1hc≤(2)3hahbhc≤(3)ha hb h     

shc66的再加强

刘健先生在文 [1]中提出 10 0个待解决的三角形不等式问题 ,其中第 66个问题是shc66　设△ ABC三边 a、b、c上的高线长和中线长分别为 ha、hb、hc,ma、mb、mc,∑ 表示循环和 ,则　　∑ hamb+ mc ≤ 32 ( 1)文 [2 ]中 ,吴跃生先生证得较 ( 1)式强的一个不等式　　∑ hambmc≤ 3 ( 2 )从而解决了 shc66.本文进一步加强不等式 ( 2 ) ,得到下述定理　在△ ABC中 ,有∑( hambmc+ hbmcma) 2≤ 12 ( 3 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .证明　设△、p、R、r分别表示△ ABC的面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径 ,则( 3 )式 ∑( △a m…     

不等式研究成果集锦(5)

48.△ABC三边长为a、b、c,半周长为s,则　∑(s-b)2 (s-c)2b2 c2≥∑sin2A2≥∑2(s-a)2b2 c2≥34.(褚小光.1998,5)49.在△ABC中,ma、mb、mc,ta、tb、tc,ha、hb、hc,ra、rb、rc,分别表示其中线、角平分线、高线、傍切圆半径,R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆半径,则(1)Rr≥∑m2a∑mbmc ∑mbmc∑m2a,∑t2a∑tbtc ∑tbtc∑t2a,∑h2a∑hbhc ∑hbhc∑h2a,∑r2a∑rbrc ∑rbrc∑r2a.(2)Rr≥∑ma9r 9r∑ma,∑ta9r 9r∑ta,∑ra9r 9r∑ra.(尹华焱.1998,5)50.在△ABC中,三边为a、b、c,其对应边上的高分别为ha、hb、hc,则(i)∑(b-c)2≥19∑(b ca)2…     

不等式研究成果集锦(7)

73.ma、mb、mc分别为△ ABC三边 a、b、c的中线 ,则　　　 ∑ maa ≤ ∑bc .∑a22 abc ,当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .(褚小光 .1999,1)74 .△ ABC三边为 a、b、c,ma、mb、mc,R,r,s分别为△ ABC的中线 ,外接圆半径 ,内切圆半径和半周长 .若△ ABC为锐角三角形 ,则∑ambmc≥ s4 ( 4 s2 - 2 1Rr 6r2 ) ,并由此推出以下各式 :( 1) ∑ambmc≥ 23s3;( 2 ) ∑a( mb mc) 2≥ ∑a .∑a2 ;( 3) ∑bcma ≥ 4 39s3. (褚小光 .1999,1)75.设△ ABC各角均小于 12 0°,F为△ ABC的Fermat点 .ta、tb、tc分别为△ ABC的角平分线 ,则34 ( …     

对一个中线不等式的再探讨

笔者曾在又［1」中给出了一个中线不等式，其结论较弱，在不文里，我们将进一步探讨文［1］中提出的问题．本文将统一采用以下记号：在△ABC中，三边长为BC=a，CA=b，AB=c，其对应中线分别为ma、mb、mc，R、r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径，“∑”麦示循环和，“Π”表示循环积．定理在△ABC中，有当目仅当面ABC为正三角形时，（1）式取等号．为证定理，需用到以下几个引理．引理1在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（2）式取等号·引理1的证明可参见文［2］．引理2在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（3…     

Cordon不等式的逆向不等式

设a,b,c分别为△ABC的三条边长,ha,hb,hc分别为三边a,b,c上的高,ta,tb,tc分别为△ABC三个内角的平分线长,R,r分别为△ABC的外接圆半径、内切圆半径,p为△ABC的半周长,表示对a、b、c循环求和.文[1]介绍了1967年,V.O.Cordon建立的不等式:a2hb2 hc2≥2.本文建立Cordon不等式的逆向不等式:a2hb2 hc2≤Rr.当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明　在△ABC中,ha=c.sinB,hb=a.sinC,hc=a.sinB.∴hb2 hc2=a2sin2C a2sin2B=a24R2(b2 c2)∴hb2 hc2a2=14R2(b2 c2),a2hb2 hc2=4R2b2 c2.∴a2hb2 hc2=4R21b2 c2≤4R212bc=4R2abca2=4R2pabc…     

不等式研究成果集锦(8)

88.在△ABC中,当n=4,5,6时,有∑cosnA≥1+8(3.2-n-1)∏sinA2.(黄拔萃.1999,2)89.△ABC三边长分别为a、b、c,其对应中线分别为ma、mb、mc,则　　∑ama≥4∑ma∑a,当且仅当△ABC为正三角形时取等号.(尹华焱,褚小光.1999,2)90.在△ABC中,三条中线分别为ma、mb、mc,三条角平分线分别为ta、tb、tc,半周长为s,则3∑t2a.∑m2a≥s2∑mbmc.(褚小光.1999,2)注:这是杨学枝提出的猜想,褚小光予以证明.91.设H′为伪垂心,过H′的Cave线长分别为f1、f2、f3,AH′、BH′、CH′长分别为R1、R2、R3.对应的Cave线的剩余部分分别为r1、r2、r3,△ABC三边长为a、b、c,E′F′=a′,D′E′=b′,D′F′=c′,若△ABC为锐角三角形,则(i)∑a′k≥2-k∑ak(k≥1);(ii)∑Rk1≤(23)k∑fk1(0     

关于三角形中线的一个不等式

文 [1 ]给出了关于三角形中线乘积的一个不等式 :mambmc≥ 18R∑b2 c2 ( 1 )本文将给出中线乘积的一个上界 ,以下恒用 a,b,c,ma,mb,mc,s,R,r和△分别表示△ ABC的三边边长、中线、半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积 .并用 ∑ 表示循环和 ,Π表示循环积 .定理　在△ ABC中 ,有mambmc≤ R8(∑a) 2 (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 .证明　由中线公式 4 m2a =2 b2 2 c2 - a2 ,知64m2am2bm2c =Π( 2 b2 2 c2 - a2 )=- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 ∑b2 c2 - 2 7Πa2故 ( 2 )式等价于- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 .∑b2 c2 -2 7Πa2 …     

Janic加强不等式的逆向思维

本文约定 :△ ABC的三边长、半周长及三边上的高和旁切圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、p、ha、hb、hc、ra、rb、rc、r,∑ 表示循环和 ,∏ 表示循环积 .R.R.Janic曾建立如下不等式 :在△ ABC中 ,有　　∑ rahb+hc≥ 32 (1)文 [1]、[2 ]将不等式 (1)加强为 :　 rahb+hc . rbhc +ha . rcha +hb ≥ 18(2 )本文将给出不等式 (2 )的逆向不等式 :　 rahb+hc. rbhc +ha. rcha +hb≤ p22 16 r2 (3)证明　由常见恒等式 ha =2 rpa ,abc =4Rrp,rarbrc=rp2及常见不等式9abc≤ ∑a∑bc,∏(b+c)≥ 89∑a∑bc,∑bc≤ 43p2知rahb+hc . rbhc+ha . rcha …     

一个几何不等式的证明

设P是△ABC平面上一动点,关于和式PA+PB+PC的下界用三角形常见元素表示的不等式有很多好结论.本文将建立和式PA+PB+PC的一个漂亮、简洁的不等式,并由之推证两个稍弱的不等式.以下恒用a、b、c,ma、mb、mc、ha、hb、hc分别表示△ABC相应的边长,中线和高,以s,△,r分别表示△ABC的半周长,面积和内切圆半径.     

不等式研究成果集锦（4）

37.△ ABC三边长为 a、b、c,其对应中线分别为ma、mb、mc,R与 r分别为此三角形的外接圆半径与内切圆半径 ,则(i) ∑(maa) 2 ≤ (Rr) 2 (rR) 2 - Rr;(ii) ∑ mbmcbc ≤ 14 Rr;(iii) ∑ maa ≤ (Rr) 2 (rR) 2 Rr 12当且仅当△ ABC为正三角形时 ,上述各式取等号 .(马统一 .1     

周界中点三角形的又两个性质

如图1,设D、E、F分别为边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=a 2b c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为△、R、r,△DEF的面积为△1,则有图1定理条件如前所述,设△ABC与△DEF的三条高线长分别为ha、hb、hc,及ha1、hb1、hc1,则(i)hb2ac1 hca     

中线三角形的几个性质

在△ABC中,记三条边a,b,c上的中线依次为ma,mb,mc,外接圆半径为R,内切圆半径为r,面积为△．     

四面体中的Jani(c)不等式

R.R.Jani(c)曾建立如下不等式[1]: ∑ra/hb+hc≥3/2 (1) 其中ha、hb、hc、ra、rb、rc分别为△ABC三边上的高和旁切圆半径.∑表示循环和. 本文将其类比到四面体中,得到四面体中的Jani(c)不等式.     

一个三角形不等式猜想的否定

文[1]中,褚小光先生建立了一个涉及三角形中线和旁切圆半径的不等式:　　　　∑1m2a r2a≤92s2.(1)并且提出了如下猜想:　　　　∑1m2a r2a≥6∑a2.(2)其中a、b、c为△ABC的三边,ma、mb、mc,ra、rb、rc分别为三边上的中线和旁切圆半径,s为半周长.本文否定这一猜想,并得到定理　在非钝角三角形ABC中,有　　　　∑1m2a r2a≤6∑a2.(3)证明　根据三角形中线公式ma=122b2 2c2-a2,旁切圆半径公式ra=△s-a以及海伦公式△=s(s-a)(s-b)(s-c)(△为△ABC的面积),(3)式等价于　　　　∑a2 b2 c2m2a r2a-6≤0　∑(a2 b2 c2)-2(m2a r2a)m2a r2a≤0　…     

一个三角形不等式的加强

设非钝角△ABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c,a≤b≤c,ma,ha分别为BC边所对应的中线长和高线长,R、r分别为△ABC的外接圆半径,内切圆半径.杨学枝老师在文[1]证得:     

两个几何不等式

设P是ΔABC内部任意一点,P至边BC,CA,AB的距离分别为r1,r2,r3,且分别交于D、E、F.令PA=R1,PB=R2,PC=R3;BC=a,CA=b,AB=c.ha,hb,hc分别表示△ABC的高,R,r,△分别表示ΔABC的外接圆半径、内切圆半径和面积;以∑,∏分别表示循环求和与循环求积.     

Shc 93的证明

设 P是△ ABC内任意一点 ,△ BPC、△ CPA、△ APB的外接圆半径分别为 Ra、Rb、Rc、∠ A、∠ B、∠ C的内角平分线分别为 wa、wb、wc,相应边上的中线分别为 ma、mb、mc.∑ 表示对 a、b、c循环求和 .刘健在文 [1 ]中提出了如下猜想 :Shc93　∑ Rama wa≥ 1 ( 1 )本文证明猜想不等式 Shc93成立 .先给出下面两个引理 :引理 1 [1] 　设 P是△ABC内任意一点 ,记∠ BPC=α,∠ CPA=β,∠ APB=γ,则有tan A2sinα tan B2sinβ tan C2sinγ≥ 2 ( 2 )引理 2　 ma wa≤acot A2 ,a2 ,当 A≤π- arccos13时 ;当 A≥π- arccos13时 .(…     

对三角形三线之和的一个猜想的证明

江苏褚小光先生于2009年3月7日在全国不等式研究网站上提出如下猜想. 　　在非钝角△ABC中,外接圆半径为R,BC为最小边,ma、wa、ha分别为BC边上的中线、角平分线、高线,则ma+wa+ha≥(9)/(2)R, ① 　　当且仅当△ABC为正三角形时(*)式取等号.……     

外角平分线构成的三角形的又一个性质

定理如图,△DEF是△ABC的三条外角平分线构成的三角形,△ABC与△DEF的三条中线分别为ma、mb、mc及md、me、mf,则m2d+m2e+m2f≥4(m2a+m2b+m2c)(正三角形)(1)