Der Stein-Chensche Ansatz zur Poisson-Approximation und zum Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes

Zusammenfassung.   Befa?t man sich in der Didaktik mit stochastischen Fragestellungen, so ben?tigt man bei Anwendungen früher oder sp?ter den Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Beweis seiner allgemeinen Fassung wird dabei nirgendwo ausgeführt, denn “dieser Satz ist schwer zu beweisen” (Scheid [11], Seite 103). Siehe dazu auch Krickeberg-Ziezold [8], Seite 106: “Der Beweis dieses Satzes bedarf allerdings zu vieler analytischer Hilfsmittel, als da? er im Rahmen dieses Buches pr?sentiert werden k?nnte“. Mit Hilfe der Steinschen Methode leiten wir auf elementare Art und Weise eine Fehlerschranke her, die die klassische Form des Zentralen Grenzwertsatzes sowie einen Spezialfall des Satzes von Berry-Esséen über die dort vorliegende Konvergenzordnung impliziert. Dabei wird beim Beweis neben einfachen Umformungen nur der Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge bei Mehrfachintegralen ben?tigt. Im Zusammenhang mit der Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung wurde die Steinsche Methode zuerst von Chen [5] angewandt; die lange gesuchte “optimale” Fehlerschranke leiteten schlie?lich Barbour und Hall [2] her. Verwiesen sei in diesem Zusammenhang insbesondere auf das Buch von Barbour et al. [3]. Einen Gesamtüberblick über beide Themenkreise, die vielf?ltigen weiteren Anwendungen der Steinschen Methode und ausführliche Literaturhinweise findet man bei Barbour [1]. Hier wollen wir über den Begriff der Strukturfunktionen beide Ans?tze soweit wie m?glich vereinheitlichen und die faszinierende Idee sowie die elementaren Beweise einem breiteren Publikum vorstellen. Eingegangen 06.12.1996 / Angenommen 06.03.1998     

Ulams Millionenspiel

Zusammenfassung. Angenommen, jemand denkt sich eine Zahl zwischen 1 und einer Million, und ein zweiter Spieler soll diese Zahl durch Fragen: „Ist ?” ermitteln. Da ist, kann die Zahl durch die übliche Halbierungsmethode mit 20 Fragen bestimmt werden. Was aber, wenn der erste Spieler einmal (oder ?fter) lügen darf? Wieviele Fragen werden dann ben?tigt? Dieses Spiel ist als „Ulams Liar Problem” bekannt geworden. Wir wollen das allgemeine Problem ( Zahlen, Lügen) studieren und insbesondere Ulams Problem für eine Lüge l?sen. Eingegangen am 18.4.1994, angenommen am 19.10.1994     

Die Lehre vom Flächeninhalt ebener Polygone: einige Schritte in der Mathematisierung eines anschaulichen Konzeptes

Zusammenfassung. Es werden einige Stationen in der Ausarbeitung der Begriffe Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit nachvollzogen. Diese führte zur Herausbildung eines wohlumschriebenen methodischen Ansatzes und zu einer pr?zisen Definition des Begriffes Fl?cheninhalt für ebene Polygone. Ein wichtiger Aspekt dieser Entwicklung war es, eine klare Unterscheidung herauszuarbeiten zwischen dem ma?theoretischen Zugang zum Fl?cheninhalt – im nachfolgenden Fl?chenma? genannt – und dem kongruenzgeometrischen Fl?chenvergleich, welcher über Multikongruenz (auch Zerlegungsgleicheit oder endliche Gleichheit genannt) und eventuell Erg?nzungsgleichheit erfolgt. W?hrend das Fl?chenma? (im weiteren mit bezeichnet) eine nichtnegative reelle Zahl ist, ist der Fl?cheninhalt im Sinne des Vergleichs eine ?quivalenzklasse (im weiteren mit A bezeichnet). In dem Rahmen, in dem wir uns hier bewegen werden, stützt sich der ma?theoretische Zugang in der Regel auf die bekannte Formel für das Fl?chenma? des Rechtecks. Diese wird deshalb im nachfolgenden eine wichtige Rolle spielen. Nach einem überblick zu Euklids Lehre vom Fl?chenvergleich im ersten und sechsten Buch seiner Elemente, welche den Ausgangspunkt für alle weiteren Entwicklungen darstellt, werden wir Legendre's Behandlung (1794) des Fl?chenma?es des Rechtecks betrachten sowie seine begrifflichen Pr?zisierungen. Dann studieren wir zwei Abhandlungen von P. Gerwien (1833), welche sowohl in technischer als auch in konzeptueller Hinsicht wichtige Verbesserungen brachten und die ?quivalenz von Fl?chenma? und Fl?chenvergleich für euklidische und sph?rische Polygone bewiesen. Schlie?lich gehen wir auf Duhamels Kritik (1866) und auf Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899) ein. Hilbert war es, der die Lehre vom Fl?cheninhalt in den axiomatischen Rahmen einordnete und der auch die heute üblichen Bezeichnungen einführte. Die L?sung Hilberts legte den Gedanken nahe, da? man Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit auch in der hyperbolischen und in der sph?rischen Geometrie verwenden k?nnen sollte. Das letztere hatte bereits Gerwien getan, das erstere wurde von H. Liebmann (1905) im Anschlu? an die Dissertation von L. Gérard (1892) geleistet. Unsere Betrachtungen enden mit der einheitlichen Theorie des Fl?cheninhaltes, die A. Finzel (1912) ausarbeitete und die erstmals alle drei klassischen Geometrien umfa?te. Die Theorie des Fl?cheninhaltes wird systematisch vom modernen Standpunkt aus in [4] und in [44], Kap. XI, entwickelt; man vergleiche auch den Artikel von R. Kellerhals in dieser Zeitschrift ([35]) sowie den übersichtsbeitrag [25] von H. Hadwiger. Eine auf den gymnasialen Mathematikunterricht ausgelegte elementare aber sehr ausführliche Darstellung gibt Faifofer ([15]).

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Eingegangen am 26.03.1998 / Angenommen am 25.05.1998     

Eine Kennzeichnung Von Charakteren Auf Gruppen Und Assoziativen Algebren

Ist K ein kommutativer Körper und A eine assoziative Algebra über K, so interessiert man sich für die Gesamtheit aller endlichdimensionalen Darstellungen von A über K, d.h. für den Halbring der Charaktere auf A/K. Charaktere sind spezielle K-lineare, zentrale Funktionen auf A mit Werten in K. In dieser Bemerkung sollen für Grundkörper K der Charakteristik Null die Charaktere unter den K-wertigen K-linearen zentralen Funktionen auf A durch eine einfache Funktionalgleichung gekennzeichnet werden. Handelt es sich bei A um die Gruppenalgebra K[G] einer beliebigen Gruppe G, so liefert dies eine schon auf G formulierbare Kennzeichnung der Gruppencharaktere unter den Klassenfunktionen auf G. Der hier aufgerollte Formalismus, der der Aufmerksamkeit bisher entgangen zu sein scheint, ist elementar und kommt ohne Induktionsprozesse sowie ohne verallgemeinerte Charaktere aus.     

On the theory of Schur-Rings

Zusammenfassung Diese Arbeit versucht, die von Issai Schur[1] entdcckte und von Wielandt ([14], [15], [16], [17]) betr?chtlich neiterentwickelte Methode zur Untersuchung von endlichen Permutationsgruppen zu einer Theorie der Schur-Ringe zu entfalten. Der Grundgedanke ist sehr einfach: Die Schur-Ringe werden nicht als eine spezielle Klasse von Ringen aufgefaβt, sondern als eine eigene mathematische Struktur. Nach unserer heutigen Ansicht f?llt der Begriff der mathematischen Struktur weitgehend mit dem Begriff der Kategorie zusammen. Daher wird für die Schur-Ringe (genauer: für die Schur-Algebren) ein eigener Homomorphiebegriff (Definition1.5) eingeführt, der eine Kategorie liefert (Theorem1.6). Ein weiterer Leitgedanke ist mit dem kategoriellen Grundgedanken sehr eng verknüpft. Die Theorie der Schur-Ringe wird als eine Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Gruppen aufgefaβt und in diesem Sinne entwickelt. Dabei ist die Theorie der endlichen Gruppen vermittelst der Gruppenringe der endlichen Gruppen (die eine spezielle Teilkategorie der Kategorie aller Schur-Ringe sind) in die Theorie der Schur-Ringe eingefügt. Hierfür ist es wichtig, daβ die Morphismen der Gruppenringe in der Kategorie der Schur-Ringe genau die von den Gruppenhomomorphismen induzierten Gruppenringhomomorphismen sind. Die Einbettung der Theorie der endlichen Gruppen in die Theorie der Schur-Ringe vollzieht sich entlang dreier Entwicklungslinien. Die erste ist eine verallgemeinerte Charakterentheorie ([2], [3], [5], [6], [7] und[8]), die die Theorie der (gen?hnlichen) Charaktere von endlichen Gruppen als Spezialfall enth?lt. Die zweite ist die Verknüpfung der Struktur jedes Schur-Ringes T auf einer endlichen Gruppe G mit gewissen Klassen von Untergruppen von G. Es werden die Begriffe der T-Untergruppe (Abschnitt 3), des T-Normalteilers (Abschnitt 4), und der T-subnormalen Untergruppe (Abschnitt 8) eingeführt. Die T-Untergruppen bilden einen Teilverband des Verbandes aller Untergruppen von G (Theorem3.4). Die T-Normalteiler sind genau die Kerne (Definition6.1) der Homomorphismen der Schur-Algebren QT (Theoreme6.2 und6.3). Der dritte und wohl zugleich der wichtigste Aspekt ist die Gültigkeit des Homomorphiesatzes (Theorem6.2) und der Isomorphies?tze (Theoreme7.1 und7.2) für Schur-Algebren. Auf diese S?tze gründet sich der Vier-Untergruppen-Satz (Zassenhaus’ Lemma; Theorem9.1), der den Verfeinerungssatz für T-Subnormalketten (Theorem9.2) und den Jordan-H?lder Satz für T-Kompositionsketten (Theorem10.3) nach sich zieht. Als die Theorie der Schur-Ringe ungef?hr den soeben geschilderten Stand erreicht hatte, tauchte die Idee auf, diese Theorie auf beliebige Gruppen zu verallgemeinern ([9], [10], [11], [12], [13]). Das führte zum Begriff der Schur-Halbgruppe (Definition1.9). Der zugeh?rige Homomorphiebegriff (Definition1.11) liefert die Kategorie aller Schur-Halbgruppen (Theorem1.12), die die Kategorie aller Gruppen als echte Teilkategorie enth?lt. Jedem Schur-Ring T über einer endlichen Gruppe G wird eine Schur-HalbgruppeT über G zugeordnet (Theorem1.15). Jedem Homomorphismus ϕ einer Schur-Algebra ΘT über G wird ein Homomorphismus φ vonT zugeordnet (Theorem1.16). Das Paar der Zuordnungen ΘT →T, ϕ → Φ ist ein Funktor auf der Kategorie aller Schur-Algebren in die Kategorie aller Schur-Halbgruppen über endlichen Gruppen (Theorem1.17).      

Eine Ergänzung zum Bericht über Geometrie der Kommission Kahane: das Beispiel der affinen Geometrie im Collège

Zusammenfassung. Der nachfolgende Artikel ist aus der Arbeit der Kommission Kahane hervorgegangen, die in den letzten Jahren im Auftrag der franz?sischen Regierung über Ver?nderungen des Mathematikunterrichts nachgedacht hat. Sein Gegenstand ist die Mittelstufengeometrie, die in Frankreich bisher vor allem durch eine Betonung des Abbildungsgedankens sowie durch frühe Verwendung von Vektoren gepr?gt war. Gezeigt wird, wie sich wichtige S?tze derselben (Strahlensatz, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, Ceva, Menelaos) mit Hilfe von vier fundamentalen Lemmata, die auf der affinen Semi-Invarianz des Fl?cheninhaltes beruhen, beweisen lassen. Die theoretischen Grundlagen dieser Semi-Invarianz werden im Sinne der Invariantentheorie im Anhang 1 entwickelt. Weiter wird die Theorie der Zerlegungs- und Erg?nzungsgleichheit, insbesondere der Satz von Bolyai-Gerwien, im Anhang 2 erl?utert. Eingegangen am 3. Mai 2001 / Angenommen am 10. September 2001     

Topologie verallgemeinerter Kegelschnitte

Zusammenfassung. Wir verallgemeinern eine Definition von Kegelschnitten, indem wir mehr als zwei Brennpunkte und Gewichte zulassen, vgl. [7, 12, 6, 11], und wir betrachten Punktemengen in beliebigen Normen, vgl. [4]. Wir überprüfen verschiedene Eigenschaften klassischer Kegelschnitte auf ihre Gültigkeit für verallgemeinerte Kegelschnitte hin. Insbesondere zeigen wir z.B. für positive Gewichte, da? das Innere der verallgemeinerten Kegelschnitte konvex ist, da? diese Mengen bzgl. der Inklusion total geordnet sind und eine kleinste nichtleere Menge enthalten. Schlie?lich teilen wir die verallgemeinerten Kegelschnitte in verschiedene Klassen ein, die als Verallgemeinerungen von Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln aufgefa?t werden k?nnen und eine neue Klasse, die kein „klassisches” Analogon hat. Eingegangen am: 10.1.1996 / Angenommen am: 23.9.1996     

Über die Fiktionalität mathematischer Objekte

Zusammenfassung. Die Frage nach der Seinsweise oder der Qualit?t mathematischer Gegenst?nde (Zahlen, Figuren, Funktionen, R?ume) ist so alt wie mathematisches Tun selbst. Auf diese Fragen wurden zu allen Zeiten die unterschiedlichsten Antworten versucht, über die zun?chst ein knapper und selektiver überblick angeboten wird. Die daran anschlie?end dargelegte Position ist sowohl dem Konstruktivismus wie dem Fiktionalismus verpflichtet. Mathematische Objekte werden somit als fiktiv und ideal angesehen in dem Sinne, dass sie im mathematischen Diskurs als sprachliche Tr?ger für die in der Mathematik eigentlich untersuchten Eigenschaften, Beziehungen und Operationen verwendet und postuliert werden. In einer solchen Sicht ist dann das Ph?nomen der Unentscheidbarkeit nicht mehr überraschend sonder eher zu erwarten. Eingegangen am 4. September 2000 / Angenommen am 17. Juli 2001     

Parallel effects of bulk viscosity and time lag in kinetics of non-monatomic fluids

Zusammenfassung Für str?mende nicht-einatomige Fluida werden parallele Einflüsse von Volumenviskosit?t und Relaxation im übergang hinter einer Kompressionsfront untersucht. Anhand einer intramolekularen Eigenschwingung, des einzigen aktivierten inneren Prozesses, wird das System der Grundgleichungen für eine dreiachsige Str?mung mit Einschluss von Volumenviskosit?t und quadratischer Scherz?higkeit aufgestellt. Es wird auf neuliche numerische L?sungen des einachsigen Falles für molekularen Stickstoff hingewiesen. Die Ergebnisse beruhen auf Ver?nderungen der dimensionslosen Enthalpie sowie der Transporteigenschaften gem?ss den 1955-NBS-Tafeln als auch auf Volumenviskosit?t aus zuverl?ssigen Messungen von überschalld?mpfung. Betreffend die Gase und Flüssigkeiten mit noch ungenügenden Daten über Volumenviskosit?t wird die Wichtigkeit der Landau-Teller-Theorie hervorgehoben.

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This work is part of an investigation supported by the United States Air Force, through the Office of Scientific Research of the Air Research and Development Command on contract AF-18 (600)-428.     

Kinematisch-funktionales Denken als Ziel des höheren Mathematikunterrichts – das Scheitern der Meraner Reform

Zusammenfassung. Der Meraner Reform wird die Einführung der Funktionenlehre und der Differential- und Integralrechnung in den h?heren Mathematikunterricht zugeschrieben, und damit eine tiefgreifende Auswirkung auf die gymnasialen Curricula im 20. Jahrhundert. Von diesem Standpunkt sieht es so aus, als seien die Ideen der Reformer um Felix Klein seit Beginn des 20. Jahrhunderts inzwischen erfolgreich in die Schulpraxis eingeflossen. Der Funktionsbegriff steht im Zentrum der Sekundarstufe I, und der Analysisunterricht ist heute wesentlicher Bestandteil der Oberstufenmathematik. Mi?t man den Erfolg der Meraner Reform jedoch an deren ursprünglichem Hauptziel „Erziehung zur Gewohnheit des funktionalen Denkens”, so ergibt sich ein anderes Bild. Im folgenden soll gezeigt werden, da? vor diesem Hintergrund die Meraner Reform als gescheitert betrachtet werden kann. Um Belege und auch Ursachen für das Scheitern zu finden, ist es notwendig, zun?chst die Vielschichtigkeit des Begriffs „funktionales Denken” darzulegen. Was verstanden die Meraner Reformer unter „funktionalem Denken”? Eine Antwort soll im Rahmen didaktischer Vorbemerkungen aus dem Meraner Lehrplan und anhand zweier konkreter Beispiele aus dem damaligen Mathematikunterricht gegeben werden. Danach stellt sich aus heutiger Sicht die Frage, inwiefern die „alten” Ideen der Meraner Reformer gegenw?rtig für den schulischen Mathematikunterricht wirksam sind. Eingegangen am 07. Januar 2000 / Angenommen am 31. Januar 2000     

Zur Mathematik der Optionen

Zusammenfassung. Mit der allgemein stark gewachsenen Bedeutung der Finanztermingesch?fte haben in den vergangenen Jahren insbesondere nach Gründung der DTB Deutsche Terminb?rse GmbH 1988 auch in Deutschland Optionskontrakte bei der Absicherung von Devisengesch?ften der Exportindustrie wie auch bei der Absicherung von Verm?gensanlagen institutioneller Anleger ein immer st?rkeres Gewicht erhalten. Damit einherging eine st?rkere Besch?ftigung mit den zugrundelie genden theoretischen Modellen nicht nur der davon unmittelbar betroffenen Praktiker, sondern auch eine st?rkere wissenschaftliche Beachtung der überwiegend im angels?chsischen Bereich seit Anfang der siebziger Jahre entwickelten stochastischen Methoden zur Berechnung von Optionspreisen. Sieht man einmal von der im Jahr 1900 ver?ffentlichten, ihrer Zeit weit vorauseilenden Dissertation “Théorie de la Speculation” von M.L. Bachelier [1] (betreut von dem ebenso vielseitigen wie genialen H. Poincaré) ab – diese Arbeit ist für mehr als fünfzig Jahre kaum beachtet worden weder von ?konomen noch von Mathematikern –, so stand am Anfang der stürmischen Entwicklung die berühmte 1973 ver?ffentlichte Arbeit “The pricing of options and corporate liabilities” von Fisher Black und Myron J. Scholes [2]. Mittlerweile existiert eine fast unübersehbare Flut von Publikationen zu eben diesem Problemkreis – wobei es sich vielfach nur um Variationen über das genannte Thema von Black-Scholes handelt –, und der Einflu? der publizierten Optionspreisformel auf die realen Optionsm?rkte kann gar nicht hoch genug eingesch?tzt werden. Schlie?lich kann an dieser Stelle nicht unerw?hnt bleiben, da? 1997 die von R. Merton (Harvard), M. Scholes (Stanford) gemeinsam mit F. Black (1938–1995) entwickelte Theorie der Optionspreise durch die Verleihung des Nobelpreises für ?konomie an die beiden zuerst genannten Wissenschaftler gewürdigt wurde (vgl. hierzu auch [7]). Ziel dieses Vortrags ist es, einen kleinen Einblick in das zu vermitteln, was Finanzmathematiker heute bearbeiten, welche Methoden sie verwenden und wie faszinierend und zugleich komplex dieser Bereich der angewandten Mathematik ist.

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Eingegangen am 01.04.1998 / Angenommen am 09.06.1998     

Die eindeutige Primfaktorzerlegung

Zusammenfassung  Die Frage der Primfaktorzerlegung in Unterringen der komplexen Zahlen und der unmittelbar damit zusammenh?ngenden S?tze wird in der heutigen Algebra ohne grossen Aufwand und fast nebenbei behandelt: Studierende haben damit auch kaum Schwierigkeiten. In der Geschichte allerdings verlief die Entwicklung alles andere als gradlinig. Ein genauerer Blick auf die historischen Einzelheiten erlaubt interessante und in vielerlei Hinsicht überraschende Einsichten in die vertrackte Art und Weise, wie sich Mathematik manchmal entwickelt. Hier soll diese Geschichte erz?hlt werden, wie sie sich aus den neueren mathematikhistorischen Forschungen von H.M. Edwards, R. B?lling, O. Neumann und F. Lemmermeyer ergibt, und zwar auf einem Niveau, das einem Mathematikstudierenden nach einer Algebra-Vorlesung zug?nglich ist.     

Mathematische Spuren in der Philosophie

Zusammenfassung. Keine andere Wissenschaft hat in der Geschichte des abendl?ndischen Denkens auf die Philosophie so herausfordernd, stimulierend und innovativ gewirkt wie die Mathematik. Seit der Antike haben die ma?gebenden Philosophen vielf?ltige mathematische Spuren in ihrem philosophischen Werk hinterlassen. Diesen Spuren soll hier in dreifacher Hinsicht nachgegangen werden: Spurensuche – Spurensicherung – Spurendeutung. Exemplarisch wird an sieben Philosophen aufgezeigt, da? und wie jeweils ein subtiler Begründungszusammenhang besteht zwischen der Art und Weise des Zugriffs auf Mathematik sowie der Konzeption und Entfaltung des eigenen philosophischen Entwurfs. Eingegangen am 21.12.1998 / Angenommen am 26.02.1999     

Die Schwerpunkte des Dreiecks

Zusammenfassung  Ausgehend von der Frage, was „der Schwerpunkt“ eines Dreiecks eigentlich ist, erschlie?en sich einige interessante, bislang wenig beachtete Anwendungen analytischer Methoden auf die Dreiecksgeometrie, insbesondere im Rahmen eines Unterrichts mit hohem Eigent?tigkeitsanteil der SchülerInnen. über eine Pr?zision von Begriffen (Dreieck, Schwerpunkt) und unter Anleihe des physikalischen Konzepts des Massenmittelpunkts führt der Weg zur Idee des Schwerpunkts der Dreieckslinie (dem so genannten Spieker-Punkt), auf dessen Lagebestimmung und – mit der Entdeckung einer zweiten „merkwürdigen Geraden“ (neben der bekannten Eulerschen) – auf einen überraschenden Zusammenhang mit der Lage des Inkreismittelpunkts. über den Begriff des gewichteten Mittels werden Bezüge zur beschreibenden Statistik ben?tigt oder entwickelt. Eine darüber hinaus führende natürliche Verallgemeinerung des Schwerpunktbegriffs führt zum Konzept der baryzentrischen Koordinaten.     

Die Schwerpunkte des Dreiecks

Ausgehend von der Frage, was „der Schwerpunkt“ eines Dreiecks eigentlich ist, erschlie?en sich einige interessante, bislang wenig beachtete Anwendungen analytischer Methoden auf die Dreiecksgeometrie, insbesondere im Rahmen eines Unterrichts mit hohem Eigent?tigkeitsanteil der SchülerInnen. über eine Pr?zision von Begriffen (Dreieck, Schwerpunkt) und unter Anleihe des physikalischen Konzepts des Massenmittelpunkts führt der Weg zur Idee des Schwerpunkts der Dreieckslinie (dem so genannten Spieker-Punkt), auf dessen Lagebestimmung und – mit der Entdeckung einer zweiten „merkwürdigen Geraden“ (neben der bekannten Eulerschen) – auf einen überraschenden Zusammenhang mit der Lage des Inkreismittelpunkts. über den Begriff des gewichteten Mittels werden Bezüge zur beschreibenden Statistik ben?tigt oder entwickelt. Eine darüber hinaus führende natürliche Verallgemeinerung des Schwerpunktbegriffs führt zum Konzept der baryzentrischen Koordinaten.     

The reflection of shock waves from an orifice at the end of a duct

Zusammenfassung Die Str?mungserscheinungen, die auftreten, wenn eine Stosswelle an ein mit einer Blende versehenes Rohrende gelangt, werden besprochen. üblicherweise werden sie unter der Annahme berechnet, dass man für stetige und unstetige Str?mungen die gleichen Randwertbedingungen in der Blende verwenden kann. Die reflektierte Welle ist dann entweder eine einfache Expansionswelle oder eine Stosswelle, je nach der St?rke des einfallenden Stosses und der Blenden?ffnung. Dieses Resultat stimmt nicht mit experimentellen Beobachtungen überein, die gezeigt haben, dass die reflektierte Welle immer aus einer Stossfront besteht, der eine Expansionswelle nachl?uft, bis der Druck genügend vermindert ist, um eine stetige Str?mung zu erm?glichen. Die überlagerung dieser Wellen erzeugt eine Druckspitze (?overshoot?), die den in der üblichen Weise berechneten Maximaldruck um einen erheblichen Bruchteil des Druckanstieges in der einfallenden Stosswelle übersteigen kann. Die Unzul?nglichkeit der üblichen Methode kann man qualitativ durch die Verz?gerung erkl?ren, die notwendig ist, um eine stetige Str?mung in der Blende herzustellen, nachdem die einfallende Stosswelle eine St?rung erzeugt hat. Die gegenw?rtige Untersuchung zeigt, dass man die überdruckspitze in Abh?ngigkeit von der Blendengr?sse, der Sto?st?rke und der Entfernung von der Blende auf Grund einiger einleuchtender Annahmen berechnen kann. Es ergibt sich, dass die überdruckspitze besonders dann bemerkbar wird, wenn die Druck?nderung über die gesamte reflektierte Welle verschwindet. Unter dieser Bedingung und für Stosswellen verschwindender St?rke wird sie anf?nglich genau so gross wie der Drucksprung der einfallenden Stosswelle. Mit wachsender St?rke des einfallenden Stosses verringert sich die relative Gr?sse der überdruckspitze, w?hrend ihre absolute Gr?sse bis zu einem Maximum von beinahe 40% des Druckes vor der einfallenden Stosswelle ansteigt. Dieses Maximum wird bei einem ungef?hren Druckverh?ltnis der einfallenden Stosswelle von 2,3 erreicht. Die überdruckspitze wird ziemlich unbedeutend, wenn das Druckverh?ltnis den Wert 3 überschreitet. Experimente mit einem Stosswellenrohr werden dann beschrieben, in denen die Druckver?nderungen der einfallenden und reflektierten Wellen für verschiedene Entfernungen von der Blende, Sto?st?rken und Blenden?ffnungen aufgezeichnet werden k?nnen. Die gemessenen überdruckwerte stimmen mit den gerechneten in allen F?llen gut überein. Es kann erwünscht sein, die überdruckspitze zu beseitigen, und die M?glichkeit einer speziellen Blendenkonstruktion wird gezeigt. Die Berechnung der überdruckspitze ist für eine einfallende Stosswelle abgeleitet, unter der Bedingung, dass das Gas vor der einfallenden Welle in Ruhe ist und dass sich die Blende am Ende des Rohres befindet. Erweiterungen der Methode auf beliebige Wellen, anf?ngliche Str?mungen und Blenden im Inneren des Rohres sind kurz besprochen.

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This work was sponsored by Project SQUID which is supported by the Office of Naval Research under Contract N6-ori-105 T.O.III, NR-098-038. Reproduction in full or in part is permitted for any use of the United States Government.     

Über reguläre Zerlegungen von Matrizen und einige Anwendungen

Zusammenfassung VARGA verwendet in seinem Buch [4] sowie in einigen Arbeiten den Begriff der regulären Zerlegung reeller Matrizen als einfaches und elegantes Hilfsmittel zum Nachweis von Konvergenzeigenschaften reeller Matrizen. Im folgenden wird zusätzlich der Begriff der konvergenten Majorante der Matrix einer Zerlegung eingeführt. Dadurch wird es auf einfache Weise möglich, auch das Konvergenzverhalten von Zerlegungen komplexer Matrizen zu untersuchen. Als Anwendungen werden einige Sätze über die Konvergenz des Relaxationsverfahrens bei komplexen Matrizen bewiesen, die eine Reihe bekannter Sätze über die Konvergenz der Iterationsverfahren insbesondere bei nicht-negativen und diagonaldominanten Matrizen sowie Verallgemeinerungen hiervon als Spezialfälle enthalten.     

Die (un-)berechenbare Angst des Mathematikers vor dem Fliegen

Zusammenfassung. Das Fliegen ist ein uralter Traum der Menschheit, der erst zu Anfang des 20. Jahrhunderts erfüllt werden konnte. In dieser Arbeit wird auf humorvolle Weise die Geschichte, die Physik und die Mathematik des Auftriebs, der Potentialstr?mungen und der viskosen Str?mungen beschrieben. Ausgehend von den klassischen Arbeiten von L. Euler, J. und D. Bernoulli, dem D'Alembertschen Paradoxon und den Potentialstr?mungen als Triumph der Reinen Mathematik gelangt man zu den Navier–Stokes-Gleichungen dreidimensionaler Str?mungen mit ihren offenen Problemen. Eingegangen am 28. Juli 1998 / Angenommen am 7. September 1998     

Über die abstandsverträglichen Abbildungen auf dem Kreis und auf der reellen Geraden

Zusammenfassung. Eine Abbildung zwischen metrischen R?umen hei?t abstandsvertr?glich, wenn der Abstand der Bilder zweier Punkte nur vom Abstand der Punkte selbst abh?ngt. Wir zeigen, dass eine Abbildung genau dann abstandsvertr?glich ist, wenn der Cauchyschen Funktionalgleichung genügt, also ein Endomorphismus der Gruppe ist. Ein entsprechendes Resultat gilt auch für die abstandsvertr?glichen Abbildungen des Kreises (mit der Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenverknüpfung). Damit kann man sowohl alle messbaren abstandsvertr?glichen Abbildungen von bzw. in sich angeben, als auch einen Nachweis für die Existenz nichtmessbarer abstandsvertr?glicher Abbildungen auf und erbringen. Eingegangen am 20. Juni 2001 / Angenommen am 13. September 2001     

Zur Rolle des Erlanger Programms im Geometrieunterricht

Zusammenfassung. Es wird untersucht, inwieweit das Erlanger Programm Felix Kleins, die Systematisierung der Geometrie mittels Abbildungsgruppen, auch für den Geometrieunterricht der Schule bedeutsam geworden ist. Dabei werden sowohl historische Entwicklungen der Inhalte des Geometrieunterrichts als auch inhaltliche Aspekte berücksichtigt. Weiterhin werden Auswirkungen auf die Schulgeometrie angesprochen, die auf das Erlanger Programm „im weiteren Sinne” zurückgehen. Eingegangen am 3. 11. 1995 / Angenommen am 3. 1. 1996