中考题中的调和点列

1.调和点列的概念和性质。定义1^[1]如图1,对于线段AB的内分点C与外分点D,若AC/CB=AD/DB,则称C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B、C、D为调和点列.在射影几何中,①式写成AC·AD/BC·BD=-1(AC·AD/BC·BD称为点列A、B、C、D的交比,记为(AB,CD)).     

调和点列的一个性质

<正>如图1,A、B、C、D为同一直线上的四点,若AB·CD=BC·AD,则称A、B、C、D构成调和点列^[1].一、性质如图2,A、B、C、D是一组调和点列,P是以AC为直径的⊙O上一点(A、C除外).则PC平分∠BPD.证明如图3,延长PB交⊙O于E,ED交⊙O于F,连结CD、EC、AF、AP、FC、AE,有     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

调和分割的性质及应用

若点M内分线段AB,点N外分线段AB;且MA/MB=NA/NB,则点M、N叫做调和分割线段AB。调和分割还具有如下性质: 若M、N调和分割AB,则A、B调和分割MN; 2°若M、N调和分割AB,且O为AB的中点,则OB~2=OM×ON;     

综合题新编选登

题191已知椭圆x24 34y2=1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点,满足PA·PB=0,2|PA|=|PB|.1)求点P的坐标;2)若椭圆上存在两点C,D(异于A,B)且(PC|PC|) PD|PD|)·OA=0,问是否存在实数λ使得AB=λCD,说明理由.解1)如图1,由题意知△OPA是以P为直角顶点的等腰三角形,设P(x,y)则x24 34y     

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

张角定理及其应用

<正>一、张角定理设A、C、B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA、PC、PB上的点,线段AC、CB对点P的张角分别为a、β,且a+β<180°,则A、C、B三点共线的充要条件是:(sin(a+β))/(PC)=(sinα)/(PB)+(sinβ)/(PA).     

一道平几题的简证、逆命题及一个类似命题

文给出并证明了如下一道几何题:已知C、D是△PAB的AB边上的点,且AC= BD,一直线分别交PA、PC、PD、PB于A′、C′、D′、B′点,求证:     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

"张角定理"及其推广的应用

1张角定理如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180,°那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是sin(α β)PC=sinαPB sinβPA.证明必要性:若A、B、C三点共线,则图1S△PAB=S△PAC S△PCB,因此12PA·PBsin(α β)=12PA·PCsinα 12PC·PBsinβ.两边同除以12PA·PB·PC,即得所欲证的等式.充分性:若命题中等式成立,则反推可得S△PAB=S△PAC S△PCB,这说明S△ABC=|S△PAB-S△PAC-S△PCB|=0,所以A、B、C三点共线.本文将张角定理拓展到空间,则有如图2,四面体ABCD中,图2P为棱…     

探究一道中考选择题的解法

题目(2014年湖北武汉)如图1,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().A5(1/2)3/(12)B.12/5C.3(1/2)(13)/5D.2 (1/2)(13)/3分析:此题以圆的一个基本图形为背景设置,内涵十分丰富:PA=PB;连接OA、OB,则∠OAP=∠OBP=90°;连接OP,则OP平分∠APB;连接AB,则OP垂直平分AB……     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一     

对一道题2007年联赛题的类比探究

2007年全国高中数学联赛一试第7题是:在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0)、B(1,-1)、C(0,3)、D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为_____.……     

一道高考题的多解探究

题目(2012年高考江西卷理科第7题)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则|PA|2+|PB|2|PC|2=()(A)2.(B)4(C)5.(D)10.本题小巧灵活,平和中见新奇,语言朴素自然,简洁易懂,注重基础,凸显能力,解法多样,是     

调和点列在高考试题中的应用

定义1设A、B、C是直线l上三点,称(AC)/(BC)为点列A、B、C的单比,表示为(ABC)=(AC)/(BC).这里AC、BC都为有向线段.定义2设射影直线上的点列A、B、C、D均为普通点,称(ABC)/(ABD)为点列A、B、C、D的     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…     

四面体的若干性质

文[1],[2]介绍了三角形的若干性质:命题1已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3.本文先给出一个简捷的证明:记PA1=λ1PA,PB1=λ2PB,PC1=λ3PC,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数.由条件知PA1 PB1 PC1=0,于是P为△A1B1C1的重心,从而S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1=31S△A1B1C1,即S△PB1C1∶SPC1A1∶S△PA1B1=1∶1∶1.而S△PB1C1S△PBC=12|PB1|·|PC1|sin∠B1PC112|PB|·|PC|sin∠BPC=λ2λ3,即SPB1C1=λ2λ3SPBC.同理有SPC1A1…     

转换视角看新定义问题

<正>1原题及分析(2023年海淀初三期末)在平面直角坐标系x Oy中,对于点P和线段AB,若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点,则称点P为线段AB的融合点．(1)已知A(3,0),B(5,0),(1)在点P1(6,0),P2(1,-2),P3(3,2中,线段AB的融合点是_____;     

立几选择题三道

P是△ABC所在平面α外一点,O是P在平面α内的射影。 (1)若PA,PB,PC与平面α成等角; (2)若P到△ABC的三边的距离相等; (8)若PA,PB,PC两两互相垂直; 那么点O是△ABC的 (A)重心; (B)垂心; (C)内心; (D)外心。     

圆幂定理(上)

<正>在圆的知识中,以下几个定理都与线段的乘积式有关,它们是:相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点分成的两条线段的乘积相等.图1(1)PA·PB=PC·PD.切割线定理由圆外一点向圆引两条割线.则在每条割线上,由该点到割线与圆的两个交点所成的两个线段的乘积相等,都等于切线的平方.图1(2)PA·PB=PC·PD=PE2.