单调函数的一条性质及应用

由单调函数的定义不难知道: (1)函数f(x)在区间M上是增函数的充要条件是对于M上的任意两个不同的自变量值x_1和x_2都有(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0成立。 (2)函数f(x)在区间M上是减函数的充要条件是对于M上的任意两个不同的自变量值x_1和x_2都有(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0成立。 本文利用上述性质解一类数学问题,将显得简便,现举例说明之。 例1证明函数f(x)=-x~3 1在(-∞, ∞)上是减函数(91年全国高考题)。     

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

广义凸函数性质初探

设函数f（x）在区间I上有定义．如果对于任意x_1、x_2∈I和t∈（0，1）有则说f（x）在I上为下凸的．如果对于任意x_1、x_2∈I和t∈（0，1）有则说f（x）在I上为上凸的，如果对于一切t∈（0，1），（1）式（（2）式）中的等式仅当x_1＝x_2时成立，则说f（x）在I上为严格下凸（严格上凸）的．显然，如果f（x）在I上是上凸的，则－f（x）在I上就是下凸的．为此，以下我们着重讨论下凸函数由［1］，若函数f（x）在区间I上连续且对任意x_1、x_2∈I成立，则f（x）在I上是下凸的．对于凸函数，我们有著名的Jensen不等式：命题1设f（x）是区间…     

逐段单调连续函数嵌入拟半流问题

<正> 则说F可以嵌入连续半流φ. 在定义(1),(2)中,把R~+换成R=(-∞,+∞),则φ叫做M上的连续流.显然,若φ为流,φ限制于M×R~+上为半流,这时称(3)中的F可嵌入流.易知可嵌入连续流的映射必为同胚.关于线段上或圆周上的同胚可嵌入连续流的条件的研究,已有相当完善的结果,例如[1—3],但映射嵌入半流的条件,目前所知甚少.     

非可微凸规划的非控解、真有效解与鞍点准则

§1.非控解的充要条件考虑问题(MP)其中C为局部凸线性拓扑空间X中凸集,各f_i和g_k为X上的实连续凸函数。若有α∈intR_+~n,λ∈R_+~m,x_0∈C,使对所有(x,y~*)∈C×R~m有 L_α(x_0,y~*)≤L_α(x_0,λ≤L_α(x,λ) (1)其中L_α(x,y~*)=<α,f(x)>+,则称(x_0,λ)为L_α的鞍点。设x_0为(MP)的非控解(也称有效解,Pareto极优解),若存在α,λ使(1)式成立,则称(MP)在x_0关于α适合鞍     

链可迁映射

本文讨论紧致度量空间 X 上的链可迁自映射 f,主要证明了:1.f 不是链可迁的充要条件是存在非空开集 U,使(?)X 且 f((?))(?)U。2.若满射 f 的ω极限集含于 f 的一个链分支(链混合分支)之中,则 f 在 X 上是链可迁(链混合)的。3.若 X=S~1或 I(=[0,1]),f 是链可迁的且具有伪轨道跟踪性质,则 f 敏感依赖于初始条件且在 X 上的强混沌的。4.若X=S~1或 I 且 f 为满射,如 Γ((f)=(?)(ω(x,f)∩α(x,f))含于 f 的一个链分支(链混合分支)之中,则 f 在 X 上是链可迁(链混合)的,若Γ(f)连通,则 f 在 X 上链混合的。     

特取法解有关函数方程

在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法叫“特取法”,下面谈谈特取法解有关函数方程的几个问题。一、证明函数f(x)的周期性例1设函数f(x)定义在整数集,且满足f(0)=1,f(1)=0,f(x_1 x_2) f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),证明f(x)为周期函数。证明特取x_2=1,可得f(x_1 1) f(x_1-1)=2f(x_1)f(1)=0 再用x_1 2代入x_1且特取x_2=1,可得f(x_1 3) f(x_1 1)=2f(x_1 2)f(1)=0 由上述两式得f(x_1 3)=f(x_1-1) 令x_1=x 1得f(x 4)=f(x) 故f(x)是以4为周期的函数。二、证明函数f(x)的奇偶性例2已知f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y)对于一切实数X、y都成立,且f(0)≠0,     

圆周自映射的回归点和非游荡点

<正> 设S~1为圆周,并设f:S~1→S~1为连续映射.f的周期点集、回归点集和非游荡集分别记作P(f)、R(f)和Ω(f).f的拓扑熵记作ent(f).本文将证明: 定理 设f:S~1→S~1为连续映射.若P(f)≠φ,则 (1)P(f)=R(f).     

问题11与问题12

<正>问题11（供题者：复旦大学严金海）设f为R上的非线性连续函数,称x_0∈R为f的严格凹支撑点,若存在k∈R使得f(x)>f(x_0)+k(x-x_0),?x∈R{x_0}.类似地,称x_0∈R为f(x)的严格凸支撑点,若存在k∈R使得f(x)相似文献   

曲线凹向判定定理的一个证明

<正> 关于函数y=f(x)的图形的凹凸性的定义,一般高等数学教材大致有两种。定义1 若曲线弧位于其每一点处切线的上方,则称此曲线弧是向上凹的;若曲线弧位于其每一点处切线的下方,则称此曲线弧是向下凹的。定义2 设f(x)在[a,b]上连续,若对于(a,b)内任意两点x_1,x_2,恒有     

在函数与导数中感悟“脱f”

<正>函数单调性的定义要求掌握"三用":正用:任取x_1、x_2∈D,x_1>x_2,若f(x_1)>f(x_2),则f(x)在D上单调递增;逆用:任取x_1、x_2∈D,x_1>x_2,若f(x)在D上单调递增,则f(x_1)>f(x_2);变用:任取x_1、x_2∈D,若f(x)在D上单调递增,且f(x_1)>f(x_2),则x_1>x_2.我们把变用单调性定义的这类题型叫做"脱f",此时解题关键是注意函数的定义域及单调性.函数中常见的脱f问题有以下三种,如遇到其他的问题,划归"母图"思想将有力地简化数学问题.     

函数f(x)=sinx/x单调性的妙用

我们将看到,利用sinx/x的单调性来解一些题目显得非常方便简捷。为此,先证明定理函数f(x)=sinx/x在(0,π)内严格递减。证明当x∈(0,π/2)时,设0相似文献   

deg≥2的圆周自映射

<正> 记 R=(-∞,+∞),I=[0,1]和 S~1{e~(2πxi)|x∈I}.S~1是复平面上中心在原点的单位圆周.S~1上全体连续自映射的集合记为 C~0(S~1,S~1).设 f∈C~0(S~1,S~1),f 的周期集合,不动点集,周期点集,非游荡集和拓扑熵分别记为 p(f),F(f),P(f),Ω(f)和ent(f).此外,用 deg(f)记 f 的拓扑度或层数(一种定义见§2).关于圆周自映射所产生的动力系统性质已有很多人进行了讨论.据作者所知,所有这种讨论还仅限于在某种条件下寻求拓扑熵下限的最好估计以及 Sharkovskii 和 Li Yorke     

图映射的负极限集

设G是一个图,f:G→G是一个连续映射.若G上的一个点列θ=(x_0,x_(-1),…,x_(-n),…)满足f(x_(-n))=x_(-n+1)(对任意的正整数n),则称θ为f过x_0的负轨道.θ的α-极限集就是θ的所有极限点集α(θ,f).本文证明f的每个负轨道的α-极限集都是G上某个点的ω-极限集.此外,本文还构造一个例子说明上述结论对无穷树(dendrite)映射不成立.     

分段函数的求导方法

分段函数f(x)的求导步骤可归结为:一、如果函数在各段开区间内可导,则可求出它在各开区间内的导数.二、判断分界点x_0处的可导性:1.若函数在x_0点不连续,则它在x_0点不可导.2.若函数在x_0点连续,且在x_0的邻域内(x_0除外)可导,则(1)当(?)f′(x)存在,设为A时,函数f(x)在x_0点可导,且f′(x_0)=A;     

交比和Poincaré度量在平面拟共形映射下的偏差

研究了交比和Poincaré度量在平面拟共形映射下的偏差估计,得到了如下两个结果(1)若f是■~2到■~2上的k-拟共形映射,则对任意x_1,x_2,x_3,x_4∈■~2有16~((1/k)-1)(|(x_1,x_2,x_3,x_4)| 1)~(1/k)■|(f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4))| 1 ■16~(k-1)(|(x_1,x_2,x_3,x_4)| 1)~k;(2)若f是R~2到R~2上的k-拟共形映射,D是R~2中的任一真子域,则对任意x_1,x_2∈D有(1/k)λ_D(x_1,x_2) 4((1/k)-1)log 2■λ_(f(D))(f(x_1),f(x_2)) ■kλ_D(x_1,x_2) 4(k-1)log 2.     

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …     

S1上一类自映射的迭代根

本文给出了圆周上dege(f)=0的分段严格单调的连续映射f存在任意阶迭代根的充分必要条件,得出了f存在任意阶迭代根等价于可以嵌入一个拟半流的结论.     

S~1上一类自映射的迭代根(英文)

本文给出了圆周上dege(f)=0的分段严格单调的连续映射f存在任意阶迭代根的充分必要条件,得出了f存在任意阶迭代根等价于可以嵌入一个拟半流的结论.     

学习数学分析中基本概念的两点体会

一、从“举反例”談起要想精确地掌握一个数学概念,光靠背誦几遍定又是不够的,必須从正面、反面去理解它。把一个概念与其他概念进行比較,找出区別和联系,从而才能更深刻地理解这个概念的实貭。“举反例”就是比較、区分各个不同概念的有效方法之一。我們以連續、可微、有連續微商这三个概念为例說明“举反例”的作用。为此,先将它們的定义敍述如下: Ⅰ.連續:若f(x)在x=x_0的邻域內有定义,且(?) f(x)=f(x_0),則称f(x)在x=x_0連續; Ⅱ.可微:若f(x)在x=x_0的邻域內有定义,且(?) f(x)-f(x_0)/x-x_0=1,则称f(x)在x=x_0可微,l叫做f(x)在x=x_0的微商,記为f′(x_0)=l; Ⅲ.有連續微商:若f(x)在x=x_0邻域內点点可微,且f′(x)在x=x_0連續,则称f(x)在x=x_0有連續微商。为了找出这三个概念之間的区別和联系,我們很自然地提出如下四个問題: 1° f(x)在x=x_0可微,能否得出f(x)在x=x_0連續? 2° f(x)在x=x_0連續,能否得出f(x)在x=x_0可微? 3° f(x)在x=x_0可微,能否得出f(x)在x=x_0有連續微商?