一个整除定理及其应用

众所周知,著名的费马小定理是:如果p是素数,那么对于任何整数a,都有P|(ap-a) 如果改动这个著名定理的条件,将p是素数放宽为p是奇数,会出现什么结论呢?这个结     

关于整除性的一个定理

定理1若对多项式:(x)、石(x)、。(x)、d(二)有(a(x) c(二),I)(x)一d(x))==p(x), 则p(x)![a(二)乙’(x) ‘,(x)d’(x)〕,(,:〔N)。 证明由(a(工) c(义),乙(x)一d(x))=P(x)。可设a(x) c(x)=P扛)q工(x), 乙(义)一d(x)=P(工)叮:(x)。 a(x)乙’(劣) 。(x)d’(x) =a(x)「乙(x)一d(x) :(x)〕’ 。(x)d.(丫) =a(劣)〔P(x)q:(x) d(x)〕, c(x)d.(x) =p(x)厂(二) a(x)d’(x) ‘(x)d’(x) =P(x)f(二) (a(x) ‘(义)d’(x) =p(x)[厂(x) d·(x)q;之x)〕 p(x)l〔a(x)石’(x) c(x)d.(男)〕。 对于形知劲’十‘d’的整数的整除性问题有类似结论。 定理2若a,…     

一类整除性定理

本给出复域上多元多项式环C[x1,x2…，xn]的一类整除性定理，它是[1]中整除定理的直接推广。     

一类整除性定理

本文给出复域上多元多项式环Ｃ［ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ］的一类整除性定理，它是［１］中整除定理的直接推广     

一类整除性定理的推广

「１」给出复数Ｃ上多元多项式环Ｃ「ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ」的一类整除性定理,本把它推广为任意代数闭域ｋ上多元多项式环ｋ「ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ」的情形。     

一类整除性定理的推广

[1 ]给出复数域C上多元多项式环 C[x1 ,x2 ,… ,xn]的一类整除性定理 ,本文把它推广为任意代数闭域 k上多元多项式环 k[x1 ,x2 ,… ,xn]的情形 .     

一个有趣的整除问题

请问:23~(43)+43~(23)是否能被66所整除? 为回答这一问题,先来看一个较简单的问题:“3~5+5~3是否能被8所整除”,如果这一问题能有个一般方法获得解决,我们的问题也就可以相应得到解决了。首先因为3~5+5~3=243+125=368=46×8,所以8|(3~5+5~3)[注:记号“8|(3~5+5~3)”表示8能整除3~5+5~3,或3~5+5~3能被8所整除]这个方法很简单,但由于这个数中的底数和指数都比较小,乘方后所得之和也不很     

一个有趣的整除问题

本刊1983年第四期的问题征解上有这样一题求证(1+2+3+…+1983)|(1~5+2~5+3~5+…+1683~5)。在解此题时,我们从1~3+2~3+3~3+…+n~3=(1/4)n~2)n+1)~2=〔(1/2)n(n+1)〕~2=(1+2+3+…+n)~2,发现(1+2+3…+n)|(1~3++2~3+3~3+…+n~3)对任意自然数n皆成立。我们试问是否也有(1十2+3+…+n)|(1~5+2~5+3~5+…+n~5)对任意的自然数n皆成立呢!回答是肯定的。不难证明1~5+2~5+3~5+…+n~5=(?)(n+1)~2(2n~2+2n-1),因此,(1+2+3     

利用余数定理证一类整除性问题

关于整除性问题的证明,中等数学习题中屡有所见,在学过数学归纳法后尤多,亦有应用因式分解法证明的。目前重点高中代数第一册已讲过余数定理和因式定理,但此处未曾见到,似觉不够。这里就利用余数定理证一类整除性问题试举几例,供同志们参考。例1,求证4~(2n+1)+3~(n+2)能被13整除(高中数学第三册P。158复习题)。证∵4~(2n+1)+3~(n+2)=4·16～n+9·3~n,故不妨设f(χ)=4·χ~n+9·3~n,则问题化为求证f(16)能被13整除,∵13=16-3,f(χ)除以χ-3的余数为f(3)=4·3~n+9·3~n=13·3~n于是f(χ)=(χ-3)g(χ)+f(3)=(χ-3)g(χ)+13·3”,将χ=16代入得f(16)=13·g(16)=13·g(16)+13·3~n,故f(16)能被13整除,即13|4~(2n+1)+3~(n+2)。上述证明,显然较之数学归纳法要简明得     

一个定理的类比定理

本刊2005年第11期发表了甘志国老师的“一类问题的统一解法”一文后，2006年第1期又发表了孟祥礼、孟祥东老师的“一个定理的推广”一文，其观点基本正确．其中该文的推广定理最好表述为“若a为方程x＋f（x）=m的根，且函数f（x）存在反函数f^-1（X），则m—a为方程x＋f^-1。（x）=m的根”．它揭示了方程X＋f（x）=m与方程x＋f^-1（x）=m的根之间的对应关系＋证明如下。[编者按]     

一个定理的类比定理

[编者按]本刊2005年第11期发表了甘志国老师的”一类问题的统一解法”一文后,2006年第1期又发表了孟祥礼、孟祥东老师的“一个定理的推广”一文,其观点基本正确.其中该文的推广定理最好表述为“若a为方程x f(x)=m的根,且函数f(x)存在反函数f-1(x),则m-a为方程x f-1(x)=m的根”.     

P-进制数中的一个整除关系

整除是初等数论中的一个基本概念。“整数甲能被整数乙整除”这样的问题,在小学算术课中大家就已经知道,并且学会了一些作出判断的方法。比如,判断一个十进制整数是否可以被3或9整除的简捷方法是:将该数每一位上的数码相加,其和若被3或9整除,则该数被3或9整除,例如:十进制数19803,1 9 8 0 3=21,而3|21,9(?)21,可以断定3|19803而9 19803,(记号“|”表示整除,“(?)”表示不     

一个分歧定理

本文用 Morse 理论给出 Krasnoselski Rabinowitz 关于位算子分歧点定理的一个新的证明.设 H 是一个 Hilbert 空间,Ω 是 H 中零元θ的一个邻域.又设 L 是 H 上的一个有界自伴算子,而 G∈C(Ω,H)满足 G(u)=o(‖u‖),当 u→θ.倘若 G 还是一个位算子,即存在 g∈C~1(Ω,R~1),使得 dg=G.求解带参数 λ∈R~1的方程     

一个均值定理

<正> 一、引言设(?)在1948年 Rényi A.利用 B.创造的大筛法证明了下面的定理:定理1.1 对任给正数 A,必存在正数η<1,使得下面的估计式成立:     

一个定理的推广

文[1]中的定理为:若f(x)是[a,b]上的增函数,x f(x)=m,x f-1(x)=m的根分别为a,b,则a b=m.经探讨,笔者发现定理中的条件“f(x)是[a,b]上的增函数”是多余的,该定理可进一步推广为:定理若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b,则a b=m.定理的证明用到下面的引理:引理若函数y=f(x     

一个定理的七十二变

有这样一个定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理的证明方法如下:已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=12AB.证法一如图1,延长BC至D使CD=BC,连结AD.根据"边角边"可证△ABC≌     

自然数被貭数整除的一个判别法

一切偶数都能被2整除,凡末位是“5”或“零”的数都能被5整除,这就无須再討論了。下面討論自然数对于其它貭数的可除性。对于其它的质数p其个位数必为:1,3,7,9这四种类型。这时可以找到自然数1,使lp+1为10的倍数。事实上,对于以上四种类型,分别取l为9,3,7,1即可。定理1.自然数N能被貭数p(p≠2,5)整除的充要条件是截去N的末位数后,在十位数上加上末位数的a倍,所得的数能被p整除。其中a滿足条件lp+1=10a。更一般地說,有自然数N=10x+y能被貭数p整除的充要条件是 N′=x+ay能被p整除。 証.Ⅰ.必要性。設N能被质数p整除,則N=pq。再将N写成 N=10x+y的形状。现在証明     

Borel的一个定理的一个应用

在这篇论文中，研究了一般形式的代数微分方程的亚纯解的增长性并得到一些结果，研究的方法是根据一个关于亚纯函数组的定理。这个定理是Ｂｏｒｅｌ的一个关于整函数组的定理的一个推广。