本原环之间的有限结构定理及其在Galois理论中的应用(英文)

设是除环F上向量空间,P是F的一个子除环且在F中是Galois,即存在F的一个自同构群G使I(G)=P。记Φ是F的中心,G_0是属于G的内自同构群,G_0的元素记为I_r,r∈F.记是G的代数,P′=C_F(E′)是E′在F中的中心化子。记是的F-线性变换完全环,是中所有秩小于的元素集合,那末我们有如下主要结果: (1) [F:P′]_L=n有限当且仅当,其中表示元素r_i的标量左乘。 (2) [P′:P]_L=t有限当且仅当,其中S_j表示的F-半线变换自同构,它的伴随同构ψ_j∈G。 (3) 如有某个序数v使T_v(P,),T_v(P′,)及T_v(F,)满足(1)及(2)中的关系式,那末对任何T_μ(P,),T_μ(P′,)及T_μ(F,)皆满足(1)及(2)中的关系式。特別对及是如此。 (4) 如果[F:P]_L有限,那末必有,其中dim.E′表示E′在φ上的维数,[G/G_0]表示G_0在G中的指数。特别G是Galois群,则 (5) 若是F的另一自同构群且,那末必有,其中表示的代数。 如果P取为F的中心时,于是从上述结果(1)就得出熟知的定理:[F:Φ)是有限的当且仅当。 另方面,运用我们上述的结果,可导出除环F的有限Galois理论。     

A FINITE STRUCTURE THEOREM BETWEEN PRIMITIVE RINGS AND ITS APPLICATION TO GALOIS THEORY

设\[\mathfrak{M} = \sum {F{u_i}} \]是除环F上向量空间，P是F的一个子除环且在F中是Galois，即存 在F的一个自同构群G使\[I(G) = P\].记Ф是F的中心，\[{G_0}\]是属于G的内自同构群， \[{G_0}\]的元素记为\[{I_r},r \in F\]；，记\[{E^'} = \sum\limits_{{I_{{r_j}}} \in {G_0}} {{\Phi _{{r_j}}}} \]是G的代数，\[P' = {C_F}({E^'})\]是\[{E^'}\]在F中的中心化子.记\[\mathfrak{U}(F,\mathfrak{M})\]是\[\mathfrak{M}\]的F-线性变换完全环，\[{T_v}(F,\mathfrak{M})\]是\[\mathfrak{U}(F,\mathfrak{M})\]中所有秩小于\[\mathcal{X}{_v}\]的元素集合，那末我们有如下主要结果： (1)\[{[F:P']_L} = n\]有限当且仅当\[{T_v}(P',\mathfrak{M}) = \sum\limits_{j = 1}^n \oplus {r_{jL}}{T_v}(F,\mathfrak{M})\]，其中\[{r_j} \in {E^'}\]，\[{r_{jL}}\]表示元素\[{r_j}\]的标量左乘. （2）\[{[P':P]_L} = t\]有限当且仅当凡\[{T_v}(P,\mathfrak{M}) = \sum\limits_{j = 1}^t \oplus {S_j}{T_v}(P',\mathfrak{M})\],其中\[{S_j}\]表示\[\mathfrak{M}\]的F-半线变换自同构，它的伴随同构\[{\psi _j} \in G\]. ⑶如有某个序数v使\[{T_v}(P,\mathfrak{M})\]，\[{T_v}(P',\mathfrak{M})\]及\[{T_v}(F,\mathfrak{M})\]满足⑴及(2)中的关系 式，那末对任何\[{T_\mu }(P,\mathfrak{M})\]，\[{T_\mu }(P',\mathfrak{M})\]及\[{T_\mu }(F,\mathfrak{M})\]皆满足(1)及(2)中的关系式.特别 对\[\mathfrak{U}(P,\mathfrak{M})\]，\[\mathfrak{U}(P',\mathfrak{M})\]及\[\mathfrak{U}(F,\mathfrak{M})\]也是如此. ⑷如果\[{[F:P]_L}\]有限，那末必有\[{C_p}({C_F}(E')) = E'\]，\[{[F:P']_L} = \dim E'\]，\[{[P':P']_L} = [G/{G_0}]\]，其中dim E'表示E'在\[\Phi \]上的维数，\[[G/{G_0}]\]表示\[{G_0}\]在G中的指数,特别\[G\]是 Galois 群，则 \[{C_F}(P') = {C_F}(P) = E'\]. (5)若\[{\tilde G}\]是F的另一自同构群且\[I(G) = I(\tilde G)\]，那末必有\[[G/{G_0}] = [\tilde G/{{\tilde G}_0}]\]， \[\dim {\kern 1pt} {\kern 1pt} E' = \dim {\kern 1pt} {\kern 1pt} \tilde E'\]. 其中\[{\kern 1pt} \tilde E'\]表示\[{\tilde G}\]的代数. 如果P取为F的中心时，于是从上述结果(1)就得出熟知的定理：\[[F:\Phi ]\]是有限的当 且仅当\[\mathfrak{U}(\Phi ,\mathfrak{M}) = \mathfrak{U}(F,\mathfrak{M}){ \otimes _\Phi }{F_L}\]. 另方面，运用我们上述的结果，可导出除环F的有限Galois理论.     

与线性变换的完全环同构的环理论(Ⅴ)

<正> 一个环 R 称为本原环,若 R 同构于线性变换稠密环.如果 R 含有非零基座,那末 R 可与除环 F 上的一个对偶空间(A,A′)联系起来,并有熟知的同构定理.F 上向量空间 A的一个线性变换σ称为在 A′上有一个伴随σ′,若σ′是 A′上的一个线性变换并且(aσ,a′)=(a,a′σ′),其中 a∈A,a′∈A′.在有限拓扑意义下,具有伴随的线性变换一定是连续的.我们始终记(?)_(A′)(A)为 A 的所有连续线性变换的环,(?)_A′(A)为秩有限的所有连续线性变换的环.     

运用变量代换求函数的极限

本文介绍求极限的变量代换法则,尔后举例说明该方法的应用.定理(变量代换法则)设函数f[φ(X)]由f(u)及u=φ(x)复合而成,若(?)=a(或∞),且当X≠x_0时(?)(x)≠a,(?)f(u)=A(或∞),那末(?)f[(?)(x)]=(?)f(u)=A应当注意的是(?)f(u)不存在时,并不能断言(?)f[(?)(x)]也不存在.     

紧致性在分析中的作用(續)

例Ⅳ.不避烦琐,我们再引用一个例子来支持我们的论点。考虑定义在R的一个子集A上的连续实值函数全体,我们用记号(?)(A)来表示这个集合。集合(?)(A)对逐点相加和相乘的运算来说形成一个环。这样,我们就可在(?)(A)內引入理想子环的概念:(?)(A)中的一个理想子环(?)是(?)(A)的一个非空子集,它具有如下的性质:如f和g在(?)內,φ在(?)(A)內,则f-g与φf均在(?)內。为了避免在証明过程中碰到无多大意义的特殊情形,我们假设所研究的子环均异于(?)(A)本身。     

Fuzzy拓扑空间中的紧性(Ⅰ)——定义和特征(英文)

本文在引入了一复盖的概念之后,定义了(?)一紧性,得出了关于闭集中心族,F-网与F-滤子的(?)-紧性的特微,以及A1exander子基定理。并进一步定义了S-紧,L-紧,I-紧和F-紧性,讨论了这些概念之间的关系。设A,B∈I~Y为X中的Fuzzy集,我们称有序对〈A,B〉为X中的一个(?)一集。定义1 设(X,F)是一个Fuzzy拓扑空间,〈A,B〉为X中的一个(?)一开集,P∈P_*(X)。如果〈A,B〉是P的邻域,则我们说〈A,B〉覆盖P。一个开(?)一集族(?)={〈A_λ,B_λ〉:λ∈Λ}称为X的一个(?)-覆盖,当且仅当对于任一P∈IP_*(X),存在λ∈Λ,使〈A_λ,B_λ>覆盖P。定义2 Fuzzy拓扑空间(X,F)称为(?)-紧的,当且仅当每个(?)覆盖都有有限子(?)-覆盖。定理1 Fuzzy拓扑空间(X,F)是(?)-紧的,当且仅当每个闭(?)-集构成的有限中心族都是中心族。定理2 Fuzzy拓扑空间(X,F)是(?)-紧的,当且仅当X中的每个F-网或者(?)-滤子都有聚点。定理5 设S为Fuzzy拓扑空间(X,F)的一个子基,若每个(?)覆盖(?)={〈A_λ,B_λ〉:A_λ,B_λ∈S,λ∈Λ}都有有限子覆盖,则(X,F)是(?)-紧的。     

广义IP-内射环

对环R,令ip(R_R)={a∈R：任意一个从R的右理想到R且象为aR的模同态能开拓到R}。众所周知,R为右IP-内射环当且仅当R=ip(R_R),R为右单-内射环当且仅当{a∈R：aR is simple)(?)ip(R_R)。对环R的一个子集S,我们引进了S-IP-内射环的概念,即满足S(?)ip(R_R)的环。并得到了这种环的一些性质。     

环Z/(m)上线性型的正交组

设整数m>1,m=p_1~(l_(?))…p_1~(l_(?))是m的标准分解式,1≤k≤n,f_1,…f_k是k个n元整系数线性型。本文证明了: (ⅰ)f_1,…,f_k是模m的正交组当且仅当f_1,…,f_k是模p_j~(l_j)的正交组:j=1,…,t; (ⅱ)f_1,…,f_k是模P~l的正交组当且仅当,f_1,…,f_k的系数矩阵中存在k阶子式A_k,使得(|A|,p)=1,这里p是素数。     

环上矩阵环的导子

文[1]讨论了除环上2阶全矩阵环的导子的一些性质,本文继此讨论一般结合环R上的R阶全矩阵环R_n的导子的性质.环R的加群自同态(?)称为R的导子,若对x、y∈R,有d(xy)=xd(y) d(x)y.如下总假定R有单位元,且用R_n表示R上的n阶全矩阵环,E_ij表示(i,j)位置元素为R的单位元1其余元素为零的R_n的矩阵单位,xE饰表示对角线上元素为x的数量阵.     

扰动区域最优控制的收敛性质

§1.引言设(?)_0为 R~n 中具有 C~1类边界 (?)_0 的有界开区域,(?)_0位于 (?)_0的一侧。考虑如下的最优控制问题:(?)(1.1)(?) J(v)=(?){‖u(v)-z_d‖_(L~2)~2(Ω0) N‖V‖_(L~2)~2(Ω_v)},(1.2)其中Δ为 R~n 中的 Laplace 微分算子,z_d∈L~2(Ω_0),(?)_0为 L~2(Ω_0)中的闭凸集,N 为正数,u(v)表示(1.1)的对应于 u∈(?)_0的解。     

关于环上的块循环矩阵环

定义了环R上的块循环矩阵环A，主要证明了下列结论：(1)若J是A的理想，d1，d2，…，dn是R的可逆元，则存在R的理想I使得J=I[σ1，σ2，…，σn]．(2)若d1，d2，…，dn是R的可逆元，则(i)R是单环当且仅当A是单环；(ii)R是局部环当且仅当A是局部环；(iii)J(A)=J(R)[σ1，σ2，…，σn]；(iv)R是半本原环当且仅当A是半本原环．(3)若d1，d2，…，dn都是R的幂零元，则J(A)=J(R) ( (i1,i2,…,im)∈r＼(0,0，…．0n)}RO2 2^1 O2 2^3…O2 2^3.(4)R是左Artin(Noether)环当且仅当A是左Artin(Noether)环．(5)若R有左Morita对偶(自对偶)，则A有左Morita对偶(自对偶)．     

半素子模的一个等价条件

本文中,我们证明了下面的结论:设 M 是任意左 R—模,K 是 M 的子模,K 是半素子模当且仅当对任意f∈Hom_R(R,M)及任意 _RA≤_RR,若 f(A~2)(?)K 就有 f(A)(?)K.设 R 是有单位元的结合环,M 是左 R 模(本文中模均指酉模),对任何子集 A(?)R,     

剩余类环上的多元置换多项式与正交组

利用模(?)剩余类环Z/(?)Z上的加法群的特征,得到了环Z/(?)Z上多项式组f_1,…,f_k是正交组的一个充要条件:对任意满足(b_1,…,b_k,(?))=1之整数b_1,…、b_k,有b_1f_1 …b_kf_k是模(?)的置换多项式,这里l≥1;(?)是一个素数.作为推论,还得到了孙琦、万大庆关于正交组的一个结果.     

关于F-环的一点注记

一个环称为F环,如果环R中含有一个有限非零元集X,使得对任何非零αR与X之交不空(非零)。如果在上面的假设下,X还在R的中心Z(R)中,则称R为FZ环。关于F环,文[1]、[2]给出了一些结果。本文主要结果是: 1.说明文中定理的充分性不真。文[2]的主要定理是:R为半素F-环,当且仅当R为有限个除环上的方阵环的直和。 2.说明非奇异F-环未必是半单环。     

关于丛属函数的几个不等式

<正> 1.引言.设(?)是单位圆中的正则函数,函数w=F(z)将|z|<1映照成黎曼面S_F.设函数(?)在单位圆中是正则的.假如w=f(z)的一切函数值都落在 S_F,上,那末说 f(z)丛属于 F(z),记此关系为 f(z)(?)F(z).我们知道 f(z)(?)F(z)的充要条件是存在|z|<1上的正则函数ω(z),适合|ω(z)|<1,ω(0)=0,和 f(z)≡F(ω(z)).     

正则半开集和半同胚空间类

设A■X,v为X上的拓扑,用A_v~0、A_v~-、(A_v)_0、(A_v)_-、A’_v分别记A在(X,v)中的内部、闭包、半内部、半闭包和补集。用η_v、ζ_v、ζ_v分别记(X,v)中的半开集族、无处稠密集族和稠密集族。当v=u时,略去上述记号中的足码v。令[u]={v|v为X上的拓扑且     

关于F-环

如果环R含有一有限非零元集X,使得任意非零αR与X相交不空,则称R为F-环。本文证明了:一个不含非零幂零元的F-环为有限个除环的直和。 我们推广傅昶林一文[1]中的概念如下: 定义 如果环R含有一有限非零元集X,使得任意非零αR与X相交不空,则称R为F-环。如果有一个这样的集合XZ(R),称R为FZ-环(Z(R)表示R的中心)。 本文将证明:一个不含有非零幂零元素的F-环R为有限个除环的直和。以下R_1表示R的左零化子,P(R)表示R的质根,J(R)表示R的Jacobson根,(0:A)表示集合{x∈R|Ax=0},这里AR。     

环Z/(m)上线性型的正交组

设整数 m>1,m=P …P 是 m 的标准分解式,1≤k≤n,f_1,…,f_k 是 k 个 n 元整系数线性型.本文证明了:(i)f_i,…,f_k 是模 m 的正交组当且仅当,f_1,…,f_k 是模 P_j~ 的正交组:j=1,…,t;(ii)f_1,…,f_k 是模 P~l 的正交组当且仅当 f_1,…,f_k 的系数矩阵中存在 k 阶子式 A_k,使得(|A_k|,p)=1,这里 p 是素数.     

循环矩阵环的局部化

本文的主要结果如下：(1)环R关于其乘法封闭子集S满足左Ore条件当且仅当R[σ1,σ2,…，σt]关于其相应乘法封闭子集S[σ1,σ2,…，σt]满足左Ore条件．(2)若R关于其乘法封闭子集S满足左Ore条件，S^-1 R是R关于S的左分式环，其自然同态为φ：R→S^-1R，则存在环同态φ：R[σ1,σ2,…,σt]→S[σ1,σ2,…,σt]^-1 R[σ1,σ2,…σt]使得(S-1R)[φ（σ1),φ-(σ2),…φ（σt)]≌S[σl，σ2，…，σt]^-1R[σ1,σ2,…σt]。     

方程 =■(y)-F(x),■=-g(x)极限环个数的唯 n 性条件

本文给出方程■=φ(y)-F(x),■=-g(x)至多存在和恰好存在 n 个极限环的条件.与文的著名结果(φ(y)≡y)不同,我们采用了不同的方法,不要求{[F(x)-F(b_j)]f(x)}/[g(x)],g(x)在有关区间单调;当φ(y)(?)y 时放弃了文[8][9]有关φ′(y)单调日限制,而所补充的条件推广和改进了文[5][6](p~(158))[7](p~(349))相应的结果.