方程(dx)/(dt)=(y)-F(x),(dy)/(dt)=-g(x)极限环的存在性

本文运用变换,首先将具有伸向无穷远负半轨的条件推广到本文所研究的方程上,然后证明了几个极限环的存在性定理,推广了 li(?)nard 方程的相应结果。首先设方程组     

方程(dx)/(dt)=φ(y)-F(x),(dy)/(dt)=h(x,y)-g(x)的极限环存在定理

在不同的区域上构造适当的比较函数,将Filippov定理推广到更一般的非线性系统（y）-F（x）,h（x,y）-g（x）.     

方程(dx)/(dt)=φ(y)-F(x),(dy)/(dt)=h(x,y)-g(x)的极限环存在定理

在不同的区域上构造适当的比较函数,将Filippov定理推广到更一般的非线性系统（y）-F（x）,h（x,y）-g（x）.     

方程=h(y)-F(x),=-g(x)的极限环存在定理

在保证 Liénard 系统=y-F(x),=-g(x)(1)存在极限环的定理中, 定理要求的条件普遍认为是最少的.对作为定理的特例之定理,近年有不少加以改进和推广之结果.但对定理本身加以推广,除文[3]外不多见.我们讨论较(1)更广泛的系统(?)=h(y)-F(x),(?)=-g(x).(2)记 G(x)=integral from n=0 to x g(ξ)dξ,令 z=G(x),作变换,记 F_i(z)=F(G_i~(-1)(z)),其中x_1=G_1~(-1)(z),x_2=G_2~(-1)(z)分别是 z=G(x)在 x>0和 x<0时的反函数,在xg(x)>0的前提下,上述反函数存在,这时系统(2)变为     

微分方程=φ(y)-F(x),=-g(x)的极限环的存在唯一性和唯二性

本文§1讨论方程组 (?)=(?)(y)-F(x),(?)=-g(x)极限环的存在性,推广了作者的结果和方法. §2建立了各种类型的极限环存在唯一性定理.包括(E)的一切轨线是否绕原点打转,积分integral from 0 to ±∞(g(x)dx)和integral from 0 to ±∞(F′(x)dx)是否发散,奇点为一个及两个等情况;包括(E)的一切异于零的轨线当t→+∞时都趋于此唯一的极限环,以及可用以确定极限环的位置     

方程(dx-dt=(ψ)(y)-F(x),dy-dt=h(x,y)-g(x))的极限环存在定理

在不同的区域上构造适当的比较函数,将Filippov定理推广到更一般的非线性系统(dx-dx==(ψ)(y)-F(x),dy-dt=h(x,y)-g(x)).     

微分方程(?)=φ(y)-F(x),(?)=-g(x)的极限环的存在唯一性

本文研究两个问题:1.给出方程组存在唯一个极限环的充分条件,与现有结果[5,6]相比,它并不要求环一定同时与F(x)的“零点直线”相交。2.异于通常所见的方法,我们的兴趣在于构造辅助函数:其中△>0满足F(△)=F(-△);是起着重要作用的待定常数(δ>0待定),它使我们可利用g(x)[F(x)-F(△)]和f(x)在一定范围内的定号性(并结合变换)而得到结果。     

方程dy/dx=x/lx~3 mx~2y nxy~2 sy~3极限环的存在性

本文对所给系统研究了三个问题,得到颇为完善的结果:1)当ln≥0时证明无极限环;2)当s<0,ln<0时,作出函数确定奇点0的稳定性,并证明它为焦点(高阶的);3)当s<0,ln<0时给出一种构造Bendixon环域的方法(即构造无切双曲线),在参数平面上得到大块的保证存在极限环的区域。     

方程 =■(y)-F(x),■=-g(x)极限环个数的唯 n 性条件

本文给出方程■=φ(y)-F(x),■=-g(x)至多存在和恰好存在 n 个极限环的条件.与文的著名结果(φ(y)≡y)不同,我们采用了不同的方法,不要求{[F(x)-F(b_j)]f(x)}/[g(x)],g(x)在有关区间单调;当φ(y)(?)y 时放弃了文[8][9]有关φ′(y)单调日限制,而所补充的条件推广和改进了文[5][6](p~(158))[7](p~(349))相应的结果.     

方程=Φ(y)-F(x),=-g(x)的中心焦点判定

众所周知,已有很多文章研究过平面系统的奇点的中心焦点判定方法和判定量的计算.但实际使用起来,都感到很麻烦.本文研究平面广义Lienard方程     

方程 =■(y)-F(x),■=-g(x)极限环个数的唯 n 性条件

本文给出方程■=φ(y)-F(x),■=-g(x)至多存在和恰好存在 n 个极限环的条件.与文的著名结果(φ(y)≡y)不同,我们采用了不同的方法,不要求{[F(x)-F(b_j)]f(x)}/[g(x)],g(x)在有关区间单调;当φ(y)(?)y 时放弃了文[8][9]有关φ′(y)单调日限制,而所补充的条件推广和改进了文[5][6](p~(158))[7](p~(349))相应的结果.     

关于系统(x)=h(y)-F(x),(y)=-g(x) 的中心

本文给出了广义Ｌｉｅｎａｒｄ系统的原点为局部中心和全局中心的几个充分条件及原点为全局中心的充要条件,所得结果推广和改进了文献［１－６］的结果．     

关于微分方程dy／dx=P2（x,y）＋P3（x,y）／y的极限环的存在性

三次微分系统越来越受到人们的重视,但对它却没有一般的处理方法。我们记P_k(x,y)为x、y的k次齐次多项式。文[2]中讨论了     

方程组dx/dt=-y+δx+lx~2+xy+ny~2,dy/dt=x的极限环的唯一性

<正> 关于具实系数的实变量方程组dx/dt=-y+δx+lx~2+xy+ny~2,dy/dt=x的极限环的唯一性问题过去国内数学工作者曾得到不少结果,但仍未能彻底解决问题,本文的目的是要证明定理1 对于任意的系数δ,l,n方程组(1)最多只能有一个极限环.首先回忆一下历史,不失一般性,可假设     

在平衡点附近dx/dt=P,dy/dt=Q出现三个极限环的例子(P,Q 为二次多项式)

<正> ■院士曾经证明方程 dx/dt=P,dy/dt=Q,其中 P,Q 是关于 x,y的二次多项式,在全平面至多能出现三个极限环线.(?)在中证明在焦点和中心型的平衡点附近,如果变动方程的系数可能出现三个极限环线,但至今还不见有出现三个极限环的实际例子.用(?)证明可能性的无穷级数方法要作出一个具体的方程实际上存在着不可克服的困难.本文利用(?)的理论,结合 M.Fr(o)mmer 的求无切环线的方法发展出一套计算法,由它作出了出现三个极限环线的具休方程.最后利用方向场的旋转又得出在平面上有且仅有两个极限环的例子.     

Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件

本文利用变量变换法与常数变易法给出Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件∫P(x)e~(∫Q(x)dx)dx=-1/2∫R(x)dx,同时给出该条件下方程的通解,并由此推得若干类Riccati方程的通解.     

关于扰动系统x=y εPn(y)x,y=-x εQn(x)y 的极限环的上界

本文利用Paincare分支理论,给出了扰动系统(?)的判定函数,并由此得到了该系统极限环最大个数等结果。同时还讨论了Lienard方程x+f_n(x)x+x=0对应的扰动系统(?)的有关问题,很容易得到了文[3]中的有关结论。     

Sur l'intégration de l'équationdz=f(x,y, z)dx+g(x,y, z)dy

Résumé On étudie le système (2), f et g satisfaisant certaines conditions analogues à celles de Carathéodory pour les équations différentielles ordinaires et on énonce des conditions suffisantes pour que ce système admette une intégrale et, de même, des conditions suffisantes pour que l'équation (13) admette une intégrale. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.