体积计算方法的剖析——从祖暅原理到三重积分

结合实例,对祖暅原理、定积分、二重积分和三重积分这四种计算立体体积方法的具体计算过程进行了梳理,以求展示这四种方法之间的内在联系及其适用范围.     

“先重后单”法用于求空间曲面所围立体的体积

学生在用三重积分求体积时，当体积由比较复杂的空间曲面所围成，同学们由于对这样的空间曲面缺乏了解，作图也比较困难，所以通常做起来会感到束手无策，但是如果曲面为绕某一轴的旋转曲面，通过使用“先重后单”的方法，并且充分利用初等数学的公式，可使问题得到大量的简化。下面我们举几个具体例子。例1求曲面（x2＋y2＋z2）2＝a2（x2＋y2－z2）所界体积。分析与解：实际上这个曲面是WZ平面上双纽线（y2＋z2）2＝a2（y2－z2）绕z轴旋转一周而成。过X轴一点D作平行于Xoy平面的平面截旋转体得一圆环，如图1所示，内半径DA，外半径DB，…     

三重积分球面坐标中体积元素的无穷小分析

本文对三重积分在球面坐标中体积元素确定过程中舍弃的无穷小进行了分析,说明该体积元素的合理性.     

直角坐标系下三重积分的计算

给出不画出积分区域的立体图而计算三重积分的方法。     

球面坐标系中三重积分体积微元的分析

三重积分是高等数学教学中的一个重要知识点,特别是球面坐标系下的三重积分的计算.球面坐标系下三重积分的一个教学难点是如何清晰直观的理解体积微元.不同于坐标变换这种抽象的理论分析方式,从体积增量的角度出发,并通过MATLAB绘图,直观形象地给出球面坐标系下三重积分体积微元公式的分析过程.     

一类旋转体积计算法

对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法,P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算,给出三种计算方法,本不仅导出了一类旋转体积的简单计算公式,而且其中的解题思想方法有助于学生提高解题能力和数学素养。     

三重积分的计算方法探析

本文通过两个例子说明如何选取合适的方法计算三重积分,帮助学生理解并掌握三重积分的计算,有效提高学生的数学思维能力.     

计算旋转体体积的一般积分公式

0引言本文首先讨论了平面曲线在直线上的投影长函数 ,平面曲线 (图形 )绕一共面直线旋转所得旋转体的体积函数 ,给出了它们的积分表示式 ,进而得出计算旋转体体积的一般积分公式。关于旋转体体积的计算问题 ,一般标准分析教材 [1,2 ] 中只讨论了平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积的积分公式 ,为了应用上的便利本文将其推广 ,给出平面图形绕任一共面直线旋转所得旋转体体积计算的一般积分公式。一般认为平面曲线是 (开 )直线段到平面内的一一的 ,双方连续的 ,在上映射的象[3] .在直线段a≤ t≤ b上引入坐标 t,在平面上引入笛卡尔直角坐标…     

对称相交圆柱的研究

给出了四个圆柱沿正四面体对称轴方向,六个圆柱沿正方体面对角线方向,六个圆柱沿正十二面体面心连线方向,它们公共相交部分的顶点坐标,表面积和体积.利用数学软件,绘出了它们的三维图形.     

三重积分的计算方法

主要探讨在直角坐标系下三重积分的计算方法与技巧.首先将空间区域分成两大类,并给出用不等式组表示它们的方法,然后就每种区域分别列出化三重积分为累次积分的公式,并举例加以说明.     

On the Union of Cylinders in Three Dimensions

We show that the combinatorial complexity of the union of n infinite cylinders in ℝ³, having arbitrary radii, is O(n ^2+ε ), for any ε>0; the bound is almost tight in the worst case, thus settling a conjecture of Agarwal and Sharir (Discrete Comput. Geom. 24:645–685, 2000), who established a nearly-quadratic bound for the restricted case of nearly congruent cylinders. Our result extends, in a significant way, the result of Agarwal and Sharir (Discrete Comput. Geom. 24:645–685, 2000), in particular, a simple specialization of our analysis to the case of nearly congruent cylinders yields a nearly-quadratic bound on the complexity of the union in that case, thus significantly simplifying the analysis in Agarwal and Sharir (Discrete Comput. Geom. 24:645–685, 2000). Finally, we extend our technique to the case of “cigars” of arbitrary radii (that is, Minkowski sums of line-segments and balls) and show that the combinatorial complexity of the union in this case is nearly-quadratic as well. This problem has been studied in Agarwal and Sharir (Discrete Comput. Geom. 24:645–685, 2000) for the restricted case where all cigars have (nearly) equal radii. Based on our new approach, the proof follows almost verbatim from the analysis for infinite cylinders and is significantly simpler than the proof presented in Agarwal and Sharir (Discrete Comput. Geom. 24:645–685, 2000).     

旋转体的体积计算

研究了空间一类曲线绕任意直线旋转一周生成的旋转体的体积计算方法.     

Volume of the Intersection of Three Spheres

The volume of the intersection of three spheres is represented as a continuous piecewise analytic combination of algebraic and inverse trigonometric functions of the radii and the distances between the centers of the spheres.     

Line Transversals of Balls and Smallest Enclosing Cylinders in Three Dimensions

We establish a near-cubic upper bound on the complexity of the space of line transversals of a collection of n balls in three dimensions, and show that the bound is almost tight, in the worst case. We apply this bound to obtain a near-cubic algorithm for computing a smallest infinite cylinder enclosing a given set of points or balls in 3-space. We also present an approximation algorithm for computing a smallest enclosing cylinder. Received May 23, 1997, and in revised form October 20, 1997.     

空间情形下旋转体体积的近似计算

基于定积分的数值计算方法,解决了空间一般式曲线绕任意轴所形成的旋转体体积的近似计算问题,给出了相应的Matlab程序,并用两个实例进行说明.     

平面图形的形心在旋转体体积计算中的应用

本文讨论平面图形绕平面内的直线旋转的旋转体体积与被旋转的平面图形的形心的关系.当被旋转的平面图形的内部与旋转轴没有交点时,得到了用被旋转的平面图形的面积以及被旋转的平面图形的形心到旋转轴的距离表示的旋转体体积公式.     

旋转曲面的面积及围成立体体积的求法

首先给出空间简单光滑曲线Γ绕空间直线l旋转所得到的旋转曲面面积以及围成立体的体积求法,作为特例又给出了空间曲线Γ绕坐标轴旋转所得到的旋转曲面面积及围成立体的体积求法,同时也得到了平面曲线Γ绕直线l及坐标轴旋转分别所得到的旋转曲面面积和围成立体的体积求法.     

有限厚度圆柱壳热冲击问题的广义热弹性解

针对包含有界边界的轴对称结构受热冲击作用的广义热弹性问题进行了研究分析.基于Lord-Shulman广义热弹性理论(L-S理论),构建了热冲击下有限厚度圆柱壳热弹性响应的广义热弹性模型.借助Laplace(拉普拉斯)变换技术以及Bessel函数的渐进特性,推导了温变载荷作用下,圆柱壳内部位移、温度以及应力场的解析表达式.该表达式不仅可以清楚地揭示热冲击下热波、热弹性波在壳体内部的传播、反射以及叠加的作用过程,更可准确地捕捉到热波、热弹性波波前位置处的阶跃现象,并对热冲击诱发的动态热应力峰值进行有效预测.     

极坐标系下旋转体体积公式的推广

利用微积分的有关知识,对极坐标系下旋转体的体积公式进行了推广,推导并证明了极坐标系下曲边扇形绕任意空间直线(过极点)旋转所得旋转体的体积计算公式,证明了有关性质,并借助实例进行说明.