A note on coring extensions

A notion of a coring extension is defined and it is shown to be equivalent to the existence of an additive functor between comodule categories that factorises through forgetful functors. This correspondence between coring extensions and factorisable functors is illustrated by functors between categories of descent data. A category in which objects are corings and morphisms are coring extensions is also introduced.

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Sunto Si fornisce una definizione per estensioni di coanelli e si dimostra l'equivalenza di tale definizione con l'esistenza di un funtore additivo tra categorie di comoduli che si fattorizzi attraverso il funtore dimenticante. Questa corrispondenza tra estensioni di coanelli e funtori fattorizzabili è illustrata da funtori tra categorie di discesa. Si introduce inoltre una categoria i cui oggetti sono coanelli e i morfismi sono estensioni di coanelli.

     

Equivalences between categories of modules and categories of comodules

We show the close connection between apparently different Galois theories for comodules introduced recently in [J. Gomez-Torrecillas and J. Vercruysse, Comatrix corings and Galois Comodules over firm rings, Algebr. Represent. Theory, 10 （2007）, 271 306] and [Wisbauer, On Galois comodules, Comm. Algebra 34 （2006）, 2683-2711]. Furthermore we study equivalences between categories of comodules over a coring and modules over a firm ring. We show that these equivalences are related to Galois theory for comodules.     

Comatrix corings and invertible bimodules

We extend Masuoka's Theorem [11] concerning the isomorphism between the group of invertible bimodules in a non-commutative ring extension and the group of automorphisms of the associated Sweedler's canonical coring, to the class of finite comatrix corings introduced in [6].

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Sunto Estendiamo il Teorema di Masuoka [11] riguardante l'isomorfismo tra il gruppo dei bimoduli invertibili su un'estensione di anelli non commutativa e il gruppo di automorfismi del coanello canonico associato di Sweedler, alla classe dei coanelli di comatrici finiti introdotta in [6].

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Research supported by the grant BFM2001-3141 from the Ministerio de Ciencia y Tecnología of Spain and FEDER.

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Supported by the grant SB2003-0064 from the Ministerio de Educación, Cultura y Deporte of Spain.     

The internal sphere condition and the capillary problem

Sunto In un importante lavoro [1], M. Emmer ha dimostrato l’esistenza di superfici di equilibrio capillari, definite in domini con frontiera Lipschitziana, quando la costante di Lipschitz L e l’angolo di contatto γ soddisfano la relazione L<|tg γ|. Questa condizione, che è noto essere necessaria in generale, può essere troppo restrittiva in alcuni casi particolari. In questo lavoro la condizione di Emmer è sostituita da una ? condizione di sfera interna ?, che conduce ad una larga classe di domini che non rientrano nel risultato di Emmer. L’esiestenza di una soluzione è dimostrata anche nel caso γ=0, che non può essere trattato con il metodo di Emmer.

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Entrata in Redazione il 26 agosto 1975.

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This work was initiated while the former author was at Universit?t Bonn and at Università di Genova, and the latter author at Université de Paris VI as a Fellow of the Deutsche Forschungsgemeinschaft.     

Una proprietà dei simboli non-omogenei,e degli operatori pseudo-differenziali associati

Riassunto In questo lavoro si considera la classe di simboli da noi introdotti nel lavoro [2] e si dimostra che tale classe è invariante rispetto a una certa trasformazione di variabili nello spazioR _ξ ⁿ ; in seguito, una certa maggiorazione per operatori pseudo-differenzialiA(x, D) associati a simboli ellittici, viene ottenuta.

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Résumé Dans ce travail on considère la classe de symboles introduite par nous dans le travail [2] et on démontre que cette classe est invariante par rapport à une certaine transformation de variables dans l'espaceR _ξ ⁿ ; ensuite une certaine majoration pour opérateurs pseudo-différentiels associés aux symboles elliptiques est obtenue.

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Questo lavoro è stato effettuato mentre l'autore godeva di una sovvenzione del Centro Nazionale delle Ricerche del Canadà. ≠ 6445, attraverso l'Università di Montréal.     

The visco-capillarity kinetic condition for sonic phase transitions

We consider a model for phase transitions, in one space dimension. In a recent paper, [5], the author and M. Sablé-Tougeron have studied sonic phase boundaries for this model, by taking into account a kinetic relation. We prove here that both in the piecewise linear case and in a cubic case the assumptions that were made in [5] hold if the kinetic relation is provided by a visco-capillarity approach.

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Sunto Si considera un modello per le transizioni di fase, in una dimensione spaziale. In un recente lavoro, [5], l’autore e M. Sablé-Tougeron hanno studiato i bordi fase sonici per questo modello, prendendo in considerazione una relazione cinetica. Si prova qui che sia nel caso lineare a tratti che in un caso cubico le ipotesi fatte, in [5] sono verificate se la relazione cinetica è fornita da un approccio visco-capillare.

     

OnE-compact modules over SISI rings

Summary We extend to the case of SISI rings, studied by Vamos in [8], the duality for noetherian rings studied by Orsatti in [7]. We prove that some properties of this duality can be generalized, while others hold only in the noetherian case.

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Riassunto Si estende al caso dei SISI anelli, studiati da Vamos in [8], la dualità studiata da Orsatti in [7] per gli anelli noetheriani. Si dimostra che alcune proprietà di questa dualità si possono generalizzare, mentre altre sono caratteristiche del caso noetheriano.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca matematici del C.N.R.     

Fine properties of the stress intensity factor

In this work I consider the expression of the stress intensity factor for convex bounded sets proposed by Ore and Burns [4], and we will study its properties. In particular we will show that the stress intensity factor defined in ω is well defined whether ϖω isC ² or ω is a polygon.

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Sunto In questo lavoro considero l'espressione dello stress intensity factor proposto da Ore e Burns in [4], e ne studierò le sue proprietà. In particolare dimostrerò che lo stress intensity factor è finito sia se l'insieme di definizione ω è un convesso con bordoC ² sia se è un poligono.

     

Constructing Infinite Comatrix Corings from Colimits

We propose a class of infinite comatrix corings, and describe them as colimits of systems of usual comatrix corings. The infinite comatrix corings of El Kaoutit and Gómez Torrecillas are special cases of our construction, which in turn can be considered as a special case of the comatrix corings introduced recently by Gómez Torrecillas and the third author.      

Frontiere minimali con ostacoli

Riassunto Recentemente diversi autori (v. [15], [16], [17], [18], [19], [20]) si sono interessati di problemi di esistenza e di regolarità di soluzioni di problemi variazionali verificanti diseguaglianze. In questo articolo considereremo il caso delle ipersuperfici minimali (di area minima), più precisamente delle frontiere minimali nel senso diDe Giorgi (v. [2] o [3]). Il risultato di regolarità, che è quello che ci pare più interessante, è grosso modo il seguente:frontiere minimali rispetto ad un ostacolo di classe C ¹ sono di classe C¹ in un intorno dell'ostacolo stesso. Il Teorema 2 del § 3 contiene l'enunciato preciso di tale risultato. Nel § 2 si fanno alcune considerazioni sulla validità del teorema di Bernstein per le frontiere minimali, in esso si prova (v. il Teorema 1) che un insieme avente frontiera non vuota minimale inR ⁿ e contenente un semispazio è esso stesso un semispazio. Tale risultato serve per la dimostrazione del teorema 2. Nel § 1 sono contenuti alcuni complementi alla teoria delle frontiere minimali.

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Résumé On considère le problème des hypersurfaces minimales en présence d'obstacles. On prouve le résultat de regularité suivant: ?les hypersurfaces minimales en présence d'obstacles de classeC ¹ sont de classeC ¹ dans un environ de l'obstacle?.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.     

Degenerate nonlinear hyperbolic conservation laws: Non classical geometrical theory

Kinetic selection principles have been shown to be useful and physically reasonable in nonlinear hyperbolic problems with large amplitude phase transitions. We refer to Abeyaratne and Knowles, [A-K], for discussion on the subject. They also have been used for degenerate nonlinear problems, where the genuine nonlinearity property of Lax is violated. This is the framework of Liu, [Li], in the kinetic situation of Hayes and Le Floch, [H-L], where their so-called non classical shocks may be seen as small amplitude phase transitions. Here, we describe the local geometry generated by the generic non genuinely nonlinear assumption. A geometric kinetic criterion can be used to select indeterminate simple waves and obtain the well-posedness of the local Riemann problem. A particular case is the entropic kinetic criterion of Hayes and Le Floch.

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Sunto Principi di selezione cinetica sono stati mostrati utili e fisicamente ragionevoli in problemi iperbolici con transizioni di fase di grande ampiezza. Ci riferiamo ad Abeyaratne e Knowles, [A-K], per discussioni sull'argomento. Detti principi sono stati usati per problemi nonlineari degeneri, dove la proprietà di genuina nonlinearità di Lax è violata. Questo è la prospettiva di Liu, [Li], nella situazione cinetica di Hayes e Le Floch, [H-L], dove i loro così detti urti non classici possono essere considerati come transizioni di fase di piccola ampiezza. Qui, descriviamo la geometria locale generata dall'ipotesi generica genuinamente nonlineare. Un criterio di geometria cinetica può essere usato per selezionare onde semplici indeterminate ed ottenere la buona posizione per il problema locale di Riemann. Un caso particolare è il criterio di entropia cinetico di Hayes e Le Floc.

     

Una condizione di ergodicità per l’energia cinetica

Riassunto Si considera un sistema dinamico ooonomo ad un solo grado di libertà. Si semplifica la condizione di ergodicità di una variabile aleatoria e di tutte le funzioni di essa, data in un lavoro precedente da, B. Forte; questa nuova forma della condizione di ergodicità viene poi usata per stabilire a quale condizione necessaria e sufficiente deve soddisfare il potenziale della sollecitazione agente sul sistema perchè l’energia cinetica e tutte le funzioni di essa siano ergodiche.

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Résumé On considère un système dynamique à un degré de liberté. On simplifie la condition d’ergodicité d’une variable aléatoire et de toutes ses fonctions, donnée dans un travail précédent par B. Forte; ensuite on emploie cette nouvelle forme de la condition d’ergodicité pour établir à quelle condition nécessaire et suffisante doit satisfaire le potentielU du système pour que l’énergie cinétique et toutes ses fonctions soient ergodiques.

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Lavoro eseguito per la realizzazione del programma di ricerca del Gruppo n. 7 del C.N.R.     

Galois theory for Hopf algebroids

An extensionB⊂A of algebras over a commutative ringk is anH-extension for anL-bialgebroidH ifA is anH-comodule algebra andB is the subalgebra of its coinvariants. It isH-Galois if the canonical mapA ⊗_B A →A ⊗_L H is an isomorphism or, equivalently, if the canonical coringA ⊗_L H:A is a Galois coring. In the case of Hopf algebroid anyH _R-extension is shown to be also anH _L-extension. If the antipode is bijective then also the notions ofH _R-Galois extensions and ofH _L-Galois extensions are proven to coincide. Results about bijective entwining structures are extended to entwining structures over non-commutative algebras in order to prove a Kreimer-Takeuchi type theorem for a finitely generated projective Hopf algebroidH with bijective antipode. It states that anyH-Galois extensionB⊂A is projective, and ifA isk-flat then already the surjectivity of the canonical map implies the Galois property. The Morita theory, developed for corings by Caenepeel, Vercruysse and Wang is applied to obtain equivalent criteria for the Galois property of Hopf algebroid extensions. This leads to Hopf algebroid analogues of results for Hopf algebra, extensions by Doi and, in the case of Frobenius Hopf algebroids, by Cohen, Fishman and Montgomery.

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Sunto Un'estensioneB(A di algebre su un anello commutativok è unaH-estensione per unL-bialgebroideH seA è unaH-comodulo algebra eB è la sottoalgebra dei suoi coinvarianti. Essa èH-Galois se l'applicazione canonicaA ⊗_A B→A ⊗_L H è un isomorfismo o, equivalentemente, se il coanello canonicoA ⊗_L H:A è un coanello di Galois. Nel caso di un algebroide di Hopf si dimostra che ogniH _R-estensione è unaH _L-estensione. Se l'antipode è biiettivo allora si dimostra che anche le nozioni di estensioniH _R-Galois eH _L-Galois coincidono. I risultati per le strutture biiettive entwining sono estesi alle strutture entwining su algebre non commutative, al fine di dimostrare un teorema simile al Teorema dii Kreimer-Takeuchi per un Hopf algebroideH proiettivo finitamento generato con antipode biiettivo. Il teorema afferma che ogni estensioneH-GaloisB ⊂A è proiettiva e seA èk-piatto allora la suriettività dell'applicazione canonica è sufficiente a garantire la proprietà di Galois. La teoria di Morita, sviluppata per i coanelli da Caenepeel, Vercruysse e Wang, viene applicata per ottenere criteri equivalenti per la proprietà di Galois per estensioni di algebroidi di Hopf. Questo conduce a risultati analoghi, per algebroidi di Hopf, a quelli ottenuti da Doi per estensioni di algebre di Hopf e da Cohen Fishman e Montgomery nel caso degli algebroidi di Hopf Frobenius.

     

Regularity results for the porous media equation

Sunto In questo lavoro si considera il problema di Cauchy per l'equazione di filtrazione ∂u/∂t=∂ ² ϕ(u)/∂x ² nella regioneR×(0,T],0<T<∞. Sotto opportune ipotesi sulla funzione ϕ(u) si determina una stima dell'incremento temporale della soluzione u(x, t) (intesa nel senso debole). Nel caso politropico (ϕ(u)=u^m), quando m>2 si trova in particolare un comportamento h?lderiano di u(x, t) rispetto a t con l'esponente1/(m−1); viene anche dimostrato che questo esponete è effettivamente assunto da una particolare soluzione, per cui la stima ottenuta è la migliore possibile.

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Entrata in Redazione il 18 luglio 1978.     

The topology of the space of positive analytic cycles

Sunto Usando i metodi dell’analisi complessa sviluppati da Stollzemberg in [5] è possibile dimostrare che lo spazio Z⁺ _d(W) dei cicli analitici positivi di dimensione d di una varietà complessa W è un sottoinsieme metrizzabile e completo dello spazio delle correnti D_2d(W) i cui sottoinsiemi compatti sono i sottoinsiemi chiusi e limitati in massa ed in cui, di conseguenza, le successioni convergenti sono le successioni convergenti in massa in aperti di opportune basi di W.

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Entrata in Redazione il 20 maggio 1975.     

Il principio di minima certezza e le sue prime applicazioni alla meccanica statistica

Sommario Si introduce il concetto di certezza di una variabile casuale. Si dimostra poi sulla base di questa nozione che è possibile dedurre da un principio di minimo la legge di distribuzione diMaxwell-Boltzmann per l’energia senza imporre con ciò alla distribuzione dei punti rappresentativi nello spazio delle fasi di essere di tipo boltzmanniano.

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Résumé On a introduit la notion de certitude d’une variable aléatorie. On montre que sur la base de cette notion on peut déduire avec un principe de minimum la distribution deMaxwell-Boltzmann pour l’énergie sans que la distribution sur l’espace des phases soit du type deBoltzmann.

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Lavoro eseguito per la realizzazione del programma di ricerca del Gruppo n. 7 del C.N.R.     

Sopra una corrispondenza [1,n−1] che si incontra nella teoria diametrale e sulle proprietà che ne derivano per le curve algebriche piane

Riassunto Considero una corrispondenza [1,n−1] che sussiste fra i diametri di 1 curva algebrica piana d'ordinen e le corrispondenti direzioni coniugate e deduco la proprietà che i diametri, in generale, si dispongono in gruppi, ognidin−1 diametri paralleli. Ciò posto, servendomi di detta corrispondenza, ritrovo le principali propri diametrali delle curve algebriche piane e considero in particolare, i casi in detta corrispondenza è degenere.

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Résumé J'établis, avant tout, une correspondance [1,n−1] qui existe pour les diamè d'une courbe plane d'ordren et les correspondantes directions conjuguées et déduis la propriété que les diamètres, en général, se disposent en groupes den-diamètres parallèles. Cela posé, à l'aide de la précédente correspondance, je retrouve les princip propriétés diamétrales des courbes algébriques planes, considérant aussi les cas oi correspondance est singulière.

     

Galois theory for comatrix corings: Descent theory, Morita theory, Frobenius and separability properties

El Kaoutit and Gómez-Torrecillas introduced comatrix corings, generalizing Sweedler's canonical coring, and proved a new version of the Faithfully Flat Descent Theorem. They also introduced Galois corings as corings isomorphic to a comatrix coring. In this paper, we further investigate this theory. We prove a new version of the Joyal-Tierney Descent Theorem, and generalize the Galois Coring Structure Theorem. We associate a Morita context to a coring with a fixed comodule, and relate it to Galois-type properties of the coring. An affineness criterion is proved in the situation where the coring is coseparable. Further properties of the Morita context are studied in the situation where the coring is (co)Frobenius.

     

On Shannon’s entropy power inequality

Summary We prove that the entropy power inequality follows from Blachman’s argument [1] if the densities have finite moments of order α, for some α>0, whenever Shannon’s variational approach can be applied if α>=2.

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Sommario Si dimostra che la disuguaglianza esponenziale dell’entropia può essere dedotta da alcuni precedenti risultati di Blachman [1] se le densità di probabilità hanno momenti finiti di ordine α, per qualche α>0. Si dimostra inoltre che l’argomento variazionale di Shannon può essere applicato se α≥2.

     

Galois theory for bialgebroids, depth two and normal Hopf subalgebras

We reduce certain proofs in [16, 11, 12] to depth two quasibases from one side only, a minimalistic approach which leads to a characterization of Galois extensions for finite projective bialgebroids without the Frobenius extension property. We prove that a proper algebra extension is a leftT-Galois extension for some right finite projective left bialgebroid over some algebraR if and only if it is a left depth two and left balanced extension. Exchanging left and right in this statement, we have a characterization of right Galois extensions for left finite projective right bialgebroids. Looking to examples of depth two, we establish that a Hopf subalgebra is normal if and only if it is a Hopf-Galois extension. We characterize finite weak Hopf-Galois extensions using an alternate Galois canonical mapping with several corollaries: that these are depth two and that surjectivity of the Galois mapping implies its bijectivity.

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Sunto Riduciamo alcune prove di [16,11,12] a quasibasi di profondità due da un lato solo, un approccio minimalistico che conduce ad una caratterizzazione di estensioni di Galois per bialgebroidi proietivi finiti senza la proprietà di estensione di Frobenius. Dimostriamo che un'algebra che sia un'estensione propria è un'estensioneT-Galois sinistra per qualche bialgebroide finito proiettivo a sinistra su qualche algebraR se, e solo se, è un'estensione di profondità due a sinistra e bilanciata a sinistra. Scambiando destra e sinistra nell'enunciato, otteniamo una caratterizzazione di estensioni di Galois destre per bialgebroidi finiti proiettivi a destra. Guardando ad esempi di profondità due, otteniamo che una sottoalgebra di Hopf è normale se, e solo se, è un'estensione Hopf-Galois. Caratterizziamo le estensioni Hopf-Galois deboli finite usando un'applicazione canonica di Galois alternativa ottenendo parecchi corollari: queste sono di profondità due e la suriettività dell'applicazione di Galois implica la sua biiettività.