三棱锥顶点在底面上的射影为底面重心的充要条件

1 问题大家知道,对于一个三棱锥,三条侧棱相等(或三侧棱与底面成等角)是顶点在底面上的射影为底面外心的充要条件;三侧面与底面成等角(或三顶点到底面三边等距)是顶点在底面上的射影为底面内心或旁心(射影在三角形内为内心、射影在三角形外为旁心)的充要条件;二对对棱垂直是顶点在底面上的射影为底面垂心的充要条件.我们自然会问:顶点在底面上的射影为底面重心的充要条件是什么呢?     

第四章 多面体和旋转体

1 棱柱、棱锥、棱台一、选择题 1.下列命题中正确的有( )。 (1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥 (2)侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 (3)侧棱都相等,底面是正多边形的棱锥是正棱锥 (4)侧棱都相等,侧面与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 2.设M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体}则这些集合     

公式2(S_0)1/2=S1/2 (S′)1/2的推广与应用

在高一《立体几何》中 ,关于台体 (棱台、圆台 )的中截面有这样的一个性质 :2Ｓ0 =Ｓ Ｓ′(《立体几何》Ｐ64 例 2及Ｐ80 习题十第 1 1题 ) .换句话说 ,台体 (棱台、圆台 )的上底面面积Ｓ′、中截面面积Ｓ0 、下底面面积Ｓ的算术平方根Ｓ′、Ｓ0 、Ｓ组成了一个等差数列 ,公差ｄ =12 Ｓ -Ｓ′ .是不是只有中截面与上、下底面的面积具有这种性质 ?其它截面与上、下底面的面积是否具有类似的性质 ?我们不仿看一下 .设台体 (棱台、圆台 )的上、下底面面积分别是Ｓ′、Ｓ ,台体 (棱台、圆台 )的高为ｎｈ ,设Ｓ1 、Ｓ2 …Ｓｎ- 1 分别是过台体 (…     

灵活选取基向量巧解题

例1(2008年全国卷Ⅰ理11题)已知三棱柱ABC-A_1B_1C_1的侧棱与底面边长都相等,A_1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB_1与底面ABC所成角的正弦值等于     

灵活选取基向量巧解题

例1（2008年全国卷Ⅰ理11题）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为／kABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于     

一个簡便的測定重量的方法

在我校所办的土化肥工厂中,所用原料的比例是草炭58％、石灰15％、石膏7％,在每次配料过程中,过去都是用秤来称的,一次配料用580公斤草炭就需要称20次之多,既浪費劳力又浪費时間,且不胜其煩,于是就用所学的数学知識解决这个問題。算法极簡单,只要将草炭堆成圓錐体,量一下它的高和底面周长代入下面公式馬上就可以得出重量: 重量=(1/37)×圓錐的高×(圆錐底面周长)~2×所量物質单位体积重量。这个公式的来源很簡单,它是从实践过程中把几个公式綜合起来的。∵圓錐底面半径=1/(2π)×圓錐底面周长, ∴圓錐底面面积=π(1/(2π)×圓錐底面周长)~2=1/(4π)(圓錐底面周长)~2。     

基础知识自测

一、选择题二.在斜棱柱的侧面中,矩形最多有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.已知长方体的高为h,底面面积为Q,垂直于底面的对角面的面积为R,则此长方体的侧面积S等于 ( ).3.一个正四棱锥的中截面面积是9,它的底面边长是 ( ).(A)9/4 (B)3/2 (C)3 (D)64.一个正三棱台上、下底面的边长分别为2和6,侧面与下底面所成的二面角为60°,则此棱台的高为     

智慧窗

1.巧算侧面积 如图所示,A是一节斜圆柱形的烟囱.它的一个底面与轴垂直,半径是R,另一个底面与轴斜交。如果烟囱的最短母线长为l1,最长母线长为l2,求这节烟囱的侧面积.     

一道立体几何高考题的全方位探究

图1题目如图1所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2槡2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;(Ⅱ)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.     

特殊四面体的性质

三条棱两两互相垂直的四面体是一种特殊的几何体 ,它具有自己的一些独特性质 .本文介绍该特殊几何体中棱长与高的关系 ;侧面面积与底面面积的关系 ;侧面面积、底面面积以及侧面与底面的夹角之间的关系 ;棱与底面所成三个夹角之间的关系 ;给出该特殊几何体的外接球、内切球的半径公式 .四面体P ABC的三条棱PA ,PB ,PC两两互相垂直 .记PA =a ,PB =b ,PC =c.顶点P到平面ABC的距离为h .△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC的面积分别为S1,S2 ,S3和S ,该特殊几何体具有如下性质 .性质 1　h- 2 =a- 2 +b- 2 +c- 2 .图 1　性质 1图证　如图 …     

多面体存在外接球的充要条件

定理 1　ｎ棱锥有外接球的充要条件是 :它的底面多边形有外接圆 .证明　记ｎ棱锥为Ｐ-Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,它存在一个外接球 ,球心为Ｏ ,半径为Ｒ .Ｏ在底面投影记为Ｍ ,则ＯＡ1 =ＯＡ2 =… =ＯＡｎ =Ｒ显见Ｒｔ△ＯＭＡ1 ≌Ｒｔ△ＯＭＡ2 ≌… ≌Ｒｔ△ＯＭＡｎ∴ＭＡ1 =ＭＡ2 =… =ＭＡｎ即Ｍ是ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的外心 ,必要性证毕 .反之 ,对于ｎ棱锥Ｐ-Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,设底面多边形有外接圆心Ｍ ,过Ｍ作直线ＭＮ垂直于底面 ,显见ＭＮ不与ＰＡ1 垂直 ,故作线段ＰＡ1 中垂面 (即过ＰＡ1 中点且与ＰＡ1 垂直的平面 )必与直线ＭＮ有唯一的交…     

利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…     

楔形体积公式

底面是矩形,顶部为平行底面的一条线段,四个侧面中两个是梯形,两个是三角形,这样的多面体好像木工用的楔,故称此种几何体为楔形.对于任一楔形,有如下命题:若楔形的底面矩形的边长分别为a,b,顶部棱长为l,顶棱到底面的距离为h,则楔形的体积为V=16hb(2a+l).图1楔形证如图1,在楔形EF—ABCD中,底面边长AB=a,AD=b,顶棱EF=l,顶棱到底面ABCD的距离为h,通过割补法易得棱柱PDA-FCB,棱柱PDA-EMN.因为V棱柱PDA-FCB=12S矩形ABCD·h=12abh;而VE-PDA=13VPDA-EMN=13·12SAMND·h=16bh·(l-a),所以V楔形EF-ABCD=VPDA-FCB+VE-P…     

三棱锥顶点射影选择题

老:.三棱雄的1侧棱都相等;泛斜高都相等:召侧棱与底所成的角都相等;4侧棱与底面相邻的两棱成等角;S侧面与底面所成的乙而角怕等;6这个四面体中,有两组相分的伎互相垂直;7三侧面互相垂直;8三侧棱相等.三底棱也相等则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的(A)垂心;(B)外心;(C)内心;(D)中心.附上期本栏答案(D);2(C);3(A)C5三棱锥顶点射影选择题@李尧亮$江苏江阴一中~~     

课例点评:多面体的体积

目的要求 :1通过复习 ,使学生进一步熟悉求多面体体积的常用思路与方法 ,培养学生分析问题和解决问题的能力 .2进行辨证唯物主义思想教育和数学审美教育 ,提高学生良好情感 .重点 :多面体体积的计算 .难点 :底面及高的确定 .图 1教学方法 :学生主动探索与教师启发相结合 .教学过程 :1　例题分析例题　已知正四面体 ABCD的棱长为 a,求其体积 .分析　由于 V三棱锥 =13Sh,S为底面积 ,h为底面上的高 ,如何确定底面和高 ?(学生思考 )思路 1　 (直接法 )如图 1,选 BCD为底面 ,A到底面 BCD的垂线 AO为高 (从学生熟悉的简单的多面体入手 ,和…     

球的有关问题

<正>球与多面体的切接问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点与接点的位置,作出合适的截面图,在平面图形中进行研究,下面举例加以分析.例1已知球的半径为R,球内接一个正四棱柱,棱柱底面边长与高为何值时,它的侧面积最大?解图1为轴截面,令棱柱的高为h,底面边长为a,侧面积为S,     

争鸣

问　题问题 1 9　 在高中立体几何中正棱锥的定义是 :“底面是正多边形 ,顶点在底面上的射影为正多边形的中心” .若将一个正三棱锥的侧面为底面 ,那么此棱锥是否为正三棱锥 .[观点 1 ]　是正三棱锥 ,因为一个正三棱锥不会因它怎样放置而发生变化 ,无论怎样放都是正三棱锥 .[观点 2 ]　不是正三棱柱 ,因为不符合正三棱锥的定义 .问题 2 0　 高一新教材Ｐ95页中 ,“平行向量”与“向量平行”这两个概念是否一样 ?[观点 1 ]　两概念是一样的 ,向量平行就是平行向量 ,平行向量指的就是向量平行 .[观点 2 ]　是两个不同概念 ,因为平行向量是指非…     

证明球体积公式的又一参照体

众所周知 ,证明球的体积公式时 ,首先是构造一个可求体积的几何体 ,即从一个底面半径和高都等于Ｒ的圆柱中 ,挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面圆心为顶点的圆锥后剩下部分所形成的几何体 ,然后证明该几何体与半径为Ｒ的半球符合祖日桓原理的条件 .在证明过程中有个关键的式子 :πＲ2 -πｌ2 (ｌ为任一截面截两个几何体时 ,截面到底面的距离 ) ,若将其变形为 (πＲ2 ) - (πｌ) 2 ,就可以看成是以πＲπｌ为边长的两个正方形的面积差 ,这样我们就能构造出一个参照体———从底面是边长为πＲ的正方形、高为Ｒ的直四棱柱中挖去一个以直四…     

理科(18)题别解

试题如图3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.     

立体几何复习(续)

例3.正六棱锥V—ABGDEF的侧棱VA为10cm,底面边长为8cm,平行于它的底面截面面积为32(3~1/ 2)/3(cm~2),求①截面与底面间的距离,②棱锥V—ABCDEF的侧面积, 略解:①从顶点V作VO⊥面ABC,交截面于O_1,则O_1V也垂直于这截面,