四边形的余弦定理与六点问题

如图 1,在四边形ＡＢＣＤ中 ,设ＤＡ =ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＢＣ =ｃ,ＣＤ =ｄ ,∠ＤＡＢ =α ,∠ＡＢＣ =β ,则有图 1　四边形ｄ2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 - 2ａｂｃｏｓα- 2ｂｃｃｏｓβ 2ａｃｃｏｓ(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ＡＢＣＤ放入直角坐标系 ,则有Ａ( 0 ,0 ) ,Ｂ(ｂ ,0 ) ,Ｃ (ｂ ｃｃｏｓ(π - β) ,ｃｓｉｎ(π - β) ) ,Ｄ( -ａｃｏｓ(π -α) ,ａｓｉｎ(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

初三几何第一学期期中自测题

Ａ组一.选择题(每小题3分,共30分)1.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ａ,ｂ,ｃ分别是∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ的对边,下列关系式中错误的是(　).Ａ.ｂ=ｃ·ｃｏｓＢ　　　　Ｂ.ｂ=ａ·ｔｇＢＣ.ａ=ｃ·ｓｉｎＡ　Ｄ.ａ=ｂ·ｃｔｇＢ2.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ＡＣ=3,ＢＣ=4,则ｃｏｓＡ=(　).Ａ.34　　Ｂ.35　　Ｃ.43　　Ｄ.453.当锐角Ａ>60°时,ｓｉｎＡ的值(　).Ａ.小于12　　　　　　Ｂ.大于12Ｃ.小于32Ｄ.大于324.如果∠Ａ为锐角,且ｃｏｓＡ=35,那么(　).Ａ.0°<∠Ａ≤30°　　Ｂ.30°<∠Ａ≤45°Ｃ.45°<∠Ａ≤60°　Ｄ.60°<∠Ａ≤90°5.已和α…     

名校基础知识自测

★高一年级一、选择题1 .已知△ＡＢＣ中 ,若ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ ,则必有 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ　　　 (Ｂ)ｃｏｓＡ >ｃｏｓＢ(Ｃ)ｃｏｓＡ <ｃｏｓＢ (Ｄ)ｔａｎＡ >ｔａｎＢ或ｔａｎＡ <ｔａｎＢ2 .在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＣ =1 ,Ｓ△ＡＢＣ =3 ,则ａ +ｂ +ｃｓｉｎＡ +ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ=(　　 ) .(Ａ) 3 3　 (Ｂ) 2 3 93 　 (Ｃ) 2 633 　 (Ｄ) 3 923 .已知△ＡＢＣ中的三边为ａ ,ｂ ,ｃ,且ａ -ｂ =Ｃ·ｃｏｓＢ-Ｃ·ｃｏｓＡ ,则△ＡＢＣ为 (　　 ) .(Ａ)直角三角形　　　 (Ｂ)等腰三角形(Ｃ)等腰直角三角形　 (Ｄ)等腰或直角三…     

名校基础知识自测

★高一年级北京师大二附中 (10 0 0 88)　汪燕铭一、选择题1.ｓｉｎ15°·ｓｉｎ3 0°·ｓｉｎ75°的值等于 (　　 ) .(Ａ) 34 　 (Ｂ) 38　 (Ｃ) 18　 (Ｄ) 142 .ｃｏｓ2 75° +ｃｏｓ2 15° +ｃｏｓ75°·ｃｏｓ15°的值等于 (　　 ) .(Ａ) 62 　 (Ｂ) 32 　 (Ｃ) 54 　 (Ｄ) 1+343 .ｃｏｓ(α +β)·ｃｏｓ(α- β) =13 ,则ｃｏｓ2 α -ｓｉｎ2 β的值是(　　 ) .(Ａ) - 23 　 (Ｂ) - 13 　 (Ｃ) 23 　 (Ｄ) 134 .ｃｏｓ4 0° +ｃｏｓ60°+ｃｏｓ80°+ｃｏｓ160°等于 (　　 ) .(Ａ) 0　 (Ｂ) 12 　 (Ｃ) - 1　 (Ｄ) 15.ｃｏｓ π12 -ｃ…     

解三角形不容忽视的两个推论

解答三角形中的问题 ,除正确运用正弦定理、余弦定理外 ,还应重视它们的两个推论 .利用推论解题 ,方法简捷 ,过程明了 .1　两个推论推论 1　在△ＡＢＣ中 ,有ａ =ｂｃｏｓＣ +ｃｃｏｓＢ ,ｂ =ｃｃｏｓＣ +ａｃｏｓＣ ,ｃ =ａｃｏｓＢ +ｂｃｏｓＡ .推论 2　在△ＡＢＣ中 ,有ｂｃｏｓＢ +ｃｃｏｓＣ=ａｃｏｓ(Ｂ -Ｃ)≤ａ (1 )ｃｃｏｓＣ +ａｃｏｓＡ =ｂｃｏｓ(Ｃ -Ａ)≤ｂ (2 )ａｃｏｓＡ +ｂｃｏｓＢ =ｃｃｏｓ(Ａ -Ｂ)≤ｃ (3 )当且仅当 :Ｂ =Ｃ时 ,(1 )中等号成立 ;Ｃ=Ａ时 ,(2 )中等号成立 ;Ａ =Ｂ时 ,(3 )中等号成立 .证　推论 1 :由…     

三面角的棱面角的计算公式

定理　在三面角Ｓ—Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,三个面角∠Ｃ1 ＳＢ1 =α ,∠Ａ1 ＳＣ1 =β ,∠Ａ1 ＳＢ1 =γ ,且棱ＳＡ1 和平面Ｃ1 ＳＢ1 所成棱面角为θ1 ,棱ＳＢ1 和平面Ａ1 ＳＣ1 所成棱面角为θ2 ,棱ＳＣ1 和平面Ａ1 ＳＢ1 所成棱面角为θ3,则ｃｏｓθ1 =ｃｏｓ2 β ｃｏｓ2 γ- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎαｃｏｓθ2 =ｃｏｓ2 γ ｃｏｓ2 α- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎβｃｏｓθ3=ｃｏｓ2 α ｃｏｓ2 β- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎγ(三面角的棱面角余弦公式 )证明　如图 .在ＳＡ1 上取一点Ｐ ,作ＰＱ⊥平面Ｂ1 ＳＣ1 …     

一道竞赛题的三角简证及空间推广

1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ＡＢＣＤ中 ,对角线ＡＣ平分∠ＢＡＤ ,在ＣＤ上取一点Ｅ ,ＢＥ与ＡＣ交于Ｆ ,延长ＤＦ交ＢＣ于Ｇ .求证 :∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .证明　如图 1,连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ点 ,在△ＢＣＤ中运用塞瓦定理ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ&;#183;ＤＯＯＢ =1,∴ ＯＢＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.又∵　ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,∴　 ＡＢＡＤ =ＢＯＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.图 1　　　　　　　　　图 2设∠ＧＡＣ =α ,∠ＥＡＣ =β ,则∠ＢＡＧ =Ａ2 -α ,∠ＤＡＥ =Ａ2 -β ,由相似三角形比的性质有　　 ＢＧＧＣ =ＡＢｓｉｎ( Ａ2 -α)ＡＣｓｉｎα ,　　 ＣＥＥＤ =ＡＣ&;#183;ｓｉｎβＡＤｓｉｎ( Ａ2 -β),代入上式得到ｓｉｎ( Ａ2 -α) &;#183;ｓｉｎβ=ｓｉｎα&;#183;ｓｉｎ( Ａ2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得ｓｉｎ(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴　α=β ,即是　∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .它的空间形式如图 2 :在四面体ＡＢＣＤ中 ,∠ＢＡＣ =∠ＤＡＣ ,ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,Ｅ是ＣＤ边上任一点 ,连结ＢＥ交...     

一个猜想不等式的证明

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,相应边上的旁切圆半径为ｒａ、ｒｂ、ｒｃ,文 [1]证明了　　 ∑(ｒｂ +ｒｃ) 2 ≥ 34∑(ｂ +ｃ) 2 ( 1)并提出关于指数推广的猜想 :　 ∑(ｒｂ+ｒｃ) ｋ ≥ ( 32 ) ｋ∑(ｂ+ｃ) ｋ ( 2 )其中ｋ &;gt;0 ,∑ 表示对ａ、ｂ、ｃ轮换求和 .本文证明猜想不等式 ( 2 )成立 .引理　 ∑ ｒｂ+ｒｃｂ +ｃ ≥ 332 ( 3)证明　由公式ｒａ =ｒｓｓ -ａ(ｒ、ｓ分别是△ＡＢＣ的内切圆半径和半周长 )易证ｒａ(ｒｂ +ｒｃ) =ａｓ ,于是　ｒｂ+ｒｃ =ａｓｒａ=ａ(ｓ-ａ)ｒ =ａｃｔｇ Ａ2 ( 4)所以 ,( 3)式等价于刘健证得的不等式[2 ] :　　 ∑ ａｂ +ｃｃｔｇ Ａ2 ≥ 332 ( 5)因此 ,引理得证 .不等式 ( 2 )的证明如下 :(ｉ)当 0 &;lt;ｋ&;lt;1时由 ( 4)式及熟知不等式 :ｓ ≤ 332 Ｒ (Ｒ是△ＡＢＣ的外接圆半径 ) ,知　 (ｒｂ+ｒｃ) (ｒｃ+ｒａ) (ｒａ+ｒｂ)=ａｂｃ(ｓ -ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ -ｃ)ｒ3=4Ｒｓ2 ≥ ( 23ｓ) 3,于是 ∑(ｒｂ +ｒｃ) ｋ ≥ 3[(ｒｂ...     

一道选择题的错解与分析

题目　ＡＤ为△ＡＢＣ的高线 ,ＢＤ =ａ ,ＤＣ =ｂ(ａ <ｂ) ,将△ＡＢＣ沿ＡＤ折叠成二面角Ｂ ＡＤ Ｃ ,其平面角为θ ,若ｃｏｓθ =ａｂ,则四面体Ａ ＢＣＤ的侧面ＡＢＣ是 (　　 ) .(Ａ)锐角三角形　 (Ｂ)钝角三角形(Ｃ)直角三角形　 (Ｄ)由ａ、ｂ的值确定错解　首先考察θ为直角时 ,ＤＡ ,ＤＢ ,ＤＣ两两垂直 ,易证△ＡＢＣ的三个角均为锐角(可用公式ｃｏｓθ =ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 ) ,即△ＡＢＣ为锐角三角形 .因ｃｏｓθ =ａｂ >0 ,θ为锐角 (上述情形可看作θ的一个极端状态 ) ,即二面角Ｂ ＡＤ Ｃ由直二面角连续折叠成了锐二面角 .…     

值得注意的一点

题　已知△ＡＢＣ的外接圆半径为 6 ,ａ ,ｂ ,ｃ分别是角Ａ ,Ｂ ,Ｃ所对应的边 ,角Ｂ ,Ｃ和面积Ｓ满足条件Ｓ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 且ｓｉｎＢ+ｓｉｎＣ =43,求△ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解　由余弦定理 ,得ａ2 =ｂ2 +ｃ2 -2ｂｃｃｏｓＡ ,即ａ2 =(ｂ -ｃ) 2 + 2ｂｃ( 1 -ｃｏｓＡ) ( 1 )又∵Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　ｓｉｎＡ =4 ( 1 -ｃｏｓＡ) ,∴1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,∴ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又∵ｓｉ…     

正n棱锥中的两类角及其关系

文 [1]给出结论 :在正四棱锥中 ,设侧面与底面所成的二面角为α ,相邻两侧面所成的二面角为 β ,则ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α .图 1　 (1)式证明用图事实上 ,由ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α可化为 2ｃｏｓ2 β2 - 1=-ｃｏｓ2 α ,所以 2ｃｏｓ2 β2 =ｓｉｎ2 α ,进而化为ｃｏｓ β2 =ｃｏｓ π4 ｓｉｎα (1)证明　如图 1,正棱锥的高为ＰＯ ,ＰＦ为斜高 ,则∠ＰＦＯ =α .设∠ＡＥＣ为侧面ＰＡＢ与侧面ＰＢＣ所成的二面角 ,即∠ＡＥＣ =β .由正棱锥的特性 ,ＯＥ平分∠ＡＥＣ ,那么ｃｏｓ β2 =ＯＥＡＥ=12 ＰＢ·ＰＯ12 ＰＢ·ＡＥ=Ｓ△ＰＯＢＳ△…     

并不恒等的三角“恒等”变换

“三角恒等变换”是学习三角知识及探索三角问题的一种重要方法 ,是学生必须要掌握的一块重要内容 .但很多学生却由于概念不清、忽视角的取值范围等原因把并不恒等的三角变形看成恒等的三角变形 .本文举数例说明如下 .1　求角例 1　已知ｓｉｎα =2ｃｏｓβ ,ｔｇα =3ｃｔｇβ ,- π2 <α <π2 ,0 <β<π ,求角α,β.错解 :由已知得 :ｃｓｃ2 α =12ｃｏｓ2 β,ｃｔｇ2 α=13ｔｇ2 β (1)∵ｃｓｃ2 α =1 ｃｔｇ2 α (2 )∴ 12ｃｏｓ2 β=13ｔｇ2 β 1(3)∴ 1=12ｃｏｓ2 β- 13ｔｇ2 β =3- 2ｓｉｎ2 β6ｃｏｓ2 β .∴ 6ｃｏｓ2 β=3- 2…     

美国纽约州立大学招生会考试卷数学B

(考试时间 :2 0 0 2年 8月 1 3日上午 8:3 0 - 1 1 :3 0 )注意 :考试中需要下列工具 :计算器、圆规、直尺 .参考公式 :三角形的面积ｋ =12 ａｂｓｉｎＣ两角和与差的三角函数ｓｉｎ(Ａ +Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ +ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ -ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎ(Ａ -Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ -ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ -Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ +ｓｉｎＡｓｉｎＢ正弦定理ａｓｉｎＡ=ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ二倍角公式ｓｉｎ2Ａ =2ｓｉｎＡｃｏｓＡｃｏｓ2Ａ =ｃｏｓ2 Ａ -ｓ…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …     

三角形一个重要公式及其应用

在三角形中，我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线．下面给出分角线长的一种公式．定理　如图１，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上一点，设ＡＢ、ＡＣ分别为ｃ、ｂ，∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＡＤ＝β，图１则　　　　ＡＤ＝ｂｃｓｉｎ（α＋β）ｃｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ．（１）当ＡＤ是∠Ａ的平分线时，　　　ＡＤ＝２ｂｃｃｏｓＡ２ｂ＋ｃ；（２）当ＡＤ是中线时，　　ＡＤ＝ｂｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎα＝ｃｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎβ；（３）当ＡＤ是高线时，　　　ＡＤ＝ｃｃｏｓα＝ｂｃｏｓβ＝ｂｃｓｉｎＡａ．（４）证明　在…     

对三角形三边定理的异议

文 [1 ]对△ＡＢＣ的恒等式ｃｏｓ2 Ａ ｃｏｓ2 Ｂ ｃｏｓ2 Ｃ 2ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ =1用余弦定理代换为边的表达式而得到了三角形三边定理 :-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -ｂ2 ) (ｂ2 ｃ2 -ａ2 ) -2ｃ2=0( )即　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0　 (( )为笔者所加 ) .笔者首先指出 ( )为恒等式 .由行列式的性质 ,将行列式 ( )左边第 2列、第 3列都加到第 1列后 ,行列式的值不变 .∴-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -…     

活用sin~2α+cos~2α=1

ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α =1除了广泛用在化简三角恒等式、解直角三角形外 ,还可以灵活应用于解其他题型 .现举几例说明 .一、活用于证明平面几何等式图 1在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＣＤ是边ＡＢ上的高 ,求证 :1ＣＤ2 =1ＡＣ2 +1ＢＣ2 .证明　如图 1所示 ,∵　∠Ａ +∠Ｂ =90°,∴　ｓｉｎＢ =ｃｏｓＡ .∴　ｓｉｎ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ａ =ＣＤ2ＡＣ2 +ＣＤ2ＢＣ2 =1 .∴　 1ＡＣ2 +1ＢＣ2 =1ＣＤ2 .已知Ｐ是矩形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ上的一点 ,ＤＰ⊥ＡＣ ,ＰＭ⊥ＢＣ交ＢＣ于Ｍ ,ＰＮ⊥ＡＢ交ＡＢ于Ｎ .求证 :ＰＭ23 +ＰＮ23 =ＡＣ23 . ( 98加拿大中学生…