单位球面S~6中的Blaschke等参超曲面

单位球面中的一个无脐点浸入子流形称为Blaschke等参子流形如果它的Mbius形式恒为零并且所有的Blaschke特征值均为常数.维数m4的Blaschke等参超曲面已经有了完全的分类.截止目前,Mbius等参超曲面的所有已知例子都是Blaschke等参的.另一方面,确实存在许多不是Mbius等参的Blaschke等参超曲面,它们都具有不超过两个的不同Blaschke特征值.在已有分类定理的基础上,本文对于5维Blaschke等参超曲面进行了完全的分类.特别地,我们证明了S6中具有多于两个不同Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面一定是Mbius等参的,给出了此前一个问题的部分解答.     

单位球面上仿Blaschke张量的特征值为常数的超曲面

设x:M~n→S~(n+1)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面,在S~(n+1)的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是:一个黎曼度量g称为Moebius度量;一个1-形式Φ称为Moebius形式;一个对称的(0,2)张量A称为Blaschke张量和一个对称的(0,2)张量B称为Moebius第二基本形式.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Moebius不变量,称为浸入x的仿Blaschke张量,其中λ是常数,仿Blaschke张量的特征值称为仿Blaschke特征值.李海中和王长平(2003)研究了满足如下条件的超曲面:(i)Φ=0;(ii)存在可微函数λ和μ,使A+λg+μB=0.他们证明了λ和μ都是常数,并且给出了这类超曲面的分类,也就是D的特征值全相等的超曲面的分类.本文对满足如下条件的超曲面进行了分类:(i)Φ=0,(ii)对某一个常数λ,D具有两个互异的常数特征值.     

关于具有常平均曲率和数量曲率超曲面的M(o)bius几何的一个注记

设x:M→Sn+1(n≥3)是n+1-维单位球中的无脐点超曲面,M(o)bius不变量(g),φ,A和B分别表示x的M(o)bius度量,M(o)bius形式,Blaschke形式和M(o)bius第二基本形式.本文证明了如果x的M(o)bius形式φ平行,并且A+λ(g)+μB=0,其中λ,μ分别是定义在M上的光滑函数,那么φ=0,由此及李海中、王长平(2003年)文献中的分类定理给出了Sn+1中具有平行的M(o)bius形式及满足A+λ(g)+μB=0的超曲面的分类.此结果推广了他们及张廷枋(2003年)文献中的结果.     

S~5上仿Blaschke张量的特征值为常数的超曲面

设x:M→S~(n+1)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面,在S~(n+1)的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是:一个黎曼度量g称为Moebius度量;一个1-形式Φ称为Moebius形式;一个对称的(0,2)张量A称为Blaschke张量和一个对称的(0,2)张量B称为Moebius第二基本形式.对称的(0,2)张量D=A+λB也是Moebius不变量,其中λ是常数,D称为浸入x的仿Blaschke张量.李海中和王长平研究了满足条件:(i)Φ=0;(ii)A+λB+μg=0的超曲面,其中λ和μ都是函数,他们证明了λ和μ都是常数,并且给出了这类超曲面的分类,也就是在Φ=0的条件下D只有一个互异的特征值的超曲面的分类.本文对S~5上满足如下条件的超曲面进行了完全分类:(i)Φ=0,(ii)对某常数λ,D具有常数特征值.     

S~(n+p)中Mbius第二基本形式平行的子流形的刚性定理

研究S~(n+p)中不含脐点且Mbius第二基本形式平行的子流形,得到了它的Blaschke张量A的模长平方有下界,且对其达到下界的情形进行了分类.     

Möbius Homogeneous Hypersurfaces with Three Distinct Principal Curvatures in Sn+1

Let x : M~n→ S~(n+1) be an immersed hypersurface in the(n + 1)-dimensional sphere S~(n+1). If, for any points p, q ∈ Mn, there exists a Mbius transformation φ :S~(n+1)→ S~(n+1) such that φox(Mn~) = x(M~n) and φ ox(p) = x(q), then the hypersurface is called a Mbius homogeneous hypersurface. In this paper, the Mbius homogeneous hypersurfaces with three distinct principal curvatures are classified completely up to a Mbius transformation.     

S4上仿Blaschke张量的特征值为常数的超曲面

设X：M→S^n＋1州是（n＋1）一维单位球面上不含脐点的超曲面，在S^n＋1的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是：一个黎曼度量g称为MSbius度量；一个1-形式圣称为Moebius形式；一个对称的（0，2）张量A称为Blaschke张量和一个对称的（0，2）张量B称为MSbius第二基本形式．李海中和王长平研究了满足如下条件的超曲面x：M→S^n＋1：（i）Φ=0；（ii）存在可微函数λ和μ使A＋λg＋μB=0，他们证明了λ和μ都是常数，并且给出了这类超曲面的分类．对称的（0，2）张量A＋λB也是Moebius不变量，称为浸入x的仿Blaschke张量，其中A是常数．因此李海中和王长平也就在Φ=0的条件下给出了A＋λB的特征值全相等的超曲面X：M→s^n＋1州的分类．本文对S^4中满足以下条件的超曲面进行完全分类：（i）Φ=0，（ii）对某一个常数λ，A＋λB具有常数特征值．     

S~4中具有调和共形高斯映照的超曲面

设x:M~n→S~(n+1)是球面S~(n+1)中的一个定向超曲面,其共形高斯映照G=(H,Hx+en+.1):M~n→R_1S~(n+3)是M(o|¨)bius变换群下的一个不变量,其中H,e(n+1)+1分别是超曲面x的平均曲率和单位法向量场.本文研究了S~4中具有调和共形高斯映照的超曲面,分类了具有调和共形高斯映照和常M(o|¨)bius数量曲率的超曲面,给出了具有调和共形高斯映照但不是Willmore超曲面的例子.     

球面上具有四个不同主曲率的Moebius等参超曲面

设x:M→S~(n+1)(n≥5)是(n+1)-维单位球面上不含脐点的超曲面,在S~(n+1)的Moebius变换群下浸入x的四个基本不变量是:Moebius度量g;Moebius第二基本形式B;Moebius形式Φ和Blaschke张量A.本文给出S~(n+1)上具有重数1,1,1,m(m≥2)的四个不同Moebius主曲率的Moebius等参超曲面的分类.     

Sn+1中M(o)ebius形式平行的超曲面

如果x:M→Sn+1是不含脐点的超曲面,且M的Moebius形式 =0和Blaschke张量A=λg,就称M为Moebius迷向超曲面,如果x:M→Sn+1 是不合脐点的超曲面,且M的Moebius形式 平行( =0)和Blaschke张量A=λg,就称M为Moebius拟迷向超曲面,这里g是M上的Moebius度量,λ:M→R是M上的光滑函数,本文证明了如下结果: (1)设x:M→Sn+1(n 3)是不含脐点的超曲面,则M是拟迷向超曲面当且仅当M是迷向超曲面,(2)设x:M→Sn+1(n 3)是不合脐点的超曲面,且M的Moebius形式 平行和Blaschke张量A也平行( A=0),则 =0.